2021年安徽省合肥市第七十八中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2021年安徽省合肥市第七十八中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓與相外切，則A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.一批長400cm的條形鋼材，須將其截成長518mm與698mm的兩種毛坯，則鋼材的最大利用率為：A.

B.

C.

D.參考答案：B3.等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項的和等于

A.66

B99

C.144

D.297參考答案：B4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，若在直線（其中）上存在點P，使線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：C分析】由題意得，，設(shè)點，由中點公式可得線段的中點，可得線段的斜率與的斜率之積等于，可得，可得e的范圍.【詳解】解：由題意得，，設(shè)點，則由中點公式可得線段的中點，線段的斜率與的斜率之積等于，即，，，，，或舍去，．又橢圓的離心率

，故，故選：C．【點睛】本題主要考查橢圓的離心率的相關(guān)問題，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵.5.過雙曲線的右焦點作直線交曲線于A、B兩點,若則這樣的直線存在（

）A.

0條

B.1條

C.2條

D.3條參考答案：B6.設(shè)△ABC的三邊長分別的a,b,c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=；類比這個結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V,則R等于A

B

C

D

參考答案：C略7.已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝

(

)A.－12

B.

－2

C.

0

D.4參考答案：C略8.設(shè)、是定義域為R的恒大于零的可導函數(shù)，且，則當時有(

)A.

B.C.

D.參考答案：D9.已知f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式為（）A．a(chǎn)n=n﹣1 B．a(chǎn)n=n C．a(chǎn)n=n+1 D．a(chǎn)n=n2參考答案：C【考點】數(shù)列的求和．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），“倒敘相加”即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（1）+f（0）]=2（n+1），∴an=n+1．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)列“倒敘相加”求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10.已知，則A. B. C. D.參考答案：B【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若=，則=．參考答案：【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和，由等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，我們可得，，則=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差數(shù)列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，∴，，則=，又∵=，∴=即=故答案為：【點評】在等差數(shù)列中，S2n﹣1=（2n﹣1）?an，即中間項的值，等于所有項值的平均數(shù)，這是等差數(shù)列常用性質(zhì)之一，希望大家牢固掌握．12.設(shè)點為函數(shù)與圖象的公共點，以為切點可作直線與兩曲線都相切，則實數(shù)的最大值為

．參考答案：13.在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，則實數(shù)a的值為．參考答案：﹣1【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【分析】先利用空間向量坐標運算法則得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性質(zhì)能求出a．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查空數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用．14.在正方體中，與平面所成角的正弦值為

．參考答案：略15.過點、的直線的斜率為______________．參考答案：2略16.已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿對角線AC折起，使二面角B﹣AC﹣D為60°，則點B到△ACD所在平面的距離為．參考答案：【考點】MK：點、線、面間的距離計算．【分析】由題意畫出圖形，利用折疊前后的量的關(guān)系可得∠BGD為二面角B﹣AC﹣D的平面角，在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，由面面垂直的性質(zhì)可得BO為B到△ACD所在平面的距離．然后求解直角三角形得答案．【解答】解：如圖1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，連接AC，BD，交于G，則BG⊥AC，DG⊥AC，且BG=AG=．沿對角線AC折起，使二面角B﹣AC﹣D為60°，如圖2，由BG⊥AC，DG⊥AC，可知∠BGD為二面角B﹣AC﹣D的平面角等于60°．且AC⊥平面BGD，又AC?平面ACD，則平面BGD⊥平面ADC，平面BGD∩平面ADC=DG，在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，則BO⊥平面ADC，即BO為B到△ACD所在平面的距離．在Rt△BOG中，由BG=，∠BGO=60°，得BO=．故答案為：．【點評】本題考查空間中點線面間距離的計算，考查空間想象能力與思維能力，關(guān)鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．17.下列命題①“am2<bm2”是“a<b”的充分必要條件.②“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假.③在中，“”是三個角成等差數(shù)列的充要條件.④中,若,則為直角三角形.判斷錯誤的有___________參考答案：

①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個，從中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是紅球的概率；（2）3只顏色全相同的概率；（3）3只顏色不全相同的概率。

參考答案：19.（本小題滿分12分）過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點．（1）若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，并求出定值；（2）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標；

（3）當最小時，求的值．參考答案：（1），，即，即，同理，所以。聯(lián)立PQ的直線方程和拋物線方程可得：，所以，所以……6分（2）因為，所以直線恒過定點…………8分（3），所以，設(shè)，所以，當且僅當取等號，即。因為因為所以…………12分20.（本小題滿分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時）（Ⅰ）應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？（Ⅱ）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.（Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.附：參考答案：21.20名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）分別求出成績落在[50，60）與[60，70）中的學生人數(shù)；（Ⅲ）從成績在[50，70）的學生任選2人，求此2人的成績都在[60，70）中的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出a的值；（Ⅱ）由圖可知，成績在[50，60）和[60，70）的頻率分別為0.1和0.15，用樣本容量20乘以對應的頻率，即得對應區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，從而求出所求．（Ⅲ）分別列出滿足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件個數(shù)，根據(jù)古典概率公式計算即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)直方圖知組距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成績落在[50，60）中的學生人數(shù)為2×0.005×10×20=2，成績落在[60，70）中的學生人數(shù)為3×0.005×10