第三章流體靜力學(xué)

第三章流體靜力學(xué)第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)作用于流體上的力

靜止流場(chǎng)中的應(yīng)力靜止流體的基本微分方程重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力重力場(chǎng)中靜止氣體的壓力分布非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象流體靜壓力的測(cè)量原理第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)第八節(jié)退出返回第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第一節(jié)作用于流體上的力

第1頁(yè)流體靜力學(xué)研究處于靜止?fàn)顟B(tài)的流體（簡(jiǎn)稱靜止流體）應(yīng)遵循的規(guī)律，它主要討論靜止流體的壓力以及靜止流體與它的邊界之間的作用力。當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，流體內(nèi)部沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，靜止流體的切應(yīng)力為零，顯然，這時(shí)流體也不呈現(xiàn)粘性。因此流體靜力學(xué)所得出的結(jié)論對(duì)理想流體（）或?qū)嶋H流體（）都是適用的。

一、表面力與流體應(yīng)力通過(guò)與流體表面接觸而作用于接觸表面上的力稱為表面力，又稱面積力或接觸力。作用于流體單位面積上的表面力稱為流體應(yīng)力。如圖3.1所示，流場(chǎng)中任取一體積為、表面積為A的流體微團(tuán)。外法線單位向量為的面積A上受到外界作用的表面力為，當(dāng)A縮小為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，A表面上的流體應(yīng)力為

圖3.1作用于流體上的力AFPn作用于流體上的力分為兩類，即表面力與體積力。（3.1）第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第一節(jié)作用于流體上的力

第2頁(yè)外界作用于該流體微團(tuán)上的表面力為。流體應(yīng)力不僅與點(diǎn)的位置有關(guān)，而且與通過(guò)該點(diǎn)的截面方位有關(guān)，也就是說(shuō)，通過(guò)一點(diǎn)可以有不同的流體應(yīng)力。例如在直角坐標(biāo)系中，某點(diǎn)的應(yīng)力分別為通過(guò)該點(diǎn)外法線單位向量為截面上的應(yīng)力。二、體積力與單位質(zhì)量的體積力直接作用于流體體積上的力稱為體積力。這種力的作用與該流體微團(tuán)周圍有無(wú)流體無(wú)關(guān)。體積力又稱質(zhì)量力。流體力學(xué)中經(jīng)常采用的是單位質(zhì)量的體積力，用表示。如作用于體積上的體積力為，體積中的流體密度為，則（3.2）外界作用于該團(tuán)流體上的體積力為。絕大多數(shù)流體力學(xué)問(wèn)題中，流體是處于重力場(chǎng)中，令為重力加速度，則

（3.3）第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第二節(jié)靜止流場(chǎng)中的應(yīng)力第1頁(yè)靜止流體保持恒定的變形，不存在任何方向的變形速率，所以沒(méi)有用以抵抗不斷變形的切向應(yīng)力，流體表面的作用力只有法向應(yīng)力。由于流體除承受很小的表面張力外，不能承受拉應(yīng)力，所以法向應(yīng)力只能是壓應(yīng)力，于是靜止流體的應(yīng)力只有法向的壓應(yīng)力。取微元四面體建立力的平衡方程，可以得到結(jié)論：通過(guò)一點(diǎn)的各個(gè)截面上的壓應(yīng)力的值都是相等的，于是靜止流體的應(yīng)力可表示為

式中定義為靜止流體的壓力()，它就是經(jīng)典熱力學(xué)中的平衡態(tài)壓力。在流體力學(xué)中，壓力是空間位置點(diǎn)與時(shí)間的函數(shù)，即。（3.4）第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第三節(jié)靜止流體的基本微分方程第1頁(yè)一、靜止流體基本微分方程如圖3.1所示，靜止流體中任意流體微團(tuán)所受的合力為零，即

