第三章 等參數(shù)單元等參元

第三章等參數(shù)單元等參元第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于矩形單元，由于它采用了雙線性位移模式，使得單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變不是常量而是按線性變化，它比常應(yīng)變?nèi)切螁卧茌^好地反映出結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)力分布狀態(tài)，但是它很難適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界；同時(shí)在劃分單元時(shí)，改變單元的大小也很困難，即不便于在不同部位采用大小不同的單元，因?yàn)橐寻衙總€(gè)單元的邊長之半作為常量而引入單元?jiǎng)偠染仃囍校ㄒ娛?2.48)）。因此，矩形平面單元未能在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用。為此，我們希望找到一種單元，一方面它具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布狀態(tài)，即或是單元網(wǎng)格劃分的比較疏些，也可以得到比較好的計(jì)算精度；另一方面，它又能很好地適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界。等參元就具備了上述兩條優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛應(yīng)用。第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四前面已談到：無論是三角形單元還是矩形單元，其單元內(nèi)位移用形函數(shù)表示為實(shí)際上不難證明：單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)同樣有上述關(guān)系，即(3-1)(3-2)第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可見，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧獌?nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)插值公式與該點(diǎn)的位置坐標(biāo)變換式，都具有完全相同的形式。它們都是用同樣個(gè)數(shù)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)值（結(jié)點(diǎn)位移值或坐標(biāo)值）作為參數(shù)，并且用完全相同的形函數(shù)作為這些結(jié)點(diǎn)值前面的系數(shù)項(xiàng)。當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)位移時(shí)就得到位移函數(shù)插值公式；當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，就得到位置坐標(biāo)插值公式（或位置坐標(biāo)變換式）。常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧倪@種位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式之間的對(duì)應(yīng)協(xié)調(diào)關(guān)系，就是等參元的基本特征。所以，等參元的基本概念可簡單概括成：一個(gè)單元的位移函數(shù)插值結(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值者，稱為等參元。顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧褪莾煞N最簡單的等參元。但是，本章所要研究的等參元，并不是這種單元，而是4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元和8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元。第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四由前述知，具有雙線性位移模式的矩形單元只適用于正交的、規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)。對(duì)于非正交的、不規(guī)則形狀，可以用任意四邊形單元代替矩形單元進(jìn)行有限元分割。在直角坐標(biāo)系（又稱整體坐標(biāo)系）中，任取一任意四邊形單元1,2,3,4，四邊形的四個(gè)角點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值為。對(duì)于這種任意四邊形等參元，可令其實(shí)際形狀所構(gòu)成的單元為子單元，把子單元的各邊中點(diǎn)連線做一個(gè)局部坐標(biāo)系（或稱自然坐標(biāo)系），且令單元各結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系分別是：；；；。這樣，就把子單元影射到局部坐標(biāo)系上，而成為正方形單元，稱此正方形單元為母單元。整體坐標(biāo)系適用于所有單元，即適用于整個(gè)求解區(qū)，而局部坐標(biāo)系只適用于每一個(gè)單元。

§3-2四結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元一．位移插值函數(shù)式及坐標(biāo)變換式第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四在子單元上再作各對(duì)邊的等分線，這些等分線影射到母單元上，也必然是母單元各對(duì)應(yīng)邊上的等分線。這樣，母單元與子單元之間的相應(yīng)點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系說明，在母單元平面上平行于或的直線，在平面內(nèi)的子單元上仍然是相對(duì)應(yīng)的直線。第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因此，我們就可以把矩形單元的位移函數(shù)插值式(3-1)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)變換式(3-2)，以及局部坐標(biāo)變換式（類似坐標(biāo)變換式），用在任意四邊形等參元上，并重新寫成(3-3)(3-4)(3-5)第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四式(3-3)和(3-4)是任意四邊形在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)和單元內(nèi)任一點(diǎn)局部坐標(biāo)插值公式，而式(3-5)是每個(gè)單元的局部坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換式。由這些公式看出，任意四邊形單元符合等參元條件，它當(dāng)然是等參元。由于任意四邊形單元的位移插值函數(shù)(3-3)，在局部坐標(biāo)系下滿足形容條件，因此坐標(biāo)變換式(3-5)也就滿足相容條件，從而使得式(3-3)在整體坐標(biāo)下滿足相容條件。也就是說，在兩相鄰任意四邊形單元公共邊上的位移是連續(xù)的，坐標(biāo)變換后仍然是連續(xù)的，兩相鄰單元公共邊上的公共點(diǎn)在坐標(biāo)變換后仍為公共點(diǎn)，決不會(huì)出現(xiàn)重疊和開裂現(xiàn)象。第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

