河北省正定縣第七中學2024年數(shù)學高二上期末檢測模擬試題含解析

河北省正定縣第七中學2024年數(shù)學高二上期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果向量，，共面，則實數(shù)的值是（）A. B.C. D.2．橢圓＝1的一個焦點為F，過原點O作直線（不經(jīng)過焦點F）與橢圓交于A，B兩點，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.3．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.4．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.5．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.6．復數(shù)，且z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.07．設是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－138．用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個9．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.10．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.12．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內(nèi)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則______14．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點，，，點在平面上的射影為點，則當最大時，二面角的大小是________15．已知數(shù)列的前的前n項和為，數(shù)列的的前n項和為，則滿足的最小n的值為______16．直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：方程表示焦點在軸上的橢圓，：方程表示焦點在軸上的雙曲線，其中.（1）若“”為真命題，求的取值范圍：（2）若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.18．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點，點P在橢圓C上，軸，點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點，若點，，試探究點M，，N是否一定共線？說明理由.19．（12分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設（1）求包裝盒的容積關于的函數(shù)表達式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？20．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構(gòu)將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調(diào)查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率22．（10分）如圖，已知正方體的棱長為，，分別是棱與的中點.（1）求以，，，為頂點的四面體的體積；（2）求異面直線和所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設，由空間向量的坐標運算可得出方程組，即可解得的值.【題目詳解】由于向量，，共面，設，可得，解得.故選：B.2、A【解題分析】分情況討論當直線AB的斜率不存在時，可求面積，檢驗是否滿足條件，當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【題目詳解】由橢圓＝1，則焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝0，此時AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A3、D【解題分析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項公式，則可求出，得數(shù)列是一個等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【題目詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個等比數(shù)列.所以=.故選：D4、A【解題分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項.【題目詳解】由題意可設右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，設的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【題目點撥】方法點睛：(1)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉(zhuǎn)化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對于焦點三角形，要注意雙曲線定義的應用，運用整體代換的方法可以減少計算量5、C【解題分析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【題目詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C6、B【解題分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【題目詳解】解：當z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限時，則有，可得，結(jié)合選項可知，B正確故選：B7、C【解題分析】直接利用等差數(shù)列通項和求和公式計算得到答案.【題目詳解】，，解得，故.故選：C.8、A【解題分析】A選項，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【題目詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數(shù)位上的數(shù)字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A9、B【解題分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【題目詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【題目點撥】本題考查了雙曲線方程，意在考查學生對于雙曲線基本知識的掌握情況.10、D【解題分析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.11、B【解題分析】根據(jù)題圖有且，結(jié)合五點法求參數(shù)，即可得的解析式.【題目詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B12、C【解題分析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據(jù)已知條件點（2a，2a）在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結(jié)合a，b，c的關系可求得離心率e的值【題目詳解】由題意作出軸截面如圖：M點是雙曲線與截面正方形的交點之一，設雙曲線的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線上的點，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡后得，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－1【解題分析】由已知及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式，列方程求基本量即可.【題目詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.14、##【解題分析】先計算得到二面角的大小為60°，設二面角C-AB-O的大小為，則，計算得到答案.【題目詳解】解：由題可得，，因為分別是的中點，所以，，又，所以平面因為，所以,所以二面角為，設二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當時，取得最大值.故答案為：15、9【解題分析】由數(shù)列的前項和為，則當時，，所以，所以數(shù)列的前和為，當時，，當時，，所以滿足的最小的值為.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用問題，其中解答中涉及到數(shù)列的通項與的關系，推導數(shù)列的通項公式，以及等差、等比數(shù)列的前項和公式的應用，熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前項和公式是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力.16、8【解題分析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及即可求解.【題目詳解】解：因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解題分析】（1）先假設命題為真命題，求出的取值范圍，為真命題，取補集即可（2）假設命題為真命題，求出的取值范圍，根據(jù)題意，則命題假設和命題一真一假，分類討論求的取值范圍【小問1詳解】解：若為真命題，則，解得，若“”為真命題，則為假命題，或；【小問2詳解】若為真命題，則解得，若“”為假命題，則“”為真命題，則與一真一假，①若真假，則解得，②若真假，則解得，綜上所述，，即的取值范圍為.18、（1）（2）不一定共線，理由見解析【解題分析】（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察軸時的情況，分析可知M，，N不一定共線.【小問1詳解】由題意得，，設，，代入橢圓C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當軸時，，設，，則由已知條件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以當時，點M，，N共線；所以當時，點M，，N不共線.所以點M，，N不一定共線.19、（1），定義域為；（2）當時，包裝盒的容積最大是.【解題分析】（1）設出包裝盒的高和底面邊長，利用長方體的表面積得到等量關系，再利用長方體的體積公式求出表達式，再利用實際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導，利用導函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的極值，即最值.小問1詳解】解：設包裝盒的高為，底面邊長為，則，，所以=其定義域為；【小問2詳解】解：由（1）得：，，因為，所以當時，；當時，；所以當時，取得極大值，即當時，包裝盒的容積最大是20、（1）有（2）分布列見解析，【解題分析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數(shù)學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