二項分布與泊松分布

常用離散型變量概率分布

及應用二項分布和泊松分布張合喜公共衛(wèi)生學院

本文檔共60頁；當前第1頁；編輯于星期五\22點14分第一節(jié)二項分布和總體率的估計一、二項分布（一）二項分布的概念

在生命科學研究中，經(jīng)常會遇到一些事物，其結(jié)果可分為兩個彼此對立的類型，如一個病人的死亡與存活、動物的雌與雄、微生物培養(yǎng)的陽性與陰性等，這些都可以根據(jù)某種性狀的出現(xiàn)與否而分為非此即彼的對立事件。這種非此即彼事件構(gòu)成的總體，就稱為二項總體（binomialpopulation）。本文檔共60頁；當前第2頁；編輯于星期五\22點14分第一節(jié)二項分布和總體率的估計二項分布(binomialdistribution)就是對這種只具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機變量的規(guī)律性進行描述的一種概率分布。由于這一種分布規(guī)律是由瑞士學者貝努里(Bernoulli)首先發(fā)現(xiàn)的，又稱貝努里分布。

本文檔共60頁；當前第3頁；編輯于星期五\22點14分二項分布有兩個基本假設(shè)：

1.各事件是相互獨立的，即任一事件的發(fā)生與否，不影響其它事件的發(fā)生概率；

2.各個隨機事件只能產(chǎn)生相互排斥的兩種結(jié)果。

本文檔共60頁；當前第4頁；編輯于星期五\22點14分定理：幾個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于各獨立事件的概率之積。定理：在幾個互不相容的事件中，任一事件發(fā)生的概率等于這幾個事件的概率之和。抓中兩黑一白的概率：P(2)=3×0.125=0.375抓中三個黑球的概率：P(3)=0.5×0.5×0.5=0.125本文檔共60頁；當前第5頁；編輯于星期五\22點14分本文檔共60頁；當前第6頁；編輯于星期五\22點14分本文檔共60頁；當前第7頁；編輯于星期五\22點14分

各種可能發(fā)生的結(jié)果對應的概率相當于展開后的各項數(shù)值，即：

前例：π=0.8，1-π=0.2，n=3本文檔共60頁；當前第8頁；編輯于星期五\22點14分二項分布的概率公式

如果一個事件A，在n次獨立試驗中，每次試驗都具有概率π

，那么，這一事件A將在n次試驗中出現(xiàn)x次的概率為：

式中：稱二項系數(shù)。本文檔共60頁；當前第9頁；編輯于星期五\22點14分（二）二項分布的應用條件

1.各觀察單位只能具有互相對立的一種結(jié)果，屬于二項分類資料；

2.已知發(fā)生某一結(jié)果的概率為π，其對立結(jié)果的概率則為1-π

。實際工作中要求π是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；3.n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的結(jié)果。

本文檔共60頁；當前第10頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)

1.二項分布的均數(shù)和標準差二項分布的平均數(shù)：μ=nπ

上式的意義：做n次獨立試驗，某事件平均出現(xiàn)的次數(shù)為nπ次，這一結(jié)果較為符合人們的直觀想法。如果，生男孩這一事件的概率是1/2，則100個新生兒中可期望有nπ=100×1/2=50個是男孩。當用率表示時，μ＝π

本文檔共60頁；當前第11頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)二項分布的標準差：標準差表示x取值的離散度或變異的大小。如n=5，π=5/6，1-π=1-5/6，則：本文檔共60頁；當前第12頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)二項分布的標準誤

若以比值或百分數(shù)表示，則標準誤為

:

σp被稱為率的標準誤（standarderrorofrate），用來反映隨機抽樣獲得的樣本率p與總體π之間的抽樣誤差大小。

本文檔共60頁；當前第13頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)二項分布的標準誤

若以比值或百分數(shù)表示，則標準誤為

:實際工作中常用p作為π

的估計值，得：本文檔共60頁；當前第14頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)

2.二項分布的累計概率常用的有左側(cè)累計和右側(cè)累計2種方法。從陽性率為π

的總體中隨機抽取n個個體，則(1)最多有k例陽性的概率P(x≤k)=P(0)+P(1)+……+P(k)(2)最少有k例陽性的概率P(x≥k)=P(k)+P(k+1)+……+P(n)=1-P(x≤k-1)本文檔共60頁；當前第15頁；編輯于星期五\22點14分（三）二項分布的性質(zhì)

