課題學(xué)習(xí)格點(diǎn)多邊形的面積問題

八年級(jí)·數(shù)學(xué)

《第四章課題學(xué)習(xí)：

格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算》

浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第四章課題學(xué)習(xí)格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算柯橋區(qū)魯迅外國(guó)語(yǔ)學(xué)校裘建龍學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解格點(diǎn)多邊形的概念；2.經(jīng)歷格點(diǎn)多邊形面積計(jì)算方法的探索過程；3.逐步掌握數(shù)學(xué)規(guī)律中的實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想、建模等數(shù)學(xué)思想方法，并豐富問題解決的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).課前準(zhǔn)備：方格紙、草稿紙、尺、筆概念講解多邊形的各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交點(diǎn)）上，這樣的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形.ABCDE概念講解下列圖形中，請(qǐng)指出屬于格點(diǎn)多邊形的圖形.規(guī)則圖形一般用面積公式.問題1：你能求出下圖中的格點(diǎn)多邊形的面積嗎？歸納：提出問題不規(guī)則圖形一般用割補(bǔ)法.解決問題問題2：你能求出下圖中的格點(diǎn)多邊形的面積嗎？ABCDE分割A(yù)BCDE補(bǔ)形有沒有一種普適性的更加簡(jiǎn)潔的方法呢？

設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為a，它的邊界上的格點(diǎn)數(shù)為b，那么S與a、b三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？探究新知格點(diǎn)多邊形的邊上的格點(diǎn)數(shù)a=7格點(diǎn)多邊形的內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)b=8ABCDE活動(dòng)一

如圖①②③都是滿足條件a=0的格點(diǎn)多邊形，請(qǐng)?zhí)顚懕砀瘢簣D形序號(hào)Sab①

②

③

…………260140308當(dāng)a=0時(shí)，S與b有什么關(guān)系？探究新知

如圖①②③都是滿足條件a=1的格點(diǎn)多邊形，請(qǐng)?zhí)顚懕砀瘢夯顒?dòng)二圖形序號(hào)Sab①

②

③

…………241152.5194.5當(dāng)a=1時(shí)，S與

b－1仍相等嗎？探究新知

如圖①②③都是滿足條件a=2的格點(diǎn)多邊形，請(qǐng)?zhí)顚懕砀瘢簣D形序號(hào)Sab①②③…………當(dāng)a=2時(shí)，S與b之間又有什么關(guān)系呢？活動(dòng)三6210234462探究新知

如圖①②③都是滿足條件a=3的格點(diǎn)多邊形，請(qǐng)?zhí)顚懕砀瘢簣D形序號(hào)Sab①②③…………

當(dāng)a=3時(shí)，S與b之間的關(guān)系又發(fā)生了怎樣的變化呢？活動(dòng)四3654434.553探究新知a＝０Ｓ＝a＝１Ｓ＝a＝２Ｓ＝a＝３Ｓ＝S

=＋０猜想歸納你將如何驗(yàn)證歸納所得S=的正確性？驗(yàn)證猜想格點(diǎn)多邊形的邊上的格點(diǎn)數(shù)a=7格點(diǎn)多邊形的內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)b=8ABCDE

格點(diǎn)多邊形的面積S和多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)a，它的邊上的格點(diǎn)數(shù)b之間存在一定的數(shù)量關(guān)系S=---皮克定理活動(dòng)收獲☆皮克，1859~1943年，奧地利數(shù)學(xué)家。☆1889年發(fā)現(xiàn)了S、a、b三者數(shù)量關(guān)系的“皮克公式”，并進(jìn)行了證明，得到“皮克定理”?！睢捌た硕ɡ怼北蛔u(yù)為有史以來(lái)“最重要100個(gè)數(shù)學(xué)定理”之一。驗(yàn)證:你所得到的公式是否也適合凹多邊形的情形。學(xué)以致用1.觀察右圖：可得：a=

b=

則s=

.3862、已知一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為6，（1）當(dāng)a=5時(shí)，可得b=

.（2）當(dāng)b=10時(shí)，可得a=

.（3）請(qǐng)?jiān)诟顸c(diǎn)圖中，設(shè)計(jì)一個(gè)面積為6的格點(diǎn)多邊形，并寫出相應(yīng)的a、b的值。自主練習(xí)42a為格點(diǎn)多邊形的內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)b為格點(diǎn)多邊形的邊上的格點(diǎn)數(shù)活動(dòng)小結(jié)兩種方法一個(gè)過程三種思想割補(bǔ)法皮克定理化歸思想函數(shù)思想建模思想實(shí)驗(yàn)歸納猜想建模課堂小結(jié)布置作業(yè)1、查閱有關(guān)皮克定理的資料，并和課堂探索過程作比較；2、拓展：探索在等邊三角形形成