函數(shù)奇偶性的應用

函數(shù)奇偶性的應用授課教師：龍游縣第二高級中學

翁志祥

一、保溫練習：奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)判斷下列函數(shù)的奇偶性：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)因為其定義域為[-1，1）不關(guān)于原點對稱因為其定義域為{1}不關(guān)于原點對稱作出下列函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=-x2+2|x|+3.解：（1）∵函數(shù)的定義域是R，且f(-x)=-(-x)2+2|-x|+3=-x2+2|x|+3=f(x),∴函數(shù)f(x)=-x2+2|x|+3是偶函數(shù)?！嘀恍枰犬嫵鰂(x)在[0，+∞)的圖象，再根據(jù)對稱性，可畫出整個圖象.當x∈[0，+∞)時，xy1-13-34解：∵函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，+∞)，且∴只需要先畫出f(x)在(0，+∞)的圖象，再根據(jù)對稱性，可畫出整個圖象.y=x二、重點回眸：1、奇函數(shù)：如果對于函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)的任何一個ｘ，都有則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)

說明2、偶函數(shù)：如果對于函數(shù)y=f(x)的定義域

內(nèi)的任何一個ｘ，都有則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)定義（2）函數(shù)奇偶性定義判斷的等價形式：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；性質(zhì)（1）一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y

軸對稱;（2）奇函數(shù)如果在原點有定義即可取0則;（3）偶函數(shù)有圖象三、例題：例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：解：引申即任一定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)均可用一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和.例2、已知是定義在上的增函數(shù)，且，求的取值范圍.解：由題意有：解之得：改編1已知定義在上的奇函數(shù)為增函數(shù)，且，求的取值范圍.解：依題意有解之得：改編2已知定義在上的偶函數(shù)，當時為增函數(shù)，且，求的取值范圍.解：由偶函數(shù)的性質(zhì)知：依題意得：解之得：重要結(jié)論：1.奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[-b，-a]上也是增函數(shù)。奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[-b，-a]上也是減函數(shù)。即奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性是一致的。2.偶函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[-b，-a]上是減函數(shù)。偶函數(shù)f(x)在[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[-b，-a]上是增函數(shù)。即偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性是相反的。例3.已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx+2，且f(-5)=7，則f(5)=__.解法一：∵f(5)=a53+52+b5+2=125a+5b+27又f(-5)=7即a(-5)3+(-5)2+b(-5)+2=7∴125a+5b=20,∴f(5)=20+27=47.解法二：

f(x)=ax3+x2+bx+2化為f(x)-x2-2=ax3+bx

令g(x)=ax3+bx，則g(x)是奇函數(shù)，且g(x)=f(x)-x2-2.∴g(-5)=f(-5)-(-5)2-2=7-25-2=-20,∴-g(5)=-20，即g(5)=20.又g(5)=f(5)-52