基本圖像變換

基本圖像變換第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3章圖像變換數(shù)字圖像處理的方法主要分為兩大類：一類是空間域處理法（空域法）；一類是頻域法（變換域法），頻域法處理中最為關(guān)鍵的是變換處理，這種變換一般是線性變換，嚴(yán)格可逆的，并滿足一定的正交條件，因此也被稱作酉變換。在圖像處理中，正交變換被廣泛運(yùn)用于圖像特征提取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像編碼等處理中。3.1傅立葉變換3.2離散余弦變換3.3Hough變換3.4小波變換第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.1可分離和正交圖像變換將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后在轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到要求的效果。這些轉(zhuǎn)換方法就被稱為圖像變換技術(shù)。變換是雙向的，將從圖像空間像其他空間的變換稱為正變換，而將從其他空間向圖像空間的變換稱為反變換或逆變換。圖像變換的定義第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、可分離變換1-D可分離變換T(u)為f(x)變換，h(x,u)稱為正向變換核。同理，反變換可以表示為：k(x,u)稱為反向變換核。第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-D可分離變換和分別稱為正向變換核和反向變換核。如果，下式成立：則稱正向變換核是可分離的。如果h1和h2的函數(shù)形式一樣，則稱正向變換核是對(duì)稱的。第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.2-D可分離變換的計(jì)算首先，沿f(x,y)的每一列進(jìn)行1-D變換得到：然后，沿f(x,y)的每一行進(jìn)行1-D變換得到：f(x,y)(0,0)YX(N-1)T(u,v)(0,0)VU(N-1)T(x,v)(0,0)VX(N-1)列變換行變換第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、正交變換當(dāng)h(x,y,u,v)是可分離和對(duì)稱的函數(shù)時(shí)，公式可寫為矩陣形式

其中F是N*N圖像矩陣，A是N*N對(duì)稱變換矩陣，其元素為，T是輸出的N*N變換結(jié)果。為了得到反變換，對(duì)上式兩邊各乘一個(gè)反變換矩陣B:如果B=A-1,則：如果B不等于A-1,則得到F的一個(gè)近似：第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日利用矩陣形式的優(yōu)點(diǎn)是：所得到的變換矩陣可分解成若干個(gè)具有較少非零元素的矩陣的乘積，可減少冗余和操作次數(shù)。在B=A-1的基礎(chǔ)上，如果A-1=A*,則稱A為酉矩陣，相應(yīng)的變換為酉變換。如果A為實(shí)矩陣A-1=AT,則稱A為正交矩陣，相應(yīng)的變換為正交變換。第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)連續(xù)傅立葉變換的復(fù)習(xí)若f(x)滿足狄利赫萊條件，則存在f(x)的傅立葉變換：具有有限個(gè)間斷點(diǎn)具有有限個(gè)極值點(diǎn)絕對(duì)可積狄利赫萊條件一維連續(xù)傅立葉變換令ω=2πu，則有第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日二維連續(xù)傅立葉變換如果f(x,y)滿足狄利赫萊條件，那么存在下面二維傅立葉變換對(duì)：連續(xù)傅立葉變換的性質(zhì)可分性2.線性3.共軛對(duì)稱性4.旋轉(zhuǎn)性5.比例變換特性6.帕斯維爾定理（能量保持定理）7.相關(guān)定理8.卷積定理第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.可分性該性質(zhì)說明一次二維傅立葉變換可用二次一維傅立葉變換實(shí)現(xiàn)第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.線性3.共軛對(duì)稱性4.旋轉(zhuǎn)性5.比例變換特性第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日6.帕斯維爾（Parseval）定理（能量保持定理）說明變換前后不損失能量。7.相關(guān)定理第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.1傅里葉變換傅里葉變換是可分離和正交變換中的一個(gè)特例，對(duì)圖像的傅里葉變換將圖像從圖像空間變換到頻率空間，從而可利用傅里葉頻譜特性進(jìn)行圖像處理。