2024學(xué)年廣東省東莞市高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024學(xué)年廣東省東莞市高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)共有A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)2．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線(xiàn)C.拋物線(xiàn) D.圓3．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿(mǎn)足，若共面，則（）A. B.C. D.4．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.5．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.46．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，那么其斜率為（）A. B.C. D.7．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離8．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線(xiàn)方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.29．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使10．雙曲線(xiàn)的離心率是，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.11．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的正切值為A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.14．已知，，且，則的值是_________.15．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，3)，且它的一個(gè)方向向量為(2，1)，則直線(xiàn)l的一般式方程為_(kāi)_________.16．若兩條直線(xiàn)與互相垂直，則a的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相切，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線(xiàn)垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線(xiàn)AP的方程.19．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.20．（12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.22．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線(xiàn)的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【題目詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離，圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【題目詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.3、D【解題分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【題目詳解】由共面知，故選：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，求解即可【題目詳解】由題意，，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上故焦距故選：A5、D【解題分析】本題首先可以通過(guò)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率存在，然后設(shè)出直線(xiàn)方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過(guò)拋物線(xiàn)的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線(xiàn)的定義、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題6、B【解題分析】由兩點(diǎn)的斜率公式可得答案.【題目詳解】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則故選：B7、B【解題分析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，計(jì)算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【題目詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以?xún)蓤A是相交的關(guān)系，故選：B8、C【解題分析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【題目詳解】，故，則，故.故選：C9、B【解題分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題即可得正確答案【題目詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱(chēng)量詞，并把后面的結(jié)論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.10、B【解題分析】利用雙曲線(xiàn)的離心率，以及漸近線(xiàn)中，關(guān)系，結(jié)合找關(guān)系即可【題目詳解】解：，又因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)中，，所以，故，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：B11、C【解題分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線(xiàn)與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【題目詳解】在正方體中，，所以異面直線(xiàn)與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【題目點(diǎn)撥】求異面直線(xiàn)所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線(xiàn)中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線(xiàn)的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€(xiàn)夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線(xiàn)所成角的余弦值.12、D【解題分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對(duì)稱(chēng)軸、零點(diǎn)、最值即可.【題目詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，，，不是對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求出坐標(biāo)，根據(jù)給條件表示出坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【題目詳解】因，，則，因與同向，則設(shè)，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標(biāo)為.故答案為：14、【解題分析】根據(jù)空間向量可得，結(jié)合計(jì)算即可.【題目詳解】由題意知，，所以，解得.故答案：315、【解題分析】根據(jù)直線(xiàn)方向向量求出直線(xiàn)斜率即可得直線(xiàn)方程.【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的一個(gè)方向向量為(2，1)，所以其斜率，所以l方程為：，即其一般式方程為：.故答案為：.16、4【解題分析】?jī)芍本€(xiàn)斜率均存在時(shí)，兩直線(xiàn)垂直，斜率相乘等于-1，據(jù)此即可求解.【題目詳解】由題可知，.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析；（2）7；（3）【解題分析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時(shí)解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過(guò)求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀(guān)察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過(guò)單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【題目詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).則，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線(xiàn)方程.【題目詳解】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，由題意知，直線(xiàn)BP的斜率為，設(shè)，，直線(xiàn)AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線(xiàn)AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，符合題意.∴直線(xiàn)AP得方程為.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，兩直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).19、（1）（2）【解題分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)方程的斜率，進(jìn)而求出切線(xiàn)方程；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，所以總存在一個(gè)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，所以，即.20、（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對(duì)于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因?yàn)椋?，所以所以?duì)于恒成立，令，則，，令，則對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即，可得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以的最大值?【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對(duì)應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號(hào)確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1），連接，證明，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）說(shuō)明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形是矩形，則E為的中點(diǎn).因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌媸堑冗吶切?，D是的中點(diǎn)，所以，由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點(diǎn)F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，