構(gòu)造常數(shù)數(shù)列法的延伸

構(gòu)造常數(shù)數(shù)列法的延伸一、 前言及說明構(gòu)造常數(shù)數(shù)列法是指通過構(gòu)造一個常數(shù)數(shù)列，從而達到求出原數(shù)列通項這一目的的新型構(gòu)造思想。為了敘述方便起見，依然引用前文關(guān)于f(n)和g(n)之差的新定義。二、 舊題展示（這兩個舊題的核心思想均被新題所使用， 因此讀者應(yīng)該予以充分重視。）1.若數(shù)列an滿足a11,an12an1，試求該數(shù)列通項。解：an12an1,an1+12an1且a112從而數(shù)列 an 1是一個以2為首項和公比的等比數(shù)列。則an12nan2n12.設(shè)數(shù)列an的前n項和是Sn,而且對nN*,均有Snna1an。求證：數(shù)列an是等差數(shù)列。2證明：當n2時，我們有：naanS1n2n1,aSSnaannn1Sn12na1

an

na1

an

1an Sn Sn12 2整理后，可得n1an1n2ana1即n1an1n2ann1a1n2a1aaan1an113n1nn2ana1ana1a2a1從而數(shù)列n1是常數(shù)數(shù)列。則n12a2a11令a2a1d，就有ana1n1dn2顯然當n 1時滿足上式。故對任意的正整數(shù) n，均有上式成立。從而我們有an1 an d常數(shù) 則數(shù)列 an是等差數(shù)列。證畢。三、 新題展示若數(shù)列an滿足anan12an11,a11n2，試n1求數(shù)列的通項。解：anan12an11,n1ann1an11n1n1n1n1ann1n1考慮到122，則n1an122n11n1an1an122按照定義，兩個差不相同。我們設(shè)存在一個數(shù)列 bn使得：11nbnn1ann1an1221nbn1n1ann1b1n1ann222an1nbn2n11n1bn1nbnbn1bnann2n1nn2n1n12bn9從而數(shù)列n1n1是常數(shù)數(shù)列。據(jù)題干求得a24b24bnb2b233n1n1b則n1n1212134n4annbn13nn11n24n122令n=1，顯然滿足上式。故對任意的正整數(shù) n，均有上式成立。3nn 1 1故數(shù)列 an的通項是an4 2本題反思：本題與前文相比，即兩個處于核心地位的遞推公式n1an1a1和n1ann1an11之間相比nn較而言，顯然后者比前者多了一個游離項。從而導(dǎo)致我們之前的方案無法一舉成功。從而需要在這基礎(chǔ)之上作恰當調(diào)整，最后依然是利用之前的主導(dǎo)思想解決的。從而體現(xiàn)了數(shù)學的辯證性?？傊?，作為初等數(shù)列思想的