利用任意四邊形等參元分析平面問題時(shí)，有了該單元的位移插值函數(shù)式(3-3)和坐標(biāo)變換式(3-5)，就可以應(yīng)用第二章已導(dǎo)出的一系列公式去求解。但是，這一系列公式都是在整體坐標(biāo)下導(dǎo)出的，其中，應(yīng)變矩陣的每個(gè)元素都是各結(jié)點(diǎn)形函數(shù)對(duì)整體坐標(biāo)進(jìn)行重積分，而任意四邊形等參元的形函數(shù)又是針對(duì)局部坐標(biāo)的，因此需要對(duì)和進(jìn)行坐標(biāo)變換。這樣，就引出了坐標(biāo)變換矩陣和變換行列式。和的偏導(dǎo)數(shù)；單元?jiǎng)偠染仃嚨拿總€(gè)元素又是各結(jié)點(diǎn)形函數(shù)對(duì)整體坐標(biāo)和的偏導(dǎo)數(shù)的乘積，再對(duì)二．坐標(biāo)變換矩陣及變換行列式第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四設(shè)任意四邊形在整體坐標(biāo)下的位移插值函數(shù)式為而該單元在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)式(3-3)可以寫成：這兩種形式的位移插值函數(shù)式通過坐標(biāo)變換式(3-5)聯(lián)系起來。為了方便，把式(3-5)寫成：(3-6)(3-7)(3-8)第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之間有如下關(guān)系由式(3-9)可抽象出(3-9)第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四把上面二式寫成矩陣形式，得令(3-11)

(3-10)第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四稱為坐標(biāo)變換矩陣或雅克比矩陣，它是局部坐標(biāo)的函數(shù)。因此式(3-10)變成故有(3-13)

(3-12)第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四式中稱為坐標(biāo)變換矩陣或雅克比逆陣，它也是局部坐標(biāo)的函數(shù)。式中的是坐標(biāo)變換行列式。另外，為了把化成對(duì)局部坐標(biāo)的重積分，還需把微分面積做相應(yīng)的變換。(3-14)第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四設(shè)任意四邊形等參元1,2,3,4內(nèi)任一點(diǎn)沿局部坐標(biāo)方向的微分矢量為，由于在方向上只有變化，而不變，故微分矢量在整體坐標(biāo)系的軸上的投影分別為第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理，由于在方向上只有變化而不變，故在軸上的投影：兩個(gè)微分矢量所構(gòu)成的微小平行四邊形面積：第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四而又可以看成是在整體坐標(biāo)中的微分面積，故有式中(3-15)’（3-15）第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四為了進(jìn)一步闡明和計(jì)算任意四邊形等參元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皯?yīng)力矩陣（或應(yīng)變矩陣），需要把前述的及展成具體形式的表達(dá)式，為此，將(3-5)式代入(3-12)式，得第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四再將對(duì)然后代入中得(3-16)分別求偏導(dǎo)數(shù)，第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四式(3-16)表明，只有給定整體坐標(biāo)下的單元四個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值

