2024學(xué)年湖北省襄陽市四校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024學(xué)年湖北省襄陽市四校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.3．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.505．過拋物線（）的焦點作斜率大于的直線交拋物線于，兩點（在的上方），且與準(zhǔn)線交于點，若，則A. B.C. D.6．下列雙曲線中，漸近線方程為的是A. B.C. D.7．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.當(dāng)A，B，P三點不共線時，面積的最大值為24C.當(dāng)A，B，P三點不共線時，射線是的角平分線D.在C上存在點M，使得8．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣19．我國新冠肺炎疫情防控進入常態(tài)化，各地有序進行疫苗接種工作，下面是我國甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數(shù)折線圖，根據(jù)該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數(shù)和乙地指數(shù)均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%C.在這11天期間，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量D.第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量10．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，12．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________14．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點，，，點在平面上的射影為點，則當(dāng)最大時，二面角的大小是________15．圓與x軸相切于點A．點B在圓C上運動，則AB的中點M的軌跡方程為______（當(dāng)點B運動到與A重合時，規(guī)定點M與點A重合）；點N是直線上一點，則的最小值為______16．已知定點，點在直線上運動，則，兩點的最短距離為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當(dāng)垂直長軸時，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.18．（12分）已知雙曲線中心在原點，離心率為2，一個焦點（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由21．（12分）已知橢圓左右焦點分別為，，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】設(shè)點位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【題目點撥】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.2、C【解題分析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì).3、A【解題分析】由，當(dāng)三點共線時，取得最值【題目詳解】設(shè)是橢圓的右焦點，則又因為，，所以，則故選：A4、B【解題分析】利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.5、A【解題分析】分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.6、A【解題分析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項A的漸進線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.7、C【解題分析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項的真假【題目詳解】對A，由可得，化簡得，即，A錯誤；對B，當(dāng)A，B，P三點不共線時，點到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯誤；對C，當(dāng)A，B，P三點不共線時，因為，所以射線是的角平分線，C正確；對D，設(shè)，由可得點的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點不存在，D錯誤故選：C8、D【解題分析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實數(shù)的值.【題目詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.9、C【解題分析】由折線圖逐項分析得到答案.【題目詳解】對于選項A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數(shù)有增有減，故選項A正確；對于選項B，從第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%，故選項B正確；對于選項C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項C錯誤；對于選項D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量，故D正確；故選：C.10、D【解題分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【題目詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因為是偶函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D11、D【解題分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【題目詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.12、C【解題分析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【題目詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【題目點撥】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標(biāo),進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標(biāo).最后求得面積比.14、##【解題分析】先計算得到二面角的大小為60°，設(shè)二面角C-AB-O的大小為，則，計算得到答案.【題目詳解】解：由題可得，，因為分別是的中點，所以，，又，所以平面因為，所以,所以二面角為，設(shè)二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當(dāng)時，取得最大值.故答案為：15、①.②.【解題分析】將點M的軌跡轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將的最小值轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離再減去半徑可求解.【題目詳解】依題意得，，因為M為AB中點，所以，所以點M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點為，，所以點M的軌跡方程為，圓心，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，所以，所以由對稱性可知的最小值為故答案為：，16、【解題分析】線段最短，就是說的距離最小，此時直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點即可【題目詳解】定點，點在直線上運動，當(dāng)線段最短時，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標(biāo)是，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解題分析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當(dāng)垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時取等號，則，即面積的最大值為.當(dāng)時，此時，所以直線的方程為.【題目點撥】對于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法：1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系，一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù)，結(jié)合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關(guān)系.18、（1）（2）或【解題分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方程為：或19、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點：正余弦定理解三角形.20、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解題分析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進而得到橢圓方程及用m，n表示點M的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，根據(jù)得到，表達出點坐標(biāo)，得到，結(jié)合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設(shè)，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或21、（1）（2）【解題分析】（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出過且與軸垂直時、的坐標(biāo)，即可得到，當(dāng)過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，將韋達定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍；【小問1詳解】解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】解：①當(dāng)過的直線與軸垂直時，此時，，，則，.②當(dāng)過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為聯(lián)立得：.所以，=將韋達定理代入上式得：.，，，由①②可知.22、（1），（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)點到焦點的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進而得到拋物線方程，然后將點代入拋物線求解；（2）方法一：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，利用數(shù)量積的運算求解；方法二：根據(jù)直線過點，分直線的斜率不存在時，檢