福建省福州市閩清縣高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

福建省福州市閩清縣高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線y=x3-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為（

）A.2x+y+1=0

B.2x-y+1=0

C.2x-y-1=0

D.x-2y+1=0參考答案：B略2.設(shè)，則它們的大小關(guān)系為

(A)a<b<c

(B)a<c<b

(C)b<c<a

(D)c<a<b參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)值大小的比較.

E1B

解析：∵，∴a<c<b,故選B.

【思路點(diǎn)撥】先求出各數(shù)值或確定其大致范圍，從而得到它們的大小順序.

3.設(shè)ω＞0，函數(shù)y=sin（ωx+）+2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是（）A． B． C． D．3參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】求出圖象平移后的函數(shù)表達(dá)式，與原函數(shù)對(duì)應(yīng)，求出ω的最小值．【解答】解：將y=sin（ωx+）+2的圖象向右平移個(gè)單位后為=，所以有=2kπ，即，又因?yàn)棣兀?，所以k≥1，故≥，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換與三角函數(shù)的周期性，考查了同學(xué)們對(duì)知識(shí)靈活掌握的程度．4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，已知這個(gè)幾何體的體積為，則h的值為（

） A．

B． C．

D．參考答案：B略5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為 A．

B．

C． D．參考答案：D6.“，且”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A7.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的一個(gè)可能取值為（

）A.

B.

C.0

D.參考答案：B8.已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）2+（ex﹣a）2（a∈R），若存在x0∈R，使得f（x0）≤成立，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】2I：特稱命題．【分析】把函數(shù)看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（a，a）之間距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=ex上與直線y=x平行的切線的切點(diǎn)，得到曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值，結(jié)合題意可得只有切點(diǎn)到直線距離的平方等于，然后由兩直線斜率的關(guān)系列式求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（a，a）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=ex的圖象上，N在直線y=x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=1，解得x=0，∴曲線上點(diǎn)M（0，1）到直線y=x的距離最小，最小距離d=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（x0）≤，則f（x0）=，此時(shí)N恰好為垂足，由kMN==﹣1，解得a=．故選：D．9.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，則的值為（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：D略10.設(shè)集合，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示,C是半圓弧x2+y2=1(y≥0)上一點(diǎn),連接AC并延長(zhǎng)至D,使|CD|=|CB|,則當(dāng)C點(diǎn)在半圓弧上從B點(diǎn)移動(dòng)至A點(diǎn)時(shí),D點(diǎn)的軌跡是_______的一部分，D點(diǎn)所經(jīng)過的路程為.參考答案：圓，解：設(shè)點(diǎn)（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合），連接BD，設(shè)直線BD的傾斜角為，直線AD的傾斜角為。由題意得，。因?yàn)閨CD|=|CB|,所以，則有，即，即由此化簡(jiǎn)得（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合）．又因?yàn)镈點(diǎn)在A、B點(diǎn)時(shí)也符合題意，因此點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)（0，1）為圓心，為半徑的半圓，點(diǎn)D所經(jīng)過的路程．12.直線的方向向量與x軸的正方向上的單位向量的夾角是_

。參考答案：1200或60013.的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若，且，則__________參考答案：3略14.三棱錐中，，分別為，的中點(diǎn)，記三棱錐的體積為，的體積為，則

.參考答案：15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀撸囟铮畣柎我怀吒髦貛缀?？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，則i=．參考答案：6【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}且設(shè)公差為d，由條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1和d值，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出該金杖的總重量M，代入已知的式子化簡(jiǎn)求出i的值．【解答】解：由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則，解得a1=，d=，所以該金杖的總重量M==15，因?yàn)?8ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．16.表示一個(gè)兩位數(shù)，記f（n）=a+b+a×b，如f（12）=1+2+1×2=5，則滿足f（n）=n的兩位數(shù)共有個(gè)．參考答案：9【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】由題意，ab+a+b=10a+b，b=9，a取1到9，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，ab+a+b=10a+b，b=9，a取1到9，共9個(gè)．故答案為：9．17.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線被圓x2+y2﹣6x+5=0截得的弦長(zhǎng)為2，則離心率e=．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線的方程的漸近線方程，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，圓x2+y2﹣6x+5=0即為（x﹣3）2+y2=4，圓心為（3，0），半徑為2，圓心到漸近線的距離為d=，由弦長(zhǎng)公式可得2=2，化簡(jiǎn)可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，則e==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分15分）設(shè)△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)四等分線段BC（如圖所示）．(I)求的值；(II)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，(i)請(qǐng)寫出一個(gè)的值使，并說明理由；(ii)當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．參考答案：19.曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ．（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)且傾斜角為α（＜α≤）的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于原點(diǎn)），求|OA|?|OB|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）先將C1的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，將C2的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出C2的直角坐標(biāo)方程；（2）求出l的參數(shù)方程，分別代入C1，C2的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA|?|OB|關(guān)于k的函數(shù)，根據(jù)k的范圍得出答案．【解答】解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ；曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ，普通方程為：y=x2；（2）射線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，＜α≤）．把射線l的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程得：t2﹣4tcosα=0，解得t1=0，t2=4cosα．∴|OA|=|t2|=4cosα．把射線l的參數(shù)方程代入曲線C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|?|OB|=4cosα?=4tanα=4k．∵k∈（，1]，∴4k∈（，4]．∴|OA|?|OB|的取值范圍是（，4]．20.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程式為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若是直線與曲線面的公共點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案：（1）由題設(shè)知：，得∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．……5分（2）由（1）題設(shè)知：曲線是以為圓心，2為半徑的圓.則直線過圓心.又由點(diǎn)在直線與曲線面上知：.∴．……10分

21.已知函數(shù)g（x）=f（x）+﹣bx，函數(shù)f（x）=x+alnx在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)x1、x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）由f′（x）=1+，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實(shí)數(shù)a的值；（2））由已知得g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）由g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，設(shè)μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．解答： 解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定義域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∵x＞0，設(shè)μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，則μ（0）=﹣=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=ln﹣（﹣），∵0＜x1＜x2，∴設(shè)t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，則h′（t）=﹣（1+）=＜0，∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，由x1+x2=b﹣1，x1x2=1，可得t+≥，∵0＜t＜1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=﹣2ln2，故g（x1）﹣g（x2）的最小值為﹣2ln2．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．22.（14分）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，對(duì)角線AC、BD互相垂直且平分于原點(diǎn)O.（1）若點(diǎn)A在第一象限，直線AB的斜率為1，求直線AB的方程；（2）求四邊形ABCD面積的最小值.參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為

1分

∵四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，

，∴，即

則△

2分

3分

∴

=

又OA⊥OB，所以

4分

∴

∴，

5分

∵點(diǎn)A在第一象限∴

所以直線AB