和就完全由單元的局部坐標(biāo)來決定了，而且它的每個(gè)元素都是和的線性函數(shù)，令常數(shù)項(xiàng)分別為第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四則(3-16)式可寫成由式(3-16)’可以得出雅克比行列式(3-16)’(3-17)第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四它也是的線性函數(shù)。由(3-16)’和(3-17)式可以直接寫成的逆陣：式中的每個(gè)元素變成(3-18)的較復(fù)雜的函數(shù)。第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四由式(3-18)看出，為了確保的存在，必須要求變換行列式，這個(gè)條件的實(shí)質(zhì)是，要求任意四邊形等參元在整體坐標(biāo)下的形狀必須是凸的四邊形，而不能有一個(gè)內(nèi)角等于或大于。否則，在單元上將得不到整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)的變換關(guān)系，而使計(jì)算方法失效。因此，所謂任意四邊形等參元，其任意性還是有一定限度的，要求四邊形的任意兩對(duì)邊不能通過適當(dāng)?shù)难由於趩卧獌?nèi)出現(xiàn)交點(diǎn)。通常，在實(shí)際有限元計(jì)算中，為了盡量使其形狀接近于正方形比較好，但可以大小不一樣。第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四及表達(dá)式中的有關(guān)及都換成局部坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式。此時(shí)，任意四邊形等參元的一切計(jì)算都可以立足在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行了。根據(jù)上述已求得的，及等函數(shù)表達(dá)式，就可以將首先，由式(3-13)引出：第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四所以式中(3-19)第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四然后，將式(3-19)代入中，就把的各元素化成的函數(shù)；再將式(3-17)代入式(3-15)，并將式(3-15)及代入，就把的重積分，其被積函數(shù)應(yīng)該指出，中的每個(gè)元素都含有對(duì)和的重積分，盡管其積分區(qū)域變得十分簡單，而其被積函數(shù)都比較復(fù)雜，需要采用數(shù)值積分（通常是采用高斯求積法），由于任意四邊形等參元的應(yīng)力是和的函數(shù)，因此在求解單元應(yīng)力時(shí)，必須指明是求哪一點(diǎn)的應(yīng)力，而且各單元之間的應(yīng)力是不連續(xù)的。的每個(gè)元素化成對(duì)局部坐標(biāo)的函數(shù)式。都是和的復(fù)雜函數(shù)，對(duì)于各單元的應(yīng)力也可以化成是和第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元盡管比矩形單元好，比三角形單元的精度高，但是它對(duì)結(jié)構(gòu)的曲線邊界仍然要以許多小直線段去逐漸逼近，計(jì)算精度仍不夠理想，為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度，可在四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元的基礎(chǔ)上，增加結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，選用高冪次結(jié)構(gòu)模式的等參元。一般常用的是八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元?！?-3八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元一．位移插值函數(shù)及坐標(biāo)變換第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四左圖是8結(jié)點(diǎn)平面等參元在整體坐標(biāo)下的實(shí)際形狀，它除了四個(gè)角點(diǎn)1，2，3，4之外，又在每邊中點(diǎn)選一個(gè)結(jié)點(diǎn)5或6，7，8，各結(jié)點(diǎn)的整體坐標(biāo)值為。類似于4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元，這種子單元映射到局部坐標(biāo)系上，就變成邊長為2的8結(jié)點(diǎn)正方形母單元。第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四現(xiàn)在，我們首先考慮在局部坐標(biāo)系下的8結(jié)點(diǎn)正方形母單元。由于它的8個(gè)結(jié)點(diǎn)共有16個(gè)位移分量，故必須選擇局部坐標(biāo)的雙二次多項(xiàng)式，做為它的位移模式。式中是由單元8個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值和來決定的待定常數(shù)。(3-20)第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可用類似于以前用過的方法，將8結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入式(3-20)，得到以為未知數(shù)，以及為已知數(shù)的16個(gè)聯(lián)立方程組，求解這個(gè)方程組即得的表達(dá)式。然后再回代到(3-20)中，經(jīng)整理

式中是第(3-21)個(gè)結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)該指出，用上式求解聯(lián)立方程組的方法來導(dǎo)出式(3-21)，比較麻煩，特別是當(dāng)待定系數(shù)比較多時(shí)，欲導(dǎo)出形函數(shù)的顯式是非常煩瑣的。為了簡化求導(dǎo)的過程，我們可以利用的特點(diǎn)來決定各結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)顯式。由第二章知，各種單元的形函數(shù)都有兩個(gè)特點(diǎn)時(shí)，或是的二次函數(shù)；當(dāng)固定時(shí)，或又是的二項(xiàng)函數(shù)。1)是形如單元位移模式的同冪次多項(xiàng)式，對(duì)于8結(jié)點(diǎn)曲邊形等參元，它的一定是局部坐標(biāo)和的雙二次多項(xiàng)式，固定第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四2)在結(jié)點(diǎn)的值為1，在其余結(jié)點(diǎn)

