第一節(jié)不定積分

第一節(jié)不定積分第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)

第四章第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個(gè)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng),因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四問(wèn)題:1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義2.在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P183)若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的積分曲線

.第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1.

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2.

質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速力,求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:

取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸,原點(diǎn)在地面,指向朝上,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為設(shè)時(shí)刻

t

質(zhì)點(diǎn)所在位置為則(運(yùn)動(dòng)速度)(加速度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束垂直上拋,不計(jì)阻

先由此求

再由此求第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四先求由知再求于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為由知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例5.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例8.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四思考與練習(xí)1.

證明2.

若(P191題4)提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.

若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四5.

求下列積分:提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四6.求不定積分解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四7.

已知求A,B.解:

等式兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十五頁(yè)，共二十六