2024屆廣東省汕頭市潮陽區(qū)潮師高級中學數(shù)學高二上期末經典模擬試題含解析

2024屆廣東省汕頭市潮陽區(qū)潮師高級中學數(shù)學高二上期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或32．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.3．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為4．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.525．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的極大值點B.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增C.是函數(shù)的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零6．設等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.7．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.18．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為（）A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.029．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.10．拋物線上的一點到其焦點的距離等于（）A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.1212．等差數(shù)列的首項為正數(shù)，其前n項和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項是第9項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）14．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為____________.15．已知定點，點在直線上運動，則，兩點的最短距離為________16．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個不同的點到直線的距離為，求實數(shù)k的取值范圍18．（12分）如圖①，等腰梯形中，，分別為的中點，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中：（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了五次試驗，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個數(shù)x12345加工的時間y（小時）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標系中畫出散點圖；（2）求出y關于x的回歸方程；（3）試預測加工9個零件需要多少時間？參考公式：，20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上任意兩點，為坐標原點，且以為直徑的圓經過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）當時，，求a的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的焦點為，點為坐標原點，直線過定點（其中，）與拋物線相交于兩點（點位于第一象限.（1）當時，求證：；（2）如圖，連接并延長交拋物線于兩點，，設和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題意條件和，可建立一個關于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【題目詳解】由題意可得，則，解得，或．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞增，在上單調遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞減，在上單調遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.2、B【解題分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【題目詳解】解：由題知，故選：B.3、D【解題分析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【題目詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D4、A【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質即可求解.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A5、B【解題分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值點，即可判斷；【題目詳解】解：由導函數(shù)的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)在處取得極小值即最小值，所以是函數(shù)的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B6、C【解題分析】結合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【題目詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設，，當時，，，所以，所以.故選：C7、A【解題分析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【題目詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.8、C【解題分析】根據(jù)全概率公式即可求出【題目詳解】隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為0.0248故選：C9、B【解題分析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【題目詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B10、C【解題分析】由點的坐標求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結論【題目詳解】由題意，解得，所以，故選：C11、C【解題分析】設兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達式，根據(jù)基本不等式求出最小值【題目詳解】拋物線的焦點坐標為，設直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C12、B【解題分析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【題目詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負數(shù)項，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【題目詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：14、【解題分析】求解導函數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，并計算，利用點斜式寫出切線方程.【題目詳解】，由題意，切線的斜率為，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：15、【解題分析】線段最短，就是說的距離最小，此時直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點即可【題目詳解】定點，點在直線上運動，當線段最短時，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標是，所以，故答案為：16、【解題分析】結合空間向量運算求得.【題目詳解】，.所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解題分析】（1）設圓心為，由題意及圓的弦長公式即可列方程組，解方程組即可；（2）由題意可將問題轉化為圓心到直線l：的距離，解不等式即可.【題目詳解】解：（1）設圓心為，半徑為r，根據(jù)題意得，解得，所以圓C的方程為或（2）由（1）知圓C的圓心為或，半徑為，由圓C上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，可知圓心到直線l：的距離即，所以，解得所以直線l斜率的取值范圍為18、（1）證明見解析.（2）2【解題分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理結合已知條件即可證明；（2）將所求四棱錐的體積轉化為求即可.【小問1詳解】證明：因為，面，面，所以面，同理面，又因為面,所以面面.【小問2詳解】解：因為在圖①等腰梯形中，分別為的中點，所以，在圖②多面體中，因為，面，，所以面.因為，面面，面，面面,所以面，又因為面，所以，在直角三角形中，因為,所以，同理，，所以，則，有，所以.所以四棱錐的體積為2.19、（1）圖見解析；（2）；（3）小時.【解題分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標系中描出對應點即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關關系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預測加工9個零件需要小時20、（1）（2）證明見解析，定值為【解題分析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，將題目轉化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【題目點撥】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將圓過原點轉化為是解題的關鍵.21、（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）【解題分析】（1）研究當時的導數(shù)的符號即可討論得到的單調性；（2）對原函數(shù)求導，對a的范圍分類討論即可得出答案.【小問1詳解】當時，，令，則，所以在上單調遞增.又因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】，且.①當時，由（1）可知當時，所以在上單調遞增，則，符合題意.②當時，，不符合題意，舍去.③當時，令，則，則，，當時，，所以在上單調遞減，當時，，不符合題意，舍去.綜上，a的取值范圍為.【題目點撥】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，