，根據(jù)形函數(shù)的這兩個(gè)特點(diǎn)，先求8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元四個(gè)角點(diǎn)的形函數(shù)。對(duì)于角點(diǎn)1，根據(jù)第2)個(gè)特點(diǎn)，在結(jié)點(diǎn)的值全為零，而直線通過等七個(gè)結(jié)點(diǎn)，故這三條直線的方程分別為同時(shí)，由組成的函數(shù)，在結(jié)點(diǎn)上的值恰好都等于零；另外，根據(jù)第1)個(gè)特點(diǎn)，函數(shù)也恰好是雙二次函數(shù)。因此，可設(shè)第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四式中是待定常數(shù)。將1結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值和代入上式，并考慮這一特點(diǎn)，可求得同理可得(3-22)，于是第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四再來求8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元各邊中點(diǎn)的形函數(shù)。對(duì)于5結(jié)點(diǎn)，根據(jù)第2)個(gè)特點(diǎn)，在結(jié)點(diǎn)的值全應(yīng)等于零，而直線通過上述七點(diǎn)，這三條直線的方程分別為于是，函數(shù)在結(jié)點(diǎn)上的值恰好都等于零；另外，函數(shù)也符合的第1)個(gè)特點(diǎn)。因此，可設(shè)式中也是待定常數(shù)。將5結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值和代入上式，并考慮這一特點(diǎn)，可求得，于是第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理可得(3-23)，則可將(3-22)和(3-23)式合并成一個(gè)通式(3-24)如令第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四從式(3-24)看出，是雙二次函數(shù)，從而使單元任一點(diǎn)的位移插值函數(shù)和[式(3-21)]也是雙二次函數(shù)：單元每一條邊上的和是或的二次函數(shù)，它完全由邊上的3結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值唯一決定，而且在相鄰兩單元的公共邊上，其三個(gè)結(jié)點(diǎn)有相同的函數(shù)值。因此，這種單元的位移插值函數(shù)和，以及形函數(shù)能完全滿足變形連續(xù)性條件和相容條件，結(jié)構(gòu)變形后，各單元之間和每個(gè)單元都不能出現(xiàn)開裂和重疊現(xiàn)象。由于是雙二次函數(shù)，它對(duì)結(jié)構(gòu)線性函數(shù)都是精確成立的，故可用類似于4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元曾用過的方法，直接寫出單元內(nèi)任一點(diǎn)的局部坐標(biāo)的線性插值式。(3-25)第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四且有以及該點(diǎn)的整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的變換式由于的相容性，式(3-27)也滿足相容條件。(3-26)(3-27)第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換矩陣和其逆陣以及變換行列式，仍可以采用(3-12)、(3-14)和(3-15)’，但這三式中及項(xiàng)，需做如下改變(3-28)所共同包含的第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四而式(3-28)中的和，可將式(3-24)分別對(duì),求得：(3-29)的偏微分而第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四最后，由式(3-13)可直接引出(3-30)第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四將式(3-29)代入式(3-28)，再將式(3-30)分別代入式(3-12)，(3-14)及(3-15)’中，即可求得8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換矩陣和其逆陣，以及坐標(biāo)變換行列式的具體表達(dá)式。這些表達(dá)式都是局部坐標(biāo)和的函數(shù)。最后，再把式(3-29)代入式(3-30)中，就把和轉(zhuǎn)化成為局部坐標(biāo)的函數(shù)，這對(duì)于立足于局部坐標(biāo)去計(jì)算單元應(yīng)力和單元?jiǎng)偠汝囀欠浅７奖愕?。?yīng)該指出，為了保證8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的坐標(biāo)變換能順利進(jìn)行，對(duì)整體坐標(biāo)下8個(gè)結(jié)點(diǎn)位置的配置必須做一定的限制。既不能使單元太偏斜，又要求任意兩條對(duì)邊經(jīng)過適當(dāng)延伸也不能在單元內(nèi)出現(xiàn)交點(diǎn)。通常，在劃分單元網(wǎng)格時(shí)，盡量把每個(gè)單元配置成接近正方形。第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四將式(3-21)代入平面問題的幾何方程中，便得出8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元的應(yīng)變分量計(jì)算式(3-31)二．單元分析第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四式中——單元應(yīng)變矩陣的第i個(gè)子矩陣——單元結(jié)點(diǎn)位移列陣第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元的應(yīng)力表達(dá)式式中和——應(yīng)力矩陣及其子矩陣，對(duì)于平面應(yīng)變問題(3-32)第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)用虛功方程，仍可以導(dǎo)出這種單元的剛度矩陣。(3-33)把式(3-33)寫成分塊矩陣，可分成8×8個(gè)子矩陣，每個(gè)子矩陣都是2×2階矩陣：(3-34)第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四將式(3-29)代入式(3-28)中，再將式(3-28)代入式(3-12)、(3-14)和(3-15)’即可求得8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元的,及；然后將式(3-29)代入式(3-30)中，再將式(3-30)及已求得的代入式(3-34)中，經(jīng)過局部坐標(biāo)的積分，可得到，其中被積函數(shù)(3-35)第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四或的具體數(shù)值；最后把各單元的組集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣，把各單元的結(jié)點(diǎn)力列陣組集成整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列陣，并組成結(jié)構(gòu)剛度方程，再考慮結(jié)構(gòu)約束條件，即可求解出離散結(jié)構(gòu)上各結(jié)點(diǎn)的位移分量列陣和各單元的結(jié)點(diǎn)位移分量列陣。求得了各單元的后，再把和已計(jì)算過的式(3-30)一起代入式(3-32)中，且要給出各單元需要求應(yīng)力的局部坐標(biāo)值，就可以求得各單元內(nèi)需要求應(yīng)力那些點(diǎn)的各應(yīng)力分量值。第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)該指出，無論是8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元或者是4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元，其單元內(nèi)每一點(diǎn)的應(yīng)力都是不相同的，且是點(diǎn)的局部坐標(biāo)復(fù)雜函數(shù)，因而這種單元的精度比較高。但是，在相鄰單元公共邊上的應(yīng)力函數(shù)仍然是不連續(xù)的（其位移是連續(xù)的）。因此，通常是求單元各高斯積分點(diǎn)處的應(yīng)力。（見§3.4）8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元基本和4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算方法相同?，F(xiàn)以8結(jié)點(diǎn)四邊形等參元為例，討論如何把單元上的載荷化成等效結(jié)點(diǎn)力。三．等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