式中為作用于微元體積上的合力。因?yàn)槭侨我獾?，被積函數(shù)是連續(xù)的，所以要滿足上式，只可能處處為零。于是有

（3.5）式（3.5）即為靜止流體基本微分方程。流場(chǎng)中任取一段微元線段點(diǎn)積式（3.5），則有

式中表示沿線段的壓力增量。在直角坐標(biāo)系中

（3.6）（3.7）重力場(chǎng)中，，即，這里z為某一參考水平面鉛垂方向上的坐標(biāo)值，為重力加速度的數(shù)值，于是（3.7）式變?yōu)椋海?.8）第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第2頁(yè)第三節(jié)靜止流體的基本微分方程（3.8）式中含有兩個(gè)變量函數(shù)和，但只有一個(gè)微分方程，所以（3.8）式本身是不封閉的，為此必須引入補(bǔ)充假定。對(duì)于密度相同的不可壓縮流體充滿的流場(chǎng)（簡(jiǎn)稱不可壓流場(chǎng)），可引入。對(duì)于可壓縮流體，則引入正壓流場(chǎng)假定。二、正壓流場(chǎng)流場(chǎng)中流體密度只是壓力的單值函數(shù)，即，則這種流場(chǎng)稱為正壓流場(chǎng)，正壓流場(chǎng)具有以下主要性質(zhì)：（1）

流場(chǎng)中存在壓力函數(shù)，定義為；（2）

；（3）

等壓面就是等密度面。完全氣體均溫場(chǎng)（）和標(biāo)準(zhǔn)大氣場(chǎng)為流體力學(xué)中常見(jiàn)的正壓流場(chǎng)。第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第3頁(yè)第三節(jié)靜止流體的基本微分方程三、靜止流體的基本特征由靜止流體基本微分方程可得到靜止流場(chǎng)的基本特性：（1）

靜止流場(chǎng)中質(zhì)量力必滿足，否則流場(chǎng)不會(huì)處于靜止。（2）

質(zhì)量力有勢(shì)的靜止流場(chǎng)必是正壓或不可壓流場(chǎng)，其等壓面必是等勢(shì)面。如有幾種不同密度流體組成的流場(chǎng)，其交界面（又稱自由面）必是等壓面。（3）

重力場(chǎng)（）中的靜止流體，除具有上述性質(zhì)外，不同介質(zhì)形成的自由面必是水平面。同一介質(zhì)連通的水平面必是等壓面。

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第1頁(yè)第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力一、壓力公式重力場(chǎng)是最典型的質(zhì)量力場(chǎng)。在重力場(chǎng)中，，若使直角坐標(biāo)軸與地面的外法線重合，則重力場(chǎng)可寫(xiě)成

由（3.8）式

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，式中可以是的函數(shù)，但當(dāng)所討論的問(wèn)題的時(shí)間和空間范圍不大時(shí)，可視為常數(shù)。液體的可壓縮性很小，如果在整個(gè)流場(chǎng)中壓力差別不是非常大，則可視液體為不可壓縮流體，即。積分式（3.9）可得

式中，它可以是時(shí)間的函數(shù)。

（3.9）（3.10）例題3.1有一差壓測(cè)壓管，連接方式如圖3.2所示。測(cè)得值，且已知測(cè)壓管內(nèi)兩種流體的密度分別為和，求1-1和2-2截面上壓力差的值。

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第2頁(yè)解：因同一介質(zhì)連通的水平面為等壓面，作3-3和4-4水平面，由（3.10）式可得

合并上兩式即可得到

圖3.2差壓測(cè)壓管22113344acb二、重力場(chǎng)中靜止流體對(duì)物面的作用力和力矩在實(shí)際工程問(wèn)題中，往往需要確定液體與固體接觸面之間的作用力。既然靜止液體中的壓力分布規(guī)律已經(jīng)知道，則流場(chǎng)邊界面上的壓力分布規(guī)律也是已知的，故不難確定固體任意邊界面A上所受的力為（3.11）第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中A為物體與流體的接觸面；為物面外法線方向單位向量；為物體表面所受的流體壓力；為流體壓力對(duì)參考點(diǎn)的力矩；為參考點(diǎn)到物面點(diǎn)的向徑；為參考點(diǎn)到合力作用線上任意一點(diǎn)的向徑，如圖3.3所示，合力作用線上的任意一點(diǎn)都可稱為壓力中心，但通常把該線與物面的交點(diǎn)稱為壓力中心。

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第3頁(yè)