對(duì)于數(shù)字圖像而言，DFT的重要意義在于，在數(shù)學(xué)上建立了陣列與陣列的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且這個(gè)變換具有一系列重要性質(zhì)，這些數(shù)學(xué)性質(zhì)在物理實(shí)現(xiàn)上又有重要的應(yīng)用價(jià)值，并且有快速算法，這些算法固化在器件上，也可以通過光學(xué)器件實(shí)現(xiàn)。傅立葉變換在圖像的高、低通濾波、噪聲濾波、選擇性濾波、壓縮和增強(qiáng)中有著廣泛的應(yīng)用。第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日一個(gè)2-D離散函數(shù)的平均值可用下式表示：3.1.12-D離散傅里葉變換（DFT）第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日比較以上兩式：2-D離散函數(shù)傅里葉變換的頻譜（幅度函數(shù)）、相位角、和功率譜（頻譜的平方）定義如下：正反傅里葉變換都是可分離和對(duì)稱的：第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.1.2傅里葉變換定理設(shè)f(x,y)和F(u,v)構(gòu)成一對(duì)變換，即則有以下一些定理成立：1.平移定理由上式可知，f(x,y)在空間平移相當(dāng)于把其變換在頻域與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘；將f(x,y)在空間與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘相當(dāng)于把其變換在頻域平移。并且對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.旋轉(zhuǎn)定理由上式可知，對(duì)f(x,y)旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)；對(duì)F(u,v)旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將其傅里葉反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)。3.尺度定理（相似定理）上式表明，對(duì)f(x,y)在幅度方面的尺度變化導(dǎo)致對(duì)其傅里葉變換F(u,v)在幅度方面的相應(yīng)尺度變化；對(duì)f(x,y)在空間尺度方面的放縮則導(dǎo)致對(duì)其傅里葉變換F(u,v)在頻域尺度方面的相反放縮。而且會(huì)導(dǎo)致幅度的變化。將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為和借助極坐標(biāo)第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.剪切定理5.組合剪切定理組合剪切的坐標(biāo)變換：第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日6.仿射定理其中行列式為：7.卷積定理第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日8.相關(guān)定理3.1.3快速傅里葉變換快速傅立葉變換簡(jiǎn)稱為FFT。算法根據(jù)分解特點(diǎn)一般有兩類：一類是按時(shí)間分解，一類是按頻率分解。FFT運(yùn)算蝶式流程圖（阮秋琦《數(shù)字圖像處理學(xué)》）以一維離散傅立葉變換為例，要完成整個(gè)變換需要N2次乘法和N(N-1)次加法。而整個(gè)快速傅立葉變換需要log2N*N/2次復(fù)數(shù)乘法和log2N*N/2此復(fù)數(shù)加法，N越大，快速算法的優(yōu)越性越顯著。關(guān)于快速算法的結(jié)論第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.2離散余弦變換（DCT）1.變換的定義1-D離散余弦變換和其反變換的定義：離散余弦變換（DCT）在圖像壓縮編碼中得到廣泛應(yīng)用，它是國(guó)際靜止圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的基礎(chǔ)，也是國(guó)際序列圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)MPEG-1和MPEG-2中采用的變換方法。第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日其中，a(u)為歸一化加權(quán)系數(shù)，由下式定義：2-D離散余弦變換和其反變換定義：第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.