3.二項分布的圖形二項分布的圖形，取決于兩個方面，其一為事件發(fā)生的概率π

，其二為樣本含量n。當π

=1-π

=1/2時，二項分布的圖形是對稱的；當π

<1/2時，二項分布的圖形呈左偏態(tài)；當π

>1/2時，二項分布的圖形呈右偏態(tài)；當π與1-π不變時，即使π

≠1-π

，但隨著n的增大，二項分布的的偏態(tài)程度會逐漸降低而趨于對稱。

本文檔共60頁；當前第16頁；編輯于星期五\22點14分二項分布總體不同樣本例數(shù)時的抽樣分布

本文檔共60頁；當前第17頁；編輯于星期五\22點14分二、二項分布的應用

(一)、總體率的估計

有點值估計和區(qū)間估計。1查表法：當n較小，如n≤50時，特別是p很接近于0或1時，可由附表6百分率的置信區(qū)間表直接查出。P709orp817例：某地對13名輸卵管結(jié)扎的育齡婦女經(jīng)壺腹部吻合術(shù)后，觀察其受孕情況，發(fā)現(xiàn)有6人受孕，據(jù)此估計該吻合術(shù)婦女的受孕的95%可信區(qū)間此例：n=13，x=6

查表得95%CI為：19%～75%。本文檔共60頁；當前第18頁；編輯于星期五\22點14分二、二項分布的應用

(一)、總體率的估計

1查表法：附表6百分率的置信區(qū)間表直接列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查n-x的陰性部分的QL~QU再相減得PLand

pUPL=1-QL1-QU例：某地調(diào)查50名兒童蛔蟲感染情況，發(fā)現(xiàn)有10人大便中有蛔蟲卵，問兒童蛔蟲感染率的95%置信區(qū)間是多少？此例：n=50，x=10

查表得95%CI為：10%～34%。本文檔共60頁；當前第19頁；編輯于星期五\22點14分二項分布的應用

2正態(tài)近似法：應用條件：np及n(1?p)均≥5p±uαsp

例：在某地隨機抽取329人，做HBsAg檢驗，得陽性率為8.81%，求陽性率95%置信區(qū)間。已知：p=8.81%，n=329，故：

95%CI：8.81±1.96×1.56；即5.75%～11.87%。本文檔共60頁；當前第20頁；編輯于星期五\22點14分二項分布下表是用P±Uasp時要求的P值與N的大小參考數(shù)字。PnnP0.530150.450200.380240.2200400.1600600.05140070本文檔共60頁；當前第21頁；編輯于星期五\22點14分二項分布的應用(二)差異的顯著性檢驗1直接法例某醫(yī)院用甲藥治療某病，其治愈率為70%，今用乙藥治療該病10人，治愈9人，問甲乙兩藥療效有無差別？已知：π=0.7，1-π=0.3，假設(shè)兩藥療效無差別，則治愈與非治愈的概率應符合二項分布，即：

本文檔共60頁；當前第22頁；編輯于星期五\22點14分如果甲乙兩藥療效無差別，按甲藥的治愈率(70%)用乙藥治療10人應治愈7人，實際治愈9人，相差2人。雙側(cè)檢驗，計算相差±2人及2人以上的總概率，即x≥9和x≤5的概率之和：ΣP=0.000006+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919+0.121061+0.028248=0.299577或：ΣP=1-(0.200121+0.266828+0.233474)=0.299577本文檔共60頁；當前第23頁；編輯于星期五\22點14分

P=0.299577>0.05，差異無統(tǒng)計學意義，尚不能認為乙藥療效優(yōu)于甲藥。

本例如采用單側(cè)檢驗，即要求判斷乙藥療效優(yōu)于甲藥？此時只需計算相差2人及以上的總概率：ΣP=P(9)+P(10)=0.121061+0.028248=0.149309P>0.05,差異無統(tǒng)計學意義，尚不能認為乙藥療效優(yōu)于甲藥。本文檔共60頁；當前第24頁；編輯于星期五\22點14分3.研究疾病的家族聚集性