圖3.3壓力中心

cc固體任意邊界面A上所受的力矩為

如果，則壓力中心即固體任意邊界面A上所受力的合力作用線的位置可由下式確定（3.12）（3.13）第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第4頁(yè)（一）豎放平壁面上所受的力流場(chǎng)的某部分邊界為豎放平壁面，如圖3.4所示，試確定面積A上所承受的由于靜液引起的作用力。為討論方便起見(jiàn)，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在自由面上，并使軸與豎面相垂直，于是豎面的法線與一致。由公式（3.11），液體作用在面積A上的合力為

即（3.14）可見(jiàn)，作用力由兩部分組成：一部分是氣壓對(duì)壁面的作用力，另一部分是液體對(duì)壁面的作用力。

上述分析同樣適合于求液體內(nèi)部任意放置的豎平面上的作用力。例題3.2若在液體流場(chǎng)中有豎壁面，如圖3.5所示，試求此壁面所承受來(lái)自液體的作用力。第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第5頁(yè)解:（二）平放平壁面上所受的力流場(chǎng)的某部分邊界為平放平壁面，試確定面積A上所承受的由于靜液引起的作用力。為討論方便起見(jiàn)，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在自由面上，壁面單位法線向量與重合（即壁面上部有液體），如圖3.6(a)所示，則液體作用在深度為的平面A上的合力為即

（3.15）第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第6頁(yè)

pahzyxnHFnpaFH(a)壁面向上(b)壁面向下

圖3.6平放平壁面所受的力

o可見(jiàn)，作用力由兩部分組成：一部分是氣壓對(duì)壁面的作用力，另一部分是液體對(duì)壁面的作用力，它相當(dāng)于面積A上所承受的液體總重。若壁面法線向量與相反，如圖3.6(b)所示，則液體作用于面積A上的力為

即可見(jiàn)，作用力方向向上（指向作用面）。（三）任意曲面上所受的力若流場(chǎng)的某部分邊界壁面為曲面，如圖3.7所示，試確定面積A上所承受的力。第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四如圖3.7(a)所示，若將坐標(biāo)原點(diǎn)放在自由表面上，則壓力公式可寫(xiě)成。由于曲面上各點(diǎn)的法線向量并不相同，故應(yīng)對(duì)每個(gè)微元面積進(jìn)行分析。在曲面上任取微元面積，其法向單位向量為，式中，，，。第三章流體靜力學(xué)

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第7頁(yè)

微元面受力為由幾何關(guān)系可知，微元面在坐標(biāo)面上的投影為，，。于是受力公式可寫(xiě)成即整個(gè)曲面上的受力可由上式積分求得（3.18）（3.17）（3.16）第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第8頁(yè)

(a) (b) (c) (d)

nApahzyxhpax

Azhxx1pah1h2Azxpa

A‘‘‘’hh'圖3.7曲面受力oooA式中為曲面各點(diǎn)的深度。由式（3.16）、（3.17）可見(jiàn)，水平方向的力與式（3.14）的形式一樣，但積分域?yàn)榍娣謩e在兩個(gè)豎坐標(biāo)面上的投影。因此曲面的側(cè)向受力與豎放平壁面?zhèn)认蚴芰ο嗤皇前亚嬖趥?cè)面上的投影作為豎平壁面處理。若曲面如圖3.7(b)所示，有一部分曲面在豎坐標(biāo)面上有正反兩個(gè)投影，而它們又處于同一水平面上，它們的作用力大小相等，方向相反，故可相互抵消。

式（3.18）雖然與式（3.15）形式相同，但是式中為變量。

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第9頁(yè)式（3.18）又可寫(xiě)成

顯然，上式右側(cè)第一項(xiàng)為氣壓對(duì)曲面的作用，第二項(xiàng)為曲面上液體的總重量。例題3.3試求圖3.7(c)中單位寬度的斜面所承受的作用力，斜面方程為（3.19）解：若曲面如圖3.7(d)所示，上下兩部分曲面在平面上的投影面方向相反。但是同一垂線上的壓力并不相等，所以對(duì)于有相重投影的那部分曲面上的力應(yīng)分別積分式中，為下部曲面A的深度，為上部曲面的深度，和分別為下部曲面及上部曲面在坐標(biāo)面上的投影。

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第10頁(yè)若，則上式可寫(xiě)成可見(jiàn)，上式為上、下曲面之間所包含的液體重量。（四）物體浮力浸于液體中的物體所受到的液體對(duì)它的作用力的合力即為物體的浮力。物體表面也是曲面，浸于液體中的物體表面為封閉曲面，如圖3.8(a)所示，作用在封閉曲面上的合力為

