2024學年江西省贛州市五校協(xié)作體高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

2024學年江西省贛州市五校協(xié)作體高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里2．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；3．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.130 B.260C.156 D.1685．高二某班共有60名學生，其中女生有20名，“三好學生”人數(shù)是全班人數(shù)的，且“三好學生”中女生占一半.現(xiàn)從該班學生中任選1人參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學生是“三好學生”的概率為（）A. B.C. D.6．在條件下，目標函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.807．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=，則復數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-18．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，9．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.610．過橢圓右焦點作x軸的垂線，并交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以線段AB為直徑的圓與有2個公共點，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.11．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°12．下列說法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺的所有側(cè)棱延長后交于一點C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長都相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，，，則______14．已知的展開式中項的系數(shù)是，則正整數(shù)______________.15．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.16．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中A點，將，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，則四面體的外接球表面積為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在幾何體ABCEFG中，四邊形ACGE為平行四邊形，為等邊三角形，四邊形BCGF為梯形，H為線段BF的中點，，，，，，.（1）求證：平面平面BCGF；（2）求平面ABC與平面ACH夾角的余弦值.18．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點19．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長20．（12分）已知函數(shù)（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運營機構(gòu)參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務(wù)、交通出行、購物消費、政務(wù)服務(wù)等領(lǐng)域.為了進一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機構(gòu)進行了一次問卷調(diào)查，結(jié)果如下：學歷小學及以下初中高中大學專科大學本科碩士研究生及以上不了解數(shù)字人民幣35358055646了解數(shù)字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學?？萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表.低學歷高學歷合計不了解數(shù)字人民幣了解數(shù)字人民幣合計（2）若從低學歷的被調(diào)查者中隨機抽取2人進行進一步調(diào)查，求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率：（3）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關(guān)？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.22．（10分）如圖，在空間直角坐標系中有長方體，且，，點E在棱AB上移動.（1）證明：；（2）當E為AB的中點時，求直線AC與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項可得.【題目詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B2、D【解題分析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【題目詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.3、A【解題分析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【題目詳解】因為得，因此，.故選：A.4、A【解題分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到，進而利用求和公式，變形求出答案.【題目詳解】由題意得：，故故選：A5、C【解題分析】設(shè)事件表示“選上的學生是男生”，事件表示“選上的學生是三好學生，求出和，利用條件概率公式計算即可求解.【題目詳解】設(shè)事件表示“選上的學生是男生”，事件表示“選上的學生是‘三好學生’”，則所求概率為.由題意可得：男生有人，“三好學生”有人，所以“三好學生”中男生有人，所以，，故.故選：C.6、C【解題分析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【題目詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當且僅當時等號成立）故選：C7、C【解題分析】先通過復數(shù)的除法運算求出z，進而求出虛部.【題目詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.8、C【解題分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【題目詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.9、A【解題分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【題目詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點在圓上，所以，故選：A10、A【解題分析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【題目詳解】橢圓的左焦點，右焦點，上頂點，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A11、A【解題分析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.12、B【解題分析】根據(jù)棱柱、棱臺、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項即可.【題目詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺是由對應的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長并不是都相等，應該為正棱錐的側(cè)棱長都相等，所以D不正確.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】運用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【題目詳解】因為，，所以當時，有，因此有：，即，當時，適合上式，所以，故答案為：.14、4【解題分析】由已知二項式可得展開式通項為，根據(jù)已知條件有，即可求出值.詳解】由題設(shè)，，∴，則且為正整數(shù)，解得.故答案為：4.15、2【解題分析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關(guān)系，然后求解離心率，即可求解.【題目詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.16、【解題分析】由題意在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,則長方體與四面體的外接球相同，從而可求解.【題目詳解】將直角，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，所以在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,如圖.則長方體與四面體的外接球相同.長方體的外接球在其對角線的中點處.由題意可得，則長方體的外接球的半徑為所以四面體的外接球表面積為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）在中，由正弦定理知可知，利用三角形內(nèi)角和可知即，又因為，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）取BC中點O，由（1）得：平面BCGF，，以O(shè)為原點，OB，OH，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：（1）在中，由正弦定理知：解得因為，所以又因為，所以所以又因為，所以直線平面ABC又因為平面BCGF所以平面平面BCGF【小問2詳解】解：取BC中點O，連結(jié)OA，OH，由（1）得：平面BCGF，則以O(shè)為原點，OB，OH，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系在中，則，，平面ABC的一個法向量為設(shè)平面ACH的一個法向量為因為，所以，取，則設(shè)平面APD與平面PDF夾角為，所以.18、（1）；（2）證明過程見解析.【解題分析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【題目點撥】關(guān)鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解題分析】（1）根據(jù)焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為20、（1）（2）2【解題分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點坐標，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，切線過點，切線的方程為，即【小問2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）列聯(lián)表答案見解析；（2）；（3）沒有的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關(guān).【解題分析】(1)根據(jù)給定表中數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表作答.(2)利用給定條件結(jié)合古典概率公式計算作答.(3)利用(1)中信息求出的觀測值，再與臨界值表比對作答.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：低學歷高學歷合計不了解數(shù)字人民幣150125275了解數(shù)字人民幣250275525合計400400800【小問2詳解】由(1)知，被調(diào)查者中低學歷的有400，其中不了解數(shù)字