例某單位發(fā)生乙肝暴發(fā)流行，經(jīng)調(diào)查4口之家共288戶，其中無病例的167戶，發(fā)生1例的51戶，2例的50戶，3例的17戶，全家發(fā)病的3戶，問乙肝的發(fā)病是否具有家族集聚性？

π=214/1152=0.1858，1-π=0.8142

計算發(fā)病數(shù)x=0，1，2，3，4時的理論概率和理論戶數(shù)。列表，比較實際戶數(shù)與理論戶數(shù)差別有無顯著性意義。

本文檔共60頁；當前第25頁；編輯于星期五\22點14分二項分布展開計算表發(fā)病人數(shù)展開式概率理論戶數(shù)實際戶數(shù)xCxnπ

x(1-π)n-xPT=P×288A0C04

(0.1858)0(0.8142)40.4395126.571671C14

(0.1858)1(0.8142)30.4011115.52

512C24

(0.1858)2(0.8142)20.1373

39.54

503C34

(0.1858)3(0.8142)10.0209

6.02

174C44

(0.1858)4(0.8142)00.0012

0.35

3本文檔共60頁；當前第26頁；編輯于星期五\22點14分二項分布擬合優(yōu)度的χ2檢驗發(fā)病人數(shù)實際戶數(shù)理論戶數(shù)(A-T)2(A-T)2xATT0167126.571634.5812.911

51115.524162.8336.042

50

39.54

109.41

2.773

17

6.02

120.5620.034

3

0.35

7.0220.06χ2=91.81，按ν=組數(shù)-2=5-2=3查χ2界值表得：χ20.01(3)=11.345，故P<0.01，說明該疾病的家庭分布不符合二項分布，可以認為該病有家族集聚性。本文檔共60頁；當前第27頁；編輯于星期五\22點14分(五）群檢驗用于混合樣本分析：常見于陽性率很低或檢出率低的分析樣本根據(jù)二項分布的原理：1份混合樣本中含有k份陽性的概率為P（k）=本文檔共60頁；當前第28頁；編輯于星期五\22點14分當k=0時P（0）是說混合樣品中沒有1陽性樣品的原始概率，反映的是混合樣品陰性的概率本文檔共60頁；當前第29頁；編輯于星期五\22點14分（五）群檢驗當收集的樣本數(shù)量很大時，全部檢驗費時費力可以用群檢驗的方法進行解決，若每個標本的陽性概率為π，則其陰性概率為Q=1-πQm便是某個群m個標本均為陰性的概率，一個群為陰性的群的概率，而1-Qm就為一個群陽性的概率。假設(shè)受檢的n個群中有X個陽性群，用x/n作為陽性群概率的估計值本文檔共60頁；當前第30頁；編輯于星期五\22點14分（五）群檢驗

1-Qm=X/n從而Q=√P=1-Q本文檔共60頁；當前第31頁；編輯于星期五\22點14分第四節(jié)泊松分布(Poissondistribution)

一、Poisson分布

(一)泊松分布的概念泊松分布（舊譯普哇松分布）是離散型隨機變量的另一重要分布，最早由于1837年提出。

定義：若離散型隨機變量x的取值為非負整數(shù)，且相應的概率函數(shù)為：

則稱隨機變量X服從泊松分布。本文檔共60頁；當前第32頁；編輯于星期五\22點14分泊松分布(Poissondistribution)

泊松分布的數(shù)學表達式：在n個取樣單位內(nèi)，出現(xiàn)X=0,1,2,…,n個陽性事件的理論概率分別為下列公式的展開各項：

式中：P(X)為出現(xiàn)陽性事件例數(shù)為X的理論概率。實際應用時，可以用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)μ的估計值。本文檔共60頁；當前第33頁；編輯于星期五\22點14分（二）Poisson分布的應用條件

在二項分布中，如果π很小，而試驗次數(shù)n很大，nπ趨向于一個常數(shù)μ時，則可以用參數(shù)為μ的泊松分布近似地表示。泊松分布還有其獨特的意義，它對于描述隨機現(xiàn)象在大面積（時間、空間）上的分布情況很有用。例如在單位面積的水中的細菌數(shù)的分布，計數(shù)室中細菌數(shù)的分布，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射次數(shù)的分布等都屬于泊松分布。本文檔共60頁；當前第34頁；編輯于星期五\22點14分泊松分布(Poissondistribution)

