Riemann 猜想漫談 (十四)

Riemann猜測漫談（十四）盧昌海在Bohr與Landau研究零點(diǎn)分布的同時，另一位為Riemann猜測而著迷的數(shù)學(xué)家Hardy也沒閑著。1914年，即與Bohr-Landau定理的提出同一年,Hardy對Riemann猜測的研究也取得了突破性的結(jié)果。這便是我們在第一節(jié)中提到過的那個“令歐洲大陸數(shù)學(xué)界為之震動的成就〃。在Riemann猜測的研究中，這一結(jié)果被稱為Hardy定理［注一］：Hardy定理：Riemann函數(shù)有無窮多個非平凡零點(diǎn)位于臨界線上。我們知道（詳見上節(jié)），無論Hadamard、Vailee-Poussin，還是Bohr、Landau，在Hardy之前人們所做的有關(guān)Riemann猜測的所有解析研究，都沒能證明Riemannl函數(shù)的哪怕一個非平凡零點(diǎn)落在臨界線上。那時人們所知的有關(guān)臨界線上的零點(diǎn)的全部結(jié)果只有我們在第八節(jié)中提到過的1903年Gram給出的15個零點(diǎn)以及1914年（與Hardy定理的提出同一年）Backlund計算出的79個零點(diǎn)。全部都是零星計算，且涉及的零點(diǎn)數(shù)目少得可憐。而突然間，來自英倫島上的Hardy居然不動聲色地一舉把臨界線上的零點(diǎn)數(shù)目擴(kuò)大到了無窮,不僅遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過Backlund的區(qū)區(qū)79個零點(diǎn)，也永久性地超過了后世所能給出的任何具體的數(shù)值計算結(jié)果。因?yàn)闊o論用多么高明的計算方法，無論用多么強(qiáng)大的計算設(shè)備，也無論用多么漫長的計算時間，任何具體的數(shù)值計算所能驗(yàn)證的零點(diǎn)數(shù)目都是有限的，而無論多么大的有限數(shù)目相對于無窮來說都只是一個“零〃。因此Hardy定理雖然沒有給出臨界線上任何一個具體零點(diǎn)的數(shù)值，但它通過對這些零點(diǎn)的存在性證明，為Riemann猜測提供了強(qiáng)有力的支持，并且超越了任何可能的具體數(shù)值計算［注二］。這樣的一個結(jié)果出現(xiàn)在人們對Riemann彳函數(shù)的非平凡零點(diǎn)還知之甚少的1914年，而且還出現(xiàn)在與歐洲大陸數(shù)學(xué)界頗為疏離的英國，不能不令歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們感到震動。Hardy定理的證明可以從一個有關(guān)自(s)的積分表達(dá)式：入手。這里s的取值滿足ORe(s)l,被積表達(dá)式中的函數(shù)G(x)那么定義為：我們在第五節(jié)中介紹過，&(s)的零點(diǎn)與RiemannI函數(shù)的非平凡零點(diǎn)相重合，并且自(s)是一個整函數(shù)，性質(zhì)比RiemannC函數(shù)來得簡單，從而在Riemann猜測的研究中是一個十分重要的輔助函數(shù)。證明Hardy定理的根本思路便是設(shè)法從前式中找出與8(s)在臨界線上的零點(diǎn)分布有關(guān)的約束條件來。為此，第一步是從前式中解出G(x)-1-1/x。這與我們在第四節(jié)中介紹過的從InU(s)與J(x)的積分表達(dá)式中解出J(x)來是完全類似的，其結(jié)果也類似，為：其中積分上下限中的a滿足01。從G(x)的定義中不難看到(讀者可以自行證明)，G(x)在復(fù)平面上-n/4Indn(x)兀/4的鍥形區(qū)域內(nèi)解析。進(jìn)一步的研究還說明，在這一鍥形區(qū)域的邊界上G(x)存在奇點(diǎn)，特別是，當(dāng)x從鍥形區(qū)域內(nèi)逼近il/2(即eni/4)時，G(x)及其所有導(dǎo)數(shù)都趨于零。