由于物面為封閉曲面，物面在豎坐標(biāo)面上的兩個(gè)投影面大小相等方向相反，且深度相等，故側(cè)向合力為零，

即。

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第11頁(yè)由于物面為封閉曲面，物面在水平面上的兩個(gè)投影面積數(shù)值相等，方向相反。但在同一條垂線上的上下兩個(gè)表面上的壓力差為，

故pah2

h1zyxon1n2zyxo

paAwAd

(a) (b)

圖3.8物體的浮力

式中A1和A2分別為朝上和朝下的物體表面，為浸于液體中的物體的體積。故物體的浮力等于與物體同體積的液體的重量。（3.20）第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第12頁(yè)對(duì)于部分浸沒(méi)于液體的物體，如圖3.8(b)所示，顯然它所受到的水平方向的合力為零，如同完全浸沒(méi)的物體一樣。它所受到的垂直于水平面方向的合力為

式中Aw為濕表面，Ad為干表面。右側(cè)第二項(xiàng)與等價(jià)，式中為Ad在水平面上的投影面，由于積分在投影面上進(jìn)行，而在該投影面上，故該項(xiàng)可改寫(xiě)為

于是式（3.21）可寫(xiě)成

（3.21）（3.22）式中組成了物體浸沒(méi)部分體積的封閉曲面?？梢?jiàn)，對(duì)于部分浸沒(méi)的物體，其浮力仍然等于和被浸沒(méi)的那部分物體同體積的液體的重量。第四節(jié)重力場(chǎng)中靜止流體的壓力，靜止流體對(duì)物面的作用力第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第1頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布無(wú)論液體或氣體，在靜止?fàn)顟B(tài)都應(yīng)滿足重力場(chǎng)中的平衡方程（3.8）

對(duì)于氣體而言，在整個(gè)流場(chǎng)中const，故p、均為待定函數(shù)。為求解函數(shù)p、，尚須補(bǔ)充一個(gè)方程。在許多實(shí)際問(wèn)題中，氣體流場(chǎng)中的壓力與密度往往具有確定的關(guān)系，即p與互為函數(shù)關(guān)系，。具有這種關(guān)系的流場(chǎng)稱為正壓流場(chǎng)。正壓流場(chǎng)中最有代表意義的流場(chǎng)為指數(shù)律流場(chǎng)，即

（3.23）式中c，n為常數(shù)。例如，完全氣體的均溫流場(chǎng)，即在整個(gè)流場(chǎng)中溫度為常數(shù)的流場(chǎng)，滿足，這就是一種指數(shù)規(guī)律正壓流場(chǎng)，相當(dāng)于n=1。下面將討論滿足指數(shù)律的正壓流場(chǎng)中的規(guī)律。

第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第2頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布一、正壓流場(chǎng)中的靜止氣體基本方程由式（3.8）及正壓條件（3.23）構(gòu)成，由該兩式消去可得

積分上式可得

式中C1為常數(shù)，它由具體問(wèn)題的邊界條件來(lái)確定。若已知z=0處壓力為p0，密度為，即，于是正壓條件中的c可寫(xiě)成，利用此條件可得到

（3.24）（3.25）代入式（3.25）可得（3.26）第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第3頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布此為指數(shù)律正壓流場(chǎng)中壓力分布公式。利用正壓條件式（3.23），由上式又可得到密度分布公式

對(duì)于完全氣體，由于，由式（3.26）和式（3.27）可得到溫度分布公式

式（3.26）是在的條件下，由式（3.24）積分求得。若指數(shù)律正壓流場(chǎng)的指數(shù)，即（3.27）（3.28）（3.29）則微分方程（3.8）可寫(xiě)成