服從泊松分布的條件與二項分布一樣，其中之一是各事件相互獨立。例如，某一昆蟲是否落入，某人是否患某病與他人是否患病無關(guān)等。如果不符合這一條件就不呈泊松分布。因此，也可以用泊松分布來研究某些疾病是否有家族聚集性、傳染性等。本文檔共60頁；當前第35頁；編輯于星期五\22點14分（三）Poisson分布的性質(zhì)

1.Poisson分布是一種單參數(shù)的離散型分布，其參數(shù)為μ，它表示單位時間或空間內(nèi)某事件平均發(fā)生的次數(shù)，又稱強度參數(shù)。

本文檔共60頁；當前第36頁；編輯于星期五\22點14分（三）Poisson分布的性質(zhì)

2.Poisson分布的均數(shù)和方差相等對于符合泊松分布的資料，其n很大，而π很小，因此，泊松分布的平均數(shù)為：μ=nπ

當π→0，(1-π)→1時，泊松分布的標準差為：也就是說，泊松分布的平均數(shù)與它的方差相等：μ=σ2本文檔共60頁；當前第37頁；編輯于星期五\22點14分（三）分布的性質(zhì)

3.Poisson分布的累計概率常用的有左側(cè)累計和右側(cè)累計2種方法。累計概率為單位時間或空間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)。(1)最多有k例陽性的概率P(x≤k)=P(0)+P(1)+……+P(k)(2)最少有k例陽性的概率P(x≥k)=P(k)+P(k+1)+……+P(n)=1-P(x≤k-1)本文檔共60頁；當前第38頁；編輯于星期五\22點14分（三）分布的性質(zhì)

4.Poisson分布的圖形泊松分布的圖形是由平均數(shù)μ來確定的，當μ較小時，泊松分布不對稱的程度較為顯著，通常呈左偏分布；隨著μ值逐漸增大，泊松分布逐漸趨向?qū)ΨQ，而且，和二項分布一樣，也逐漸趨向正態(tài)分布。一般說來，當平均數(shù)μ>50時(有人認為當μ>20)，泊松分布就近似于正態(tài)分布。本文檔共60頁；當前第39頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布總體均數(shù)不同時的抽樣分布

本文檔共60頁；當前第40頁；編輯于星期五\22點14分（三）Poisson分布的性質(zhì)當n很大，p很小，np=μ為一常數(shù)時，二項分布近似于泊松分布。p愈小，近似程度愈好。

例：據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率為1%，試分別用二項分布和泊松分布原理，求100名新生兒中發(fā)生x例（x=1,2,3......）染色體異常的概率。

本文檔共60頁；當前第41頁；編輯于星期五\22點14分二項分布與泊松分布的比較

由上表可見，二者計算結(jié)果非常接近，當n愈大其接近程度愈好，但泊松分布的P(X)計算較為簡便。

XP(X)

二項分布

泊松分布

0123456780.33600.36970.18490.06100.01490.00290.00050.00010.00000.36790.36790.18390.06130.01530.00310.00050.00010.0000合計1.0000

1.0000

本文檔共60頁；當前第42頁；編輯于星期五\22點14分

5.Poisson分布的可加性如果相互獨立的k個隨機變量都服從泊松分布，則它們之和仍服從泊松分布，且其均數(shù)為k個隨機變量的均數(shù)之和。此稱為泊松分布的可加性。本文檔共60頁；當前第43頁；編輯于星期五\22點14分

例：已知某放射性物質(zhì)每10分鐘放射脈沖數(shù)呈泊松分布，5次測量的結(jié)果分別為35、34、36、38、34次，那么，50分鐘總計的脈沖數(shù)177次，亦呈泊松分布。因此，泊松分布資料可利用可加性原理使μ>20，這樣就可以用正態(tài)近似法處理。

本文檔共60頁；當前第44頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布的應用

置信區(qū)間的估計對于小樣本資料的泊松分布置信區(qū)間估計，可以查附表7。p448

例由一份混合好的自來水中取1ml水樣，培養(yǎng)得細菌5個，請估計原水中每ml細菌數(shù)95%的置信區(qū)間。查附表7：樣本計數(shù)X=5，95%CI：1.6～11.7。本文檔共60頁；當前第45頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布的應用

