廣西壯族自治區(qū)河池市上朝中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)河池市上朝中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A.-5 B.2 C.7 D.11參考答案：A【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.【詳解】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候，解得所以，此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.2.已知圓錐底面半徑為2，高為，有一球在該圓錐內(nèi)部且與它的側(cè)面和底面都相切，則這個(gè)球的體積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】畫出軸截面圖形，設(shè)出球的半徑，求出圓錐的高，利用三角形相似，求出球的半徑．【解答】解：幾何體的軸截面如圖，設(shè)球的半徑為r，球與圓錐側(cè)面相切，則OE垂直于AB于E，BD垂直AD，E為AB上一點(diǎn)，O為AD上一點(diǎn)，則△AEO～△ADB，∴，∴r=，∴球的體積為=故選：B．3.下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)圖是（

）

A

B

C

D參考答案：D略4.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D5.圓過點(diǎn)的最大弦長(zhǎng)為m，最小弦長(zhǎng)為n，則=A．

B．

C．

D．參考答案：A6.若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，則M∩N等于（）A.｛0，1｝

B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝

D.｛-1，0，1，2｝參考答案：A略7.已知集合和集合，則等于（

）A．(0,1)

B．[0,1]C．[0，＋∞)

D．[0,1)參考答案：B8.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，則側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】設(shè)側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為x，A1E=t，則AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+4=0，由此利用根的判別式能求出側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值．【解答】解：設(shè)側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為x，A1E=t，則AE=x﹣t，∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴8+t2+4+（x﹣t）2=4+x2，整理，得：t2﹣xt+4=0，∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點(diǎn)E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣16≥0，解得x≥4．或x≤﹣4（舍）．∴側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為4．故選：B．9.設(shè)數(shù)列,,,,…，則是這個(gè)數(shù)列的(

)

A.第6項(xiàng)

B.第7項(xiàng)

C.第8項(xiàng)

D.第9項(xiàng)參考答案：B10.如右圖在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，

，則這個(gè)二面角的度數(shù)為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三角形的三邊滿足條件，則∠A＝ 。參考答案：60°（）12.若等比數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則有；類比可得到以下正確結(jié)論：若等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則有

.參考答案：略13.在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則位于0到1之間的概率是________參考答案：14.P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值為

參考答案：515.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為__________．參考答案：略16.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，左、右焦點(diǎn)分別是．若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_________參考答案：17.已知點(diǎn)和圓O：,過點(diǎn)E的直線被圓O所截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為

．參考答案：或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知四棱錐的底面是直角梯形,,,,是的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求二面角的大小.參考答案：證明：取的中點(diǎn)為連接------------2分又---------4分………………6分（2）建系：以DA，DB，DP分別為x軸、y軸、z軸，則

-------------------7分

-----------------------------10分令x=1,則又因?yàn)樗远娼菫?/p>

------------------12分19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為M，求證：AM//平面PBC；（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值。參考答案：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.(Ⅰ)設(shè)，A(1，0，0)，C(0,2,0),P(0,0,2),B(1,1,0),．

……3分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則=(x,y,z).(-1,1,0)=-x+y=0取=（1，1,1）而，所以，即，又平面故平面．……6分(Ⅱ)，設(shè)與平面所成角為，由直線與平面所成角的向量公式有．……12分20.（本小題滿分13分）已知橢圓上的點(diǎn)到左右兩焦點(diǎn)的距離之和為，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸上一點(diǎn)滿足，求直線的斜率的值.參考答案：（Ⅰ），∴

-----------------------1分，∴，

-----------------------2分∴

-----------------------3分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-----------------------4分（Ⅱ）已知,設(shè)直線的方程為，----------5分聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡(jiǎn)得：-----------------------6分∴，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為

-----------------------8分①當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為

--------------9分∵，∴點(diǎn)在的中垂線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得：，即解得或

-----------------------11分②當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為，滿足題意.

-----------------------12分∴斜率的取值為.

-----------------------13分21.如圖，在三棱錐A﹣BCD中，O、E分別為BD、BC中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求證：AO⊥面BCD（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理即可得到答案；（2）取AC中點(diǎn)F，連接OF、OE、EF，由中位線定理可得EF∥AB，OE∥CD，則∠OEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成角，然后在Rt△AOC中求解；（3）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OA方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E到平面ACD的距離h=，可求出點(diǎn)E到平面ACD的距離．【解答】（1）證明：△ABD中，∵AB=AD=，O是BD中點(diǎn)，BD=2，∴AO⊥BD且AO==1．在△BCD中，連接OC，∵BC=DC=2，∴CO⊥BD且CO==，在△AOC中，AO=1，CO=，AC=2，∴AO2+CO2=AC2，故AO⊥CO．∴AO⊥平面BCD；（2）解：取AC中點(diǎn)F，連接OF、OE、EF，△ABC中，E、F分別為BC、AC中點(diǎn)，∴EF∥AB，且EF=AB=．在△BCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn)，∴OE∥CD且OE=CD=1．∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補(bǔ)角）．又OF是Rt△AOC斜邊上的中線，∴OF=AC=1，∴等腰△OE