此式的積分為

式中C1為常數(shù)，由具體問(wèn)題的邊界條件確定。（3.30）第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第4頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布二、標(biāo)準(zhǔn)大氣大氣的真實(shí)狀況非常復(fù)雜，它不僅與地理位置有關(guān)，而且與季節(jié)乃至?xí)r辰有關(guān)。但就整個(gè)大氣的平均狀況來(lái)說(shuō)，大氣層大致可分為下列幾個(gè)層次。海平面至11km高度為對(duì)流層，在此層中流動(dòng)復(fù)雜，變化甚大。由11km高空至32km高空為平流層，在此層中存在大氣的水平流動(dòng)，而且變化不大，溫度幾乎不變，故又稱同溫層。由32km高空到80km高空為高溫層。在80km以上的高空為外層空間。作為一種共同比較大氣狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，人們規(guī)定一種大氣狀態(tài)（大致與北半球中緯度全年平均氣象條件相符合），并命名為標(biāo)準(zhǔn)大氣狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)大氣的條件為(1)設(shè)大氣為完全氣體，其狀態(tài)方程為，式中R=287Pam3／(kgK)。第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第5頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布(2)在海平面上，T0=288.15K，p0=1.013×105Pa。(3)在對(duì)流層中，指數(shù)律正壓條件為n=1.238。根據(jù)上述條件，利用壓力、密度、溫度分布公式（3.26）、（3.27）、（3.28）可以得到對(duì)流層中壓力、密度和溫度分布公式（3.33）（3.32）（3.31）在對(duì)流層的上邊界m，其壓力、密度、溫度分別以，，表示。

第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第6頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布上述參數(shù)正是同溫層的下邊界條件，由此可以確定均溫流場(chǎng)中的壓力公式（3.30）中的C1及式（3.29）中的c

故同溫層中壓力公式可寫(xiě)成

利用式（3.29）可得

（3.35）（3.34）第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第7頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布例題3.4已知海平面上條件為p0=101.3kPa，t0=15℃，0=1.285kg／m3。并已知海平面上空溫度對(duì)于高度的下降率為(7／1000)K／m，試計(jì)算z=3000m處的壓力和密度。解:由海平面上的條件，可以求出空氣的氣體常數(shù)

由正壓流場(chǎng)中的溫度公式（3.28）可知，

對(duì)上式微分

Pam3／(kgK)即

將已知條件7／1000代入上式，則n=1.243。將n代入式（3.26）、（3.27）、（3.28）得到第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第8頁(yè)第五節(jié)重力場(chǎng)中靜止氣體中的壓力分布

第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第1頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體以上討論了慣性坐標(biāo)系中的靜止流體?，F(xiàn)綜合慣性坐標(biāo)系中質(zhì)量力為重力的靜止流體基本公式如下：（等壓面即等勢(shì)面即水平面）（3.36）對(duì)于以平移（，為常數(shù)），（）等速旋轉(zhuǎn)的非慣性坐標(biāo)系，質(zhì)量力為重力的相對(duì)靜止流體基本公式如下：

第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第2頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體

式中r為空間點(diǎn)位置（x,y,z）到旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離?，F(xiàn)討論兩類最典型的非慣性坐標(biāo)系，即直線等加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系和等角速度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系。并研究這兩種非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體中的壓力分布規(guī)律。

（3.37）有一盛液體的容器，沿直線作等加速運(yùn)動(dòng)，如圖3.9所示。加速度為,在此非慣性坐標(biāo)系中，質(zhì)量力場(chǎng)由兩部分組成：重力場(chǎng)及慣性力場(chǎng)。一、直線等加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第3頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體

zax圖3.9直線等加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系o

即，，容器中液體相對(duì)于容器處于靜止?fàn)顟B(tài)，由靜止流體平衡方程式得：（3.38）由于const，故上式可直接積分

（3.39）式中C為積分常數(shù)。由此壓力分布公式不難證明，在直線等加速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中，靜止流體的等壓面、自由面、分界面均為與水平方向成夾角的斜平面。

第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四式中分別為沿r，，z軸的單位向量。積分上式可得

第三章流體靜力學(xué)

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第4頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體二、等角速度旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系盛有液體的容器，繞某一固定軸作等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3.10所示。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，各點(diǎn)的加速度為

式中，為柱坐標(biāo)沿r方向的單位向量。在此非慣性坐標(biāo)系中，質(zhì)量力場(chǎng)由兩部分組成，重力場(chǎng)g及慣性力場(chǎng)a。