另一方面，假設(shè)白(s)在臨界線上只有有限多個零點(diǎn)，那么只要t足夠大，4(l/2+it)的符號就將保持恒定(請讀者想一想這是為什么？)。換句話說，只要t足夠大，&(l/2+it)要么是恒正函數(shù)，要么是恒負(fù)函數(shù)［注三］。顯然，t的這種大范圍特征對上式右端的積分(積分限中的a取為1/2)會產(chǎn)生可觀的影響。這種影響究竟有多大呢？Hardy經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，它足以破壞G(x)在x-il/2時的所有導(dǎo)數(shù)都趨于零這一結(jié)果［注四］。這就說明&(s)在臨界線上不可能只有有限多個零點(diǎn)一一而這正是Hardy定理。Hardy定理在研究Riemann猜測的征程上無疑是一個了不起的成就。但是它距離目標(biāo)究竟還有多遠(yuǎn)呢？卻是誰也答不上來。從字面上看,Riemann函數(shù)共有無窮多個非平凡零點(diǎn)，而Hardy定理所說的正是有無窮多個非平凡零點(diǎn)位于臨界線上，兩者似乎已是一回事?？上У氖?，“無窮〃這一概念卻是數(shù)學(xué)中最微妙的概念之一，兩個“無窮〃之間非但未見得相同，簡直可以相距要多遙遠(yuǎn)有多遙遠(yuǎn)，甚至相距無窮遠(yuǎn)！因此，為了知道我們離目標(biāo)究竟還有多遠(yuǎn)，我們還需要比Hardy定理更具體的結(jié)果。幸運(yùn)的是，那樣的結(jié)果很快就有了，離Hardy定理的問世僅僅相隔七個年頭。在研究Riemann定理的征程中，時間動輒就以幾十年計，因此七年應(yīng)該算是很短的時間。這回出現(xiàn)在英雄榜上的人物除了Hardy外，還有Hardy的同胞兼“親密戰(zhàn)友〃Littlewood。二十四.Hardy-Littlewood定理Hardy一生除了對數(shù)學(xué)本身的卓越奉獻(xiàn)外，還有兩段與他人合作的經(jīng)歷在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。其中一段是與印度數(shù)學(xué)奇才SrinivasaRamanujan(1887-1920)的傳奇性的合作，另一段便是與Littlewood的合作。Littlewood與Hardy一樣，是英國外鄉(xiāng)的數(shù)學(xué)家。我們曾在第一節(jié)中介紹過，英國的數(shù)學(xué)界自Newton-Leibniz論戰(zhàn)以來漸漸與歐洲大陸的數(shù)學(xué)界孤立了開來。1906年，當(dāng)Littlewood還是劍橋大學(xué)三一學(xué)院(TrinityCollege)的一位年輕學(xué)生的時候，這種孤立所導(dǎo)致的一個有趣的后果落到了他的頭上。他當(dāng)時的導(dǎo)師、英國數(shù)學(xué)家ErnestBarnes(1874T953)在那年的暑期之前隨手寫給了他一個函數(shù)，輕描淡寫地告訴他說這叫做U函數(shù)，讓他研究一下這個函數(shù)的零點(diǎn)位置。初出茅廬的Littlewood不知C函數(shù)為何方神圣，領(lǐng)命而去倒也罷了，但Barnes居然能漫不經(jīng)心地把這樣的課題交給當(dāng)時還是“菜鳥〃（盡管算是比擬厲害的“菜鳥〃）的Littlewood,說明他對歐洲大陸在近半個世紀(jì)的時間里對這一函數(shù)的研究，以及由此所顯示的這一課題的艱深程度了解得很不夠。不過Barnes雖有對“敵情〃失察之過，把任務(wù)交給Littlewood卻是找對人了，因?yàn)長ittlewood很快就成長為了英國第一流的數(shù)學(xué)家。而在這過程中，Barnes所給的這個課題對他的成長不無促進(jìn)之功。