山東省即墨一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

山東省即墨一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)分別為橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓與兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.32 B.16C.8 D.42．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.3．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.5．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則等于（）A. B.C D.6．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題，松長(zhǎng)三尺，竹長(zhǎng)一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.27．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.48．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.9．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.10．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得11．以下命題是真命題的是（）A.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量B.若m為數(shù)據(jù)（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心D.若“”為假命題，則均為假命題12．設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.14．在△ABC中，，AB=3，，則________15．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______16．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．（12分）已知直線l過點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程19．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)20．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線過線段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得，而的周長(zhǎng)等于，從而可得答案【題目詳解】解：由得，由題意得，所以的周長(zhǎng)等于，故選：B2、D【解題分析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【題目詳解】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.3、B【解題分析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【題目詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B4、C【解題分析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個(gè)式子均有2n-1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）5、C【解題分析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增，將五個(gè)數(shù)按絕對(duì)值的大小排列，計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，所以中既有正數(shù)項(xiàng)也有負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以公比，因?yàn)?，所以，且?fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，所以等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增，按絕對(duì)值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項(xiàng)，所以，故選：C.6、B【解題分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【題目詳解】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a＝3，b＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時(shí)，a，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時(shí)，a，b＝8，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時(shí)，a，b＝16，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答7、A【解題分析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【題目詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.8、A【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.9、B【解題分析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【題目詳解】因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?因?yàn)镸，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B10、A【解題分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【題目詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A11、A【解題分析】A：根據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行判斷；B：根據(jù)中位數(shù)的定義判斷；C：根據(jù)回歸直線必過樣本中心點(diǎn)進(jìn)行判斷；D：根據(jù)“且”命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷.【題目詳解】對(duì)于A，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量，故A正確；對(duì)于B，若為數(shù)據(jù)，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據(jù)從小到大排列，此時(shí)數(shù)據(jù)里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個(gè)數(shù)據(jù)的值，這個(gè)數(shù)不一定是原來的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若“”為假命題，則、中至少有一個(gè)是假命題，故D錯(cuò)誤；故選：A12、B【解題分析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求出等邊的邊長(zhǎng)，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【題目詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運(yùn)算能力，屬于中檔題.14、3【解題分析】計(jì)算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴故答案為：3.15、【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點(diǎn)，的大小求出在上的最大值.【題目詳解】因?yàn)?，則，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點(diǎn)為，，即最大值為.故答案為：.16、【解題分析】利用兩條直線平行的充要條件，列式求解即可【題目詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：.【小問2詳解】由（1）得：，.18、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解題分析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l斜率，由點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長(zhǎng)，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1719、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解題分析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【題目點(diǎn)撥】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結(jié)合設(shè)而不求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，，解得.設(shè)，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.21、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）求出，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，所以且函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，，則，故上無(wú)零點(diǎn)，與函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，故不滿足條件所以，又因?yàn)椋钥紤]，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，所以，且，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理知在和上各有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.22、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解題分析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)