容器中的液體相對(duì)于容器處于平衡狀態(tài)，由靜止流體平衡方程式知

zx圖3.10旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o（3.40）（3.41）（3.42）式中C為積分常數(shù)。第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第5頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體同樣由上述壓力分布公式不難證明，在等角速旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系中，靜止液體的等壓面、自由面、分界面均為拋物面。r

z

o

o

x

y

a0

圖3.11火車上的旋轉(zhuǎn)水桶中水的自由表面例題3.5火車在水平軌道上以等加速運(yùn)動(dòng)，車廂中有一半徑為R，盛水的水桶繞鉛垂軸oz以等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，足夠長(zhǎng)時(shí)間后，水桶中的水達(dá)到相對(duì)靜止，如圖3.11所示，求自由面形狀。解：選取圖示柱坐標(biāo)系，自由面就是等壓面，const，由（3.37）最后一式第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第6頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體例題3.6一圓筒形密閉容器，如圖3.12所示，內(nèi)裝0.25m3的水，圓筒以的等角速度繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)，達(dá)到相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，如自由面上的大氣壓力為pa，頂蓋質(zhì)量為5kg，試確定作用在頂蓋螺栓上的拉力。解：

容器體積為，故容器內(nèi)有自由面。選取圖示坐標(biāo)系。且已知在處，由（3.42）式得在自由面上，則假設(shè)自由面形狀如圖，即，則zr1z00.7m0.4mro圖3.12旋轉(zhuǎn)圓桶中水對(duì)頂蓋的作用力第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第7頁(yè)第六節(jié)非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體解得，與上述假設(shè)符合。所以第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第1頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象(a)(b)(c)圖3.13表面張力現(xiàn)象

如果把一根棉線拴在鐵絲環(huán)上，然后把環(huán)浸到肥皂水里再拿出來(lái)，環(huán)上出現(xiàn)一層肥皂薄膜，如圖3.13(a)所示。如果用針刺破棉線左側(cè)的薄膜，則棉線會(huì)被右邊的薄膜拉向右彎，如圖3.13(b)所示。如果刺破右側(cè)，則棉線會(huì)被左邊的薄膜拉向左彎，如圖3.13(c)所示。液體表面的這種收縮趨勢(shì)是由使液體表面收縮的力—表面張力所造成的。表面張力沿著液體的表面作用并且和液體的邊界垂直。一、表面張力第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第2頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象下面進(jìn)一步分析上述現(xiàn)象的物理本質(zhì)。在靜止的流體中，每一個(gè)流體分子都受到周圍分子的吸引力的作用。分子間吸引力的作用半徑r約為

mm。流體內(nèi)部的任意一點(diǎn)，周圍分子對(duì)它的吸引力是相互抵消的，處于平衡狀態(tài)。但是對(duì)于液體表面附近的分子，受分子吸引力的情況就不同了。如圖3.14所示，m為距液面為h的一個(gè)分子，若以m為中心，以引力作用半徑r為半徑作一球面，可見(jiàn)在MN和M’N’平面之間的全部流體分子對(duì)m質(zhì)點(diǎn)的吸引力相互抵消，而M’N’平面以下的流體分子對(duì)m的吸引力無(wú)法平衡。因此m受到一個(gè)向下的拉力。顯然，只有當(dāng)m點(diǎn)離液面的距離時(shí)周圍分子對(duì)它的吸引力才能互相平衡，而在的表面層內(nèi)的分子都受到大小不同、方向向下的拉力的作用。表面張力就是液體表面層內(nèi)的分子所受引力不平衡的表現(xiàn)，它把液體表面層的分子緊緊地拉向液體內(nèi)部。第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第3頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象圖3.14表面張力產(chǎn)生的機(jī)理

rmMNM’N’hh如果把液面任意分開(kāi)為兩部分，則這兩部分之間都有互相吸引的表面張力存在，并且垂直作用于二部分液體表面的分界線。液面分界線越長(zhǎng)所表現(xiàn)出來(lái)的表面張力越大。常用作用于單位長(zhǎng)度上的力來(lái)表示表面張力的大小并稱為表面張力系數(shù)，也稱毛細(xì)常量。常用的單位為N／m。在各種介質(zhì)之間，互不相溶的液體間或液體與氣體之間，分界面附近的分子都受到兩種介質(zhì)的分子力的作用。因此，通常所說(shuō)的表面張力系數(shù)都是指流體對(duì)于某種介質(zhì)而言的。表3.1為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的293K時(shí)幾種常用液體的表面張力系數(shù)。表面張力系數(shù)隨溫度的升高而稍有降低。表3.2在不同溫度下水對(duì)空氣的表面張力系數(shù)。