置信區(qū)間的估計對于大樣本資料（X>50）的置信區(qū)間估計，可以近似地運用正態(tài)分布法進行，即：95%置信區(qū)間為：99%置信區(qū)間為：例同一份樣品分別用10個平皿進行培養(yǎng)，共數(shù)得菌落數(shù)1460個，試估計該樣品菌落數(shù)95%置信區(qū)間。本例：X=1460/10=146（個）95%CI：，即122.32～169.68。

本文檔共60頁；當前第46頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布的應用泊松分布的配合

例：將培養(yǎng)皿中的細菌稀釋液置于血球計上，數(shù)出小方格中的細菌數(shù)，共計128個方格，計數(shù)結(jié)果見下表。問此分布是否符合泊松分布？

表×

細菌在計數(shù)小方格中的分布

每小格細菌數(shù)（X）

觀察的方格數(shù)（f）

01234264038177本文檔共60頁；當前第47頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布的應用計算過程：求出樣本均數(shù)以代替μ，按照泊松分布的概率公式求出X=0，1，2，3，4時的概率P(X)。本例μ=1.5234，代入公式得：

P(0)=e-μμx/x!=e-1.5234(1.5234)0/0!=0.2180P(1)=e-1.5234(1.5234)1/1!=0.3321P(2)=e-1.5234(1.5234)2/2!=0.2529P(3)=e-1.5234(1.5234)3/3!=0.1284P(3)=e-1.5234(1.5234)4/4!=0.0489本文檔共60頁；當前第48頁；編輯于星期五\22點14分也可按下面的遞推公式計算：本文檔共60頁；當前第49頁；編輯于星期五\22點14分

驗算：P(0)+P(1)+P(2)+……+P(n)=1

本例：0.2180+0.3321+0.2529+0.1284+0.0489=0.9803

以各組的概率P(X)乘以n即為X=0,1,2,3,4按泊松分布的理論頻數(shù)。

將理論頻數(shù)與實際頻數(shù)比較(χ2-test)，判斷此分布是否符合泊松分布。

本文檔共60頁；當前第50頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布擬合優(yōu)度檢驗計算表

χ2=Σ(A-T)2/T=1.3606

因擬合泊松分布時用了n和μ，故ν=組數(shù)-2=5-2=3。查χ2界值表得χ20.05(3)=7.81，故P>0.05

結(jié)論：實際分布與理論分布差別無統(tǒng)計學意義，可認為符合泊松分布。

xATA-T(A-T)2(A-T)2T0123426403817727.9042.5032.3716.446.26-1.90-2.505.630.560.743.61046.265131.64580.31380.54600.12940.14740.97750.01910.1872本文檔共60頁；當前第51頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布資料的差異顯著性檢驗例：某種生物制劑的異常反應發(fā)生率一般在1/萬左右，今試用該生物制劑新制品，在受試者100人中發(fā)現(xiàn)1人有異常反應，問該生物制劑的異常反應率是否高于一般？假設(shè)新制品反應率與一般反應率相同，則100人中反應的平均數(shù)為：H0:π=π0μ=100×1/10000=0.01本例π=0.0001，很小，n=100，很大，可用泊松分布作近似計算，100人中1例異常反應也不出現(xiàn)的概率為：

本文檔共60頁；當前第52頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布資料的差異顯著性檢驗100人中1例異常反應也不出現(xiàn)的概率為：

出現(xiàn)1例及1例以上的概率：P(x≥1)=1-P(0)=1-0.990050=0.009950

P<0.01，差異有高度顯著性意義，說明新制品的異常反應率高于一般。

本文檔共60頁；當前第53頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布資料的差異顯著性檢驗例:用甲乙兩種培養(yǎng)基對水樣進行細菌培養(yǎng)，在相同的條件下，用甲培養(yǎng)基的菌落為100，用乙培養(yǎng)基的菌落為150，問兩培養(yǎng)基菌落數(shù)的差別有無顯著性？本例平均數(shù)μ>50，可用正態(tài)近似法進行泊松分布的檢驗。

H0：兩種培養(yǎng)基的菌落數(shù)相同，

H1：兩種培養(yǎng)基的菌落數(shù)不同。

α=0.05。

本文檔共60頁；當前第54頁；編輯于星期五\22點14分Poisson分布資料的差異顯著性檢驗在對泊松分布資料進行顯著性檢驗時，如