浙江省臺金六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

第1頁/共1頁臺金六校2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)考生須知：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的答字筆或鋼筆填寫在答題紙上.3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如要改動，需將原填涂處用橡皮擦凈.4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答寫在本試題卷上無效.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解出即可.【詳解】，即，解得或（舍），故選：D.2.若函數(shù)，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，可得.故選：C.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的表達式，設(shè)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，函數(shù)值的符號，從而可得函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)圖象．【詳解】的定義域為．設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則．所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故選：B．4.仙居楊梅是臺州市著名特產(chǎn)之一，其栽培有1000多年的歷史.據(jù)統(tǒng)計，仙居楊梅的單果重量（單位：克）克服從正態(tài)分布，則單果重量在的概率為（）（附：若，則，）A.0.6827 B.0.8186 C.0.8413 D.0.9545【答案】B【解析】【分析】分析該正態(tài)分布的均值和方差并作出圖像，即可求出單果重量在的概率.【詳解】由題意，仙居楊梅的單果重量（單位：克）克服從正態(tài)分布，在中，，∴該正態(tài)分布的均值是20，方差是9，標(biāo)準(zhǔn)差是3，正態(tài)分布圖像如下：∵，，，∴，故選：B.5.有一項社區(qū)活動需要完成，人員在指定的6名同學(xué)中選派，要求必須有人參加，去幾個人自行決定，若甲和乙兩位同學(xué)要么同時參加，要么同時不參加，則不同的選派方法種數(shù)為（）A.15 B.31 C.63 D.120【答案】B【解析】【分析】利用組合及分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】若甲和乙兩位同學(xué)同時參加，則去的人數(shù)可能是人，人，人，人，人.所以滿足條件的去法種數(shù)為種，若甲和乙兩位同學(xué)同不時參加，則去的人數(shù)可能是人，人，人，人.所以滿足條件的去法種數(shù)為種，故不同選派方法種數(shù)為種.

故選：B.6.若曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進而求得a的值.【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因為，所以，解得.故選：A.7.一個數(shù)陣有行5列，第一行中的數(shù)為1，2，3，4，5，其余各行都由這5個數(shù)以不同順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，那么的最大值為（）A.5 B.25 C.120 D.3125【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，個不同元素的全排列共有個，由個不同的數(shù)值可以以不同順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同，即可得到答案.【詳解】第一行的數(shù)為，其余各行都由這個數(shù)以不同順序組成，由于個不同元素的全排列共有個，所以由個不同的數(shù)值可以以不同順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同，為使每一行都不重復(fù)，可以取的最大值是.故選：C8.已知，，關(guān)于的不等式無實數(shù)解，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得在定義域內(nèi)恒成立，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值結(jié)合恒成立問題可得，進而利用二次函數(shù)求的最大值.【詳解】構(gòu)建，由題意可得在定義域內(nèi)恒成立，可得的定義域為，且，因為，，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，令，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，若，則，即，所以，當(dāng)時，取到最小值.故選：A.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.經(jīng)驗回歸方程對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點B.在殘差的散點圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好C.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗（），可判斷與有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)經(jīng)驗回歸直線可以不經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點中的任何一個點可判斷；對于B，根據(jù)殘差的定義可判斷；對于C，由正態(tài)分布的對稱性即可判斷；對于D，根據(jù)卡方的含義即可判斷.【詳解】對于A，經(jīng)驗回歸直線可以不經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點中的任何一個點，A錯誤；對于B，根據(jù)殘差的定義可知，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，預(yù)測值與實際值越接近，其模型的擬合效果越好，B正確；對于C，隨機變量服從正態(tài)分布，則，所以，則，C正確；對于D，因為，所以可判斷與有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05，D正確.故選：BCD.10.已知盒子中裝有形狀，大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)每次從中任意取一張，取出后不再放回，若抽取三次，記“前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件，“第三張卡片所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)”為事件，“三張卡片所標(biāo)數(shù)字均奇數(shù)”為事件，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】共有種取法，再列舉滿足條件的事件得到A正確，根據(jù)抽簽公平原則得到B正確，列舉得到C正確，利用條件概率公式計算得到D正確，得到答案.【詳解】對于選項A：從五張卡片中不放回的抽取2張卡片，有種取法，其中事件包含共4個基本事件，則，正確；對選項B：第三張卡片所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的概率與第一張卡片所標(biāo)數(shù)字為奇數(shù)的概率相同，則，錯誤；對選項C：從五張卡片中不放回的抽取3張卡片，有種取法，事件包含1個基本事件，即，則，正確；對于選項D：，，，正確；故選：ACD.11.展開式為多項式，設(shè)其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)記為，其通項的形式為（為項的系數(shù)），則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，前的系數(shù)為2240 B.當(dāng)時，前的系數(shù)為6272C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】AC【解析】【分析】利用隔板法確定，代入計算得到C正確D錯誤，再根據(jù)個相乘，利用組合計算系數(shù)為，A正確B錯誤，得到答案.【詳解】展開式為多項式，對應(yīng)的項數(shù)為將個相同的小球分為組，共有種方法，故，對選項A：時，考慮個相乘，其中個選擇，個選擇，剩余的選擇，則系數(shù)為，正確；對選項B：當(dāng)時，前的系數(shù)為，錯誤；對選項C：當(dāng)時，，正確；對選項D：當(dāng)時，，錯誤；故選：AC.12.