表面張力的影響在大多數(shù)工程實(shí)際中是被忽略的。但是在水滴和氣泡的形成，液體的霧化以及汽液兩相的傳熱與傳質(zhì)的研究中將是重要的不可忽略的因素。

第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第4頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象p0pSp0=p0+pSp0pSp0=p0-pS(a)(b)圖3.15毛細(xì)壓力oRCrdldf2df1df圖3.16彎曲壓力與表面張力的關(guān)系由表面張力引起的彎曲液面兩側(cè)的壓力差，如圖3.15所示，稱為彎曲壓力或毛細(xì)壓力。

設(shè)在液體表面取一塊微小面積，則沿小塊四周以外的表面對(duì)它作用有表面張力。力的方向與周界垂直而且沿周界處與表面相切。如果液面是彎曲的，那么表面張力不是水平方向的。在這微小彎曲的法線方向就有一個(gè)表面張力的合力。當(dāng)液面凸起時(shí)指向液體內(nèi)部，則液體平衡時(shí)，表面內(nèi)的壓力為，如圖3.15(a)所示。當(dāng)液面下凹時(shí)，指向液體外部，液體表面內(nèi)的壓力為，如圖3.15(b)所示。其中就是彎曲壓力，為液面外介質(zhì)的壓力。二、彎曲壓力第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四下面對(duì)彎曲壓力作進(jìn)一步的分析。若取一塊面積為的球面。其周界為一圓，如圖3.16所示。o為球心，為球半徑，為周界圓的半徑。在的周界上取一微小的線段，作用在上的表面張力為，其方向與球面相切，即與球半徑垂直，并指向外側(cè)?？梢苑纸鉃楹汀Ｖ赶蛞后w內(nèi)部，的方向與oC半徑垂直。則沿的周界表面張力在指向液體內(nèi)部方向上的分力的總和為沿周界的積分，即第三章流體靜力學(xué)

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第5頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)很小時(shí)，這個(gè)曲面可近似地看成是個(gè)平面，面積可近似地認(rèn)為等于，即

。彎曲壓力應(yīng)為（3.43）第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)肥皂泡，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)液體表面，因此它的彎曲壓力應(yīng)為由式（3.43）可見(jiàn)，彎曲應(yīng)力的大小與表面張力系數(shù)成正比，而與曲面的曲率半徑成反比，曲率半徑越小，彎曲壓力越大。

第三章流體靜力學(xué)

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第6頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象三、毛細(xì)現(xiàn)象在互不相混的液體間、液體和氣體間或液體和固體間，其分界面附近的分子都將受到兩種介質(zhì)分子的引力作用，表面的形狀將取決于相鄰的兩種物質(zhì)的特性。當(dāng)液體與固體接觸時(shí)，液體分子間的引力大于液體分子和固體分子間的引力，則液體就自己抱成團(tuán)與固體不浸潤(rùn)，如玻璃板上放一滴水銀，則水銀縮成一個(gè)小球，這種現(xiàn)象稱為不浸潤(rùn)現(xiàn)象。水銀對(duì)玻璃來(lái)說(shuō)是不浸潤(rùn)液體。當(dāng)液體分子間的引力小于液體和固體分子間的引力，則液體就能浸潤(rùn)固體表面。如把水滴在清潔的玻璃板上，水滴不但不能縮成小球，而且很快向四周擴(kuò)展，這種現(xiàn)象稱為浸潤(rùn)現(xiàn)象，水對(duì)玻璃來(lái)說(shuō)就是浸潤(rùn)液體。第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四在毛細(xì)管中液面上升或下降的高度顯然與表面張力有關(guān)。圖3.18表示浸潤(rùn)液體的毛細(xì)現(xiàn)象。如果管子很細(xì)，則管內(nèi)的液面可以近似地看作—個(gè)球面。設(shè)R為球面的曲率半徑。根據(jù)式（3.43）曲面內(nèi)的彎曲壓力為，的方向是向上的。曲面內(nèi)測(cè)液體處的壓力為。根據(jù)連通器的原理第三章流體靜力學(xué)