變換的計(jì)算離散余弦變換可以利用傅立葉變換的實(shí)部計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)：其中，g(x)表示對(duì)f(x)的如下重排：可見，g(x)的前半部分是f(x)的偶數(shù)項(xiàng)，后半部分是f(x)奇數(shù)項(xiàng)的逆排?？梢詫點(diǎn)離散余弦變換的計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)N點(diǎn)離散傅里葉變換計(jì)算。第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.3Hough變換在數(shù)字圖像處理中，Hough變換屬于特征提取技術(shù)，它由PaulHough于1962年提出，最初只是用于二值圖像直線檢測(cè)，后來(lái)擴(kuò)展到任意形狀的檢測(cè)，現(xiàn)在常用的變換技術(shù)稱作廣義Hough變換，1981年被DannaH.Ballard擴(kuò)展后應(yīng)用到計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域。3.5.1基本原理從圖像中提取特征時(shí)，最簡(jiǎn)單也最有用的莫過于形狀的檢測(cè)了，比如：直線檢測(cè)、圓檢測(cè)、橢圓監(jiān)測(cè)以及其它類似形狀的檢測(cè)。為了達(dá)到這樣的目的，必須能夠檢測(cè)到這樣一組像素點(diǎn)，使它們位于擬定形狀的邊沿上，這就是Hough變換要解決的問題。第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日最簡(jiǎn)單得Hough變換就是線性變換。，假設(shè)在某個(gè)圖像上存在一條直線，其表達(dá)式為y=kx+b。顯然，最能表示這條直線特征的就是其斜率k和截距b，因此，這條直線在參數(shù)空間內(nèi)可表示為(k,b)。xYP2(x2,y2)P1(x1,y1)L0:y=kx+bL1:b=-x1k+y1L2:b=-x2k+y2kbP0(k0,b0)第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.5.5Hough變換的擴(kuò)展應(yīng)用對(duì)Hough變換稍作改動(dòng)，則可以檢測(cè)任何形狀：用Hough變換檢測(cè)圓:圓的方程(x-x0)2+(y+y0)2=R02根據(jù)直線對(duì)偶變換思想，可以用三個(gè)參數(shù)(x0,y0,R0)來(lái)表示一個(gè)圓，其他過程完全一樣，唯一不一樣的地方就是這個(gè)對(duì)偶變換是三維的。第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4小波變換對(duì)實(shí)函數(shù)g(t)來(lái)說，如果它的傅立葉變換G(w)滿足容許性條件（admissibilitycriterion）。那么就稱g(t)為“基小波”（basicwavelet）。根據(jù)G(w)的有限性，可知G(0)=0，即有這就是稱g(t)為小波的原因，小波是具有振蕩性和迅速衰減的波。第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)基小波進(jìn)行平移和放縮可得到一組小波基函數(shù){gs,p(t)}，也稱積分核。s——尺度參數(shù)，正實(shí)數(shù)，只是小波基函數(shù)的寬度；p——定位參數(shù)，實(shí)數(shù)，指示沿t軸的平移距離。函數(shù)f(t)相對(duì)小波g(t)的連續(xù)小波變換可定義為：反變換為：第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日傅立葉變換和小波變換的區(qū)別傅立葉變換具有頻率局部化的特點(diǎn)，但沒有時(shí)間/空間局部化的能力。小波變換具有時(shí)間—頻率都局部化的特點(diǎn)。在小波變換中，時(shí)間窗函數(shù)的寬度與頻率窗函數(shù)的寬度都是s的函數(shù)，其乘積根據(jù)“測(cè)不服原理”是一個(gè)常數(shù)。在對(duì)低頻分析時(shí)可加寬時(shí)間窗，減小頻率窗；而對(duì)高頻分析時(shí)可加寬頻率窗，減小時(shí)間窗。對(duì)應(yīng)較高頻率的窗比較窄(時(shí)間范圍小)但比較高(頻率范圍大)；而對(duì)應(yīng)較低頻率的窗比較寬(時(shí)間范圍大)但比較低(頻率范圍小)。小波變換的這種特性也稱為“變焦”(zoomZng)特性，它是小波變換能夠提供多分辨率分析的基礎(chǔ)。第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日任務(wù)檢索文獻(xiàn)：關(guān)鍵詞：傅立葉變換DFT、離散余弦變換(DCT)、Hough變換、小波變換(Wavelettransform)第三十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期日小結(jié)

傅立葉變換（FFT）具有快速算法，數(shù)字圖象處理中最常用