假設(shè)千年后，當(dāng)Littlewood終于體會到了Riemann猜測的艱深程度，甚至開始疑心其正確性（參閱第九節(jié)）的時候，他并沒有懊悔當(dāng)時曾經(jīng)接下了這一課題，因?yàn)橐晃徽嬲齼?yōu)秀的數(shù)學(xué)家在面對一個絕頂難題的時候，往往會被激發(fā)出最大的潛力及最敏銳的靈感。事實(shí)上，拿到上述課題后的第二年,Littlewood就發(fā)現(xiàn)這個V函數(shù)與素數(shù)分布之間存在著緊密關(guān)聯(lián)。對于歐洲大陸的數(shù)學(xué)家來說，這種關(guān)聯(lián)已缺乏為奇，因?yàn)樗缭谒氖四曛熬捅籖iemann發(fā)現(xiàn)了。但在閉塞的英國數(shù)學(xué)界，歐洲大陸在這方面的工作當(dāng)時還鮮為人知。不過閉塞歸閉塞，例外還是有的，其中與Littlewood恰好同在三一學(xué)院的Hardy就是一個例外。盡管Littlewood的發(fā)現(xiàn)在時間上未能領(lǐng)先，但他能獨(dú)立地重復(fù)Riemann的局部工作，其功力之非凡還是給年長的Hardy留下了深刻印象。此后Littlewood在曼徹斯特大學(xué)（UniversityofManchester）大學(xué)教了三年書。1910他在獲得了三一學(xué)院的教職后重返劍橋，由此開始了與Hardy長達(dá)三十七年親密無間的合作生涯，直至1947年Hardy去世為止。Hardy與Littlewood的合作堪稱數(shù)學(xué)史上合作關(guān)系的典范。在他們合作的極盛時期，歐洲數(shù)學(xué)界流傳著許多有關(guān)他們的善意玩笑。比方Bohr(Bohr-Landau定理中的Bohr)曾經(jīng)開玩笑說當(dāng)時英國共有三位第一流的數(shù)學(xué)家：一位是Hardy,一位是Littlewood，還有一位是Hardy-Li111ewoodo而與之截然相反的另一個玩笑那么宣稱Littlewood根本就不存在，是Hardy為了自己的文章一旦出現(xiàn)錯誤時可以有替罪羊而杜撰出來的虛擬人物。據(jù)說Landau(Bohr-Landau定理中的Landau)還專程從德國跑到英國來證實(shí)Littlewood的存在性［注五］。Hardy與Littlewood對臨界線上非平凡零點(diǎn)的研究起點(diǎn)與Hardy定理相同，也是上面提到的G(x)與昌(s)之間的積分表達(dá)式。在Hardy定理的證明中，如我們在上文及注釋中看到的，著眼點(diǎn)是2a(z)xz-l/z(z-1)在整個臨界線上的積分。這一著眼點(diǎn)其實(shí)已經(jīng)為Hardy定理的結(jié)果埋下了伏筆。正所謂“種瓜得瓜，種豆得豆〃，既然所研究的是整個臨界線上的積分，所得到的當(dāng)然也就只是有關(guān)整個臨界線上零點(diǎn)總數(shù)的籠統(tǒng)結(jié)果。那么，為了得到能與Riemann猜測對非平凡零點(diǎn)的描述進(jìn)行具體比擬的結(jié)果，我們需要什么呢？我們需要的不僅是對整個臨界線上零點(diǎn)總數(shù)的研究，更重要的是要了解臨界線上位于區(qū)間0Wlm(s)WT的零點(diǎn)數(shù)目。為此，Hardy與Littlewood研究了21(z)xzT/z(zT)在臨界線上任一區(qū)間的積分，即:其中Re(s)=1/2。通過對這一積分的細(xì)致研究，Hardy與Littlewood發(fā)現(xiàn)臨界線上不僅有無窮多個非平凡零點(diǎn)，而且虛部在0到T之間的零點(diǎn)總數(shù)隨T趨于無窮的速度起碼是KT(其中K為大于零的常數(shù))。他們發(fā)表于1921年的這一結(jié)果在數(shù)學(xué)界并無確切名稱，我們在這里將它稱之為Hardy-Littlewood定理［注六］,它的完整表述如下：Hardy-Littlewood定理：存在常數(shù)K0及TOO,使得對所有TT0,RiemannC函數(shù)在臨界線上0Wlm(s)WT的區(qū)間內(nèi)的非平凡零點(diǎn)數(shù)目不小于KT。