湖北省襄陽第四中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

湖北省襄陽第四中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.2．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.3．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.84．圓關(guān)于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.6．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標(biāo)原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-17．已知圓O的半徑為5，，過點P的2021條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B.C. D.8．己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.169．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.10．若數(shù)列對任意滿足，下面選項中關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列11．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.212．已知拋物線過點，點為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（1）若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍14．如圖，莖葉圖所示數(shù)據(jù)平均分為91，則數(shù)字x應(yīng)該是__________15．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，滿足，，則___________.16．設(shè)等差數(shù)列，前項和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍18．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍20．（12分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當(dāng)時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.21．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.22．（10分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【題目詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D2、D【解題分析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【題目詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.3、D【解題分析】先求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為的距離，即可求解.【題目詳解】由已知得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當(dāng)點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.4、A【解題分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對稱圓的方程；【題目詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A5、D【解題分析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【題目詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D6、D【解題分析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進而可得結(jié)果.【題目詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.7、B【解題分析】可得過點P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【題目詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點P的與垂直的弦，，公差.故選：B.8、A【解題分析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點的弦長公式計算可得.【題目詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.9、D【解題分析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點睛：對于含有的數(shù)列，我們看作擺動數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項的規(guī)律10、D【解題分析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案【題目詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯誤；若，當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯誤數(shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不可以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D11、C【解題分析】利用雙曲線的定義求.【題目詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C.12、B【解題分析】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點與原點間的距離的最小值.【題目詳解】將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質(zhì)可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）【解題分析】（1）將函數(shù)有三個互不相同的零點轉(zhuǎn)化為有三個互不相等的實數(shù)根，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性求出極值即可求解；（2）求導(dǎo)確定單調(diào)性，結(jié)合以及得，由得，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，．函數(shù)有三個互不相同的零點，即有三個互不相等的實數(shù)根令，則，令得或，在和上均減函數(shù)，在上為增函數(shù)，極小值為，極大值為，的取值范圍是；【小問2詳解】，且，當(dāng)或時，；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，，又，，又，又在上恒成立，即，即當(dāng)時，恒成立在上單減，故最小值為，的取值范圍是14、1【解題分析】結(jié)合莖葉圖以及平均數(shù)列出方程，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，解得，故答案為：1.15、【解題分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，即可得到答案.【題目詳解】由題意各項均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：16、【解題分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：對于任意的都有，則故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解題分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論可得單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可.【小問1詳解】的定義域是，，①時，，則，在遞增；②時，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時，在遞增時，在遞減，在遞增【小問2詳解】，定義域是，有2個極值點，，即，則有2個不相等實數(shù)根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故實數(shù)m的取值范圍是【題目點撥】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將有兩個極值點等價于有兩不等實根，以此求出，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求的最小值.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解題分析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得19、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【題目詳解】解：（1）由已知定義域為，當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）解不等式組即得解；（2）由題得p、q一真一假，分兩種情況討論得解.【小問1詳解】解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合，有；【小問2詳解】解：當(dāng)時，有，由題意知，p、q一真一假，當(dāng)p真q假時，，當(dāng)p假q真時，，綜上，x的取值范圍為21、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當(dāng)切線斜率不存在時，可知切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【題目點撥】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題