1.集中力：設(shè)單元上任意點(diǎn)c受有集中載荷，則被移置到單元各有關(guān)受載結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力，可按第2章§2-8節(jié)中講過的方法直接寫成(3-36)式中代表在集中力作用點(diǎn)處c的取值，把c點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入形函數(shù)，再去計(jì)算。實(shí)際計(jì)算時(shí)，應(yīng)盡量把集中力作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，而把直接加到該結(jié)點(diǎn)上。第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

2.體積力：設(shè)單元上的體力為，移置到單元各結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力。按式(2-38)可寫成式中t是單元厚度。

(3-37)第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3.面力：設(shè)單元的某邊界上受有面力上有關(guān)結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)力按式(2-39)可寫成式中是單元作用有面力的邊界域；是在邊界域的一個(gè)微弧長；i為受面力邊界上的結(jié)點(diǎn)號(hào)碼。，這條邊界(3-38)第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)指出，式(3-38)中所給出的面力分量和，實(shí)用時(shí)不太方便。在實(shí)際結(jié)構(gòu)上往往是給出沿單元曲線邊界的法線和切線方向的面力和，故需對(duì)式(3-38)做適當(dāng)修改。規(guī)定：法向面力以沿邊界曲線的外法線方向?yàn)樨?fù)，切向面力以沿單元邊界逆時(shí)針方向前進(jìn)者為正。圖中指出的和都是正的。第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四設(shè)圖中8結(jié)點(diǎn)平面等參元的邊界上受有面力及，且與x軸的夾角為。則與x軸的夾角就是。由圖知而第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四把和代入(3-38)式得由(3-21)知，，故x或y對(duì)和的重積分為(3-39)第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于圖中等參元的邊界，其局部坐標(biāo)，是變化的，因此x或y對(duì)局部坐標(biāo)的全微分應(yīng)為將和代入式(3-39)得(3-40)由于，及都是的復(fù)雜函數(shù)（因的積分也要用數(shù)值積分法（常用高斯求積法來求解）。），故式(3-40)第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四4.溫度荷載考慮溫度變化產(chǎn)生的初應(yīng)變則任意結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力是將和代入上式，可以寫成第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四此時(shí)，計(jì)算應(yīng)力的（3-32）式改寫為第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四在前二節(jié)的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算公式中，都需要做如下形式的積分運(yùn)算顯然，被積函數(shù)一般是很復(fù)雜的，往往不能得出它的顯式。因此，在有限單元法的計(jì)算中都用數(shù)值積分。我們?cè)趩卧獌?nèi)選出某些點(diǎn)（稱為積分點(diǎn)），算出被積函數(shù)在這些積分點(diǎn)處的函數(shù)值，然后用一些加權(quán)系數(shù)乘上這些函數(shù)值，再求出總和作為近似的積分值。高斯求積法就是數(shù)值積分法中具有較高精度的方法。§3-4高斯求積法的應(yīng)用第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四一維高斯求積公式式中n是積分點(diǎn)的數(shù)目，是積分點(diǎn)i的局部坐標(biāo)，是加權(quán)系數(shù)。下表是n≤4的數(shù)值第六十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四