有了這樣的具體結(jié)果，我們就可以將它與Riemann猜測相比擬了。那么,Hardy-Littlewood定理距離Riemann猜測這一目標(biāo)究竟有多遠(yuǎn)呢?為了答復(fù)這一問題，我們可以回憶一下第五節(jié)中Riemann那三個命題中的第一個，即：在Olm(s)T的區(qū)間內(nèi)(不限于臨界線上)，RiemannG函數(shù)的零點(diǎn)總數(shù)大約為(T/2Ji)ln(T/2ji)-(T/2兀)。這個命題于1905年被Mangoldt所證明，并且也是Riemann那三個命題中迄今唯一得到證明的命題。與這個命題相比，我們可以看到一個令人沮喪的結(jié)果，那就是Hardy-Littlewood定理所給出的對臨界線上非平凡零點(diǎn)數(shù)目下限的漸近估計相對于零點(diǎn)總數(shù)來說，其漸近比例為零！真是不比不知道，一比嚇一跳，原來花了這么大功夫所得到的這一結(jié)果從純比例的角度看竟是如此地“微缺乏道〃。這就是我們與Riemann猜測的距離所在，也是Riemann猜測的難度所在。但盡管如此,Hardy-Littlewood定理是有關(guān)RiemannC函數(shù)非平凡零點(diǎn)在臨界線上的具體分布的第一個解析結(jié)果。在當(dāng)時也是唯一一個那樣的結(jié)果，其重要性是不言而喻的。Hardy-Li111ewood定理的這一紀(jì)錄總共維持了21年，直到1942年才被我們在第十七節(jié)中提到過的Selberg所打破。注釋.Hardy一生對數(shù)學(xué)有著諸多奉獻(xiàn)，“Hardy定理〃這一名稱有時也被用來表示復(fù)變函數(shù)論中的一個定理，為防止歧義，我們在這里添加了“在Riemann猜測的研究中〃這一限定。.在歷史上，這種存在性證明由于其非構(gòu)造性的特征，曾被以荷蘭數(shù)學(xué)家L.E.J.Brouwer(1881-1966)>德國數(shù)學(xué)家HermannWeyl(1885-1955)>荷蘭數(shù)學(xué)家ArendHeyting(1898-1980)等人為代表的數(shù)學(xué)哲學(xué)“三大流派〃之一的直覺主義(Intuitionism)所排斥。但是存在性證明是數(shù)學(xué)中極其重要的方法，在很大程度上表達(dá)了邏輯與推理的力量，就像一個高明的偵探無需跑到罪犯家中將之拿下就可以推斷出誰是兇手一樣。直覺主義因排斥這種非構(gòu)造性的方法而拋棄的東西實(shí)在太多，最后就連其代表人物之一的Weyl也不得不成認(rèn)，在直覺主義中“數(shù)學(xué)家們痛苦地看著數(shù)學(xué)大廈中自己深信根底堅(jiān)實(shí)的許多局部在他們的眼前化為了迷霧〃。.由于a(s)在臨界線上為實(shí)數(shù)(參閱第十一節(jié))，且&(s)=昌(s)(參閱第二十二節(jié))，&(l/2+it)作為t的函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此我們只需考慮to的情形即可。.限于篇幅，也為了防止涉及過多的技術(shù)性內(nèi)容，我們略去了對這一點(diǎn)的證明。概括的講，它主要包括三個步驟：1.消去左端的-1-1/x及右端被積函數(shù)中的l/z(z-l)以簡化表達(dá)式。具體做法是用算符x(d2/dx2)x作用于G(x)的積分表達(dá)式的兩端。這一步比擬容易。2.證明簡化后的左端H(x)=x(d2/dx2)xG(x)在x^il/2時具有與G(x)一樣的行為，即所有導(dǎo)數(shù)都趨于零。這一步也比擬容易。3.證明&(l/2+it)在t很大時具有恒定的符號這一性質(zhì)