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第6頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象

把一根細(xì)管插入對(duì)它浸潤(rùn)的液體中，管中液面就會(huì)比自由液面高，而且在細(xì)管中呈凹形自由液面，如圖3.17(a)所示。如果將細(xì)管插入對(duì)它不浸潤(rùn)的液體中，則管中的液面要比自由液面低，而且在細(xì)管中呈凸形液面，如圖3.17(b)所示。這種在細(xì)管中液面上升或下降的現(xiàn)象稱為毛細(xì)現(xiàn)象，能產(chǎn)生毛細(xì)現(xiàn)象的細(xì)管子稱為毛細(xì)管。（a）式中，—液體的密度。

第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第7頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象由圖3.18可得出式中，—毛細(xì)管內(nèi)孔半徑。將此關(guān)系代入式（a），得到

式（3.44）亦可以用來(lái)計(jì)算不浸潤(rùn)液體在細(xì)管中的下降高度。只是此時(shí)，為負(fù)值，所以也為負(fù)值，表示液面是下降的，如圖3.19所示。

圖3.19不浸潤(rùn)液體的毛細(xì)現(xiàn)象

（3.44）一般說(shuō)來(lái)，水的角在0~9范圍內(nèi)。而水銀的角在130~150范圍內(nèi)。毛細(xì)管很細(xì)時(shí)可近似地把液面看作一個(gè)半球面，則浸潤(rùn)液體的角為0，不浸潤(rùn)液體為。式（3.44）可簡(jiǎn)化為

（3.45）第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第8頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象毛細(xì)現(xiàn)象在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都起著重要的作用。例如，煤油沿著燈芯上升；地下水份會(huì)沿著土壤中的毛細(xì)孔道上升到地表蒸發(fā)等。當(dāng)用直徑很細(xì)的管子作測(cè)壓計(jì)時(shí)由于毛細(xì)現(xiàn)象會(huì)引起誤差，有時(shí)這種誤差可能很大。例題3.7圖3.20為一液柱式壓差計(jì)，測(cè)壓計(jì)細(xì)管內(nèi)徑為2mm，若測(cè)得的液柱高150mm水柱，試分析測(cè)量誤差（管內(nèi)液體對(duì)細(xì)管是浸潤(rùn)的）。解:根據(jù)連通器原理知道A—B為等壓面，則

（a）彎曲壓力

（b）式中為由于毛細(xì)現(xiàn)象液面上升的高度。將式（b）代入式（a）得到由式（3.45）

圖3.20液柱式壓差計(jì)ABhp1p1p2第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第8頁(yè)第七節(jié)表面張力與毛細(xì)現(xiàn)象其中：

所以測(cè)量的相對(duì)誤差為實(shí)際的壓力差應(yīng)為一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)測(cè)壓管直徑大于20mm（對(duì)水）及15mm（對(duì)水銀）時(shí)可以不考慮對(duì)毛細(xì)現(xiàn)象產(chǎn)生的誤差進(jìn)行修正。第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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第1頁(yè)第八節(jié)流體靜壓力的測(cè)量原理流體靜壓力不僅可以用基本公式來(lái)計(jì)算，而且還可以用各種儀表直接測(cè)定。這里主要介紹液柱式測(cè)壓計(jì)。一、單管測(cè)壓計(jì)

圖3.21單管測(cè)壓計(jì)Ah

pa單管測(cè)壓計(jì)是最簡(jiǎn)單的測(cè)壓計(jì)。通常用一根內(nèi)徑大于5mm的直玻璃管，一端和盛有液體的壓力容器所要測(cè)量處的小孔相連接，另一端開(kāi)口和大氣相通，如圖3.21所示。若液體在玻璃管中的上升高度為h，液體的密度為，則根據(jù)流體靜壓力的基本公式，得到容器中A點(diǎn)的壓力為（3.46）pa為當(dāng)?shù)氐拇髿鈮褐怠锳點(diǎn)的絕對(duì)壓力。直接讀得的液柱高度反映了A點(diǎn)的相對(duì)壓力（或稱表壓力）。由于各種液體的密度不同，所以僅僅標(biāo)明高度尺寸不能代表壓力的大小，必須同時(shí)注明是何種液體的液柱高度。

第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章流體靜力學(xué)

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