對于函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有極大值，沒有極小值B.有極小值，沒有極大值C.若關(guān)于的不等式有唯一的負(fù)整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是D.若過點與曲線相切的直線有3條，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算極值得到A錯誤B正確，確定直線過定點，根據(jù)直線與函數(shù)值的關(guān)系解得C正確，設(shè)出切點，題目轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)計算最值得到D正確，得到答案.【詳解】，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)有極小值為，無極大值.對選項A：函數(shù)無極大值，錯誤；對選項B：有極小值，沒有極大值，正確；對選項C：直線過定點，不等式有唯一的負(fù)整數(shù)解，則，解得，正確；對選項D：設(shè)切點為，則，故，設(shè)，則，當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)有極小值為畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：有三個交點，故.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解不等式的整數(shù)問題，切線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將切線的條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問題是解題的關(guān)鍵.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若隨機變量，則________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項分布的方差公式即可求解.【詳解】因為，所以.故答案為：14.曲線的曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率為.已知函數(shù)，則曲線在點處的曲率________.【答案】【解析】【分析】先求，進而可得，代入題中公式運算求解.【詳解】因為，則，可得，所以曲線在點處的曲率.故答案為：.15.已知，且，則的展開式中含項的系數(shù)為________.【答案】42【解析】分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列求和可得，再結(jié)合二項展開式結(jié)合等差數(shù)列求和運算求解.【詳解】因為，解得，所以，又因為的二項展開式為，令，則，所以中項的系數(shù)為，則的展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：42.16.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一個人，若次傳球后球在甲手中的概率為，則________.【答案】【解析】【分析】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲的手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，得到，化簡整理得，即，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解，進而可求解.【詳解】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲的手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則有，所以，即，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以所以故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從集合中取三個數(shù)字，從集合中取兩個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出滿足下列條件的五位數(shù)個數(shù)，要求答案用數(shù)字表示.（1）集合中的數(shù)字必須在奇數(shù)位上；（2）集合中的數(shù)字必須相鄰，且組成的五位數(shù)是偶數(shù).【答案】（1）480；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理結(jié)合排列問題列式計算作答.（2）按萬位是否是集合A中取出的數(shù)字分類，再利用相鄰問題捆綁法排列所取數(shù)字即可求解作答.【小問1詳解】依題意，集合中的數(shù)字必須在奇數(shù)位上，則集合B中的數(shù)字只能在十位和千位，所以集合中的數(shù)字必須在奇數(shù)位上的五位數(shù)個數(shù)是.【小問2詳解】因為集合中的數(shù)字必須相鄰，且組成的五位數(shù)是偶數(shù)，則此五位數(shù)的個位必須是集合B中的數(shù)字，當(dāng)萬位是集合A中取出的數(shù)字時，有個，當(dāng)萬位是集合B中取出的數(shù)字時，排萬位有種，排個位有種，排另3個數(shù)位有種，共有，由分類加法計數(shù)原理得，所以集合中的數(shù)字必須相鄰，且組成的五位數(shù)是偶數(shù)有個.18.已知在處有極大值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，利用極小值列方程組求解a，b，并檢驗；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求解極值與端點處的函數(shù)值，從而可得最大、最小值.【小問1詳解】因為，則，由題意可得，解得或，若，則，，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到極大值0，符合題意；若，則，，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到極小值0，不符合題意；綜上所述：.【小問2詳解】因為，由（1）可知：，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，且，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19.隨著人臉識別技術(shù)的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題.現(xiàn)從330人中進行調(diào)查，不同年齡層的人對“刷臉支付”所態(tài)度，結(jié)果統(tǒng)計如下表所示：年齡在50周歲以上（含50周歲）年齡在50周歲以下總計持支持態(tài)度60180240不持支持態(tài)度303060總計90210300（1）從上述列聯(lián)表中，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；（2）已知某地的一連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)與第天之間的關(guān)系統(tǒng)計如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)出很強的線性相關(guān)的特征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求與的回歸直線方程.1234567第天24812222638使用人數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，，.【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意計算，并與臨界值對比分析；（2）先求，，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式求，即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得：，所以有99.9%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性.【小問2詳解】因為，，可得，則，所以與的回歸直線方程.20.已知二項式的展開式中第二項與第四項的系數(shù)相同.（1）求值與展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先寫出展開式的通項，利用展開式中第二項與第四項的系數(shù)相同求出的值，再利用通項求常數(shù)項；（2）先得到第3項展開式系數(shù)最大，再代入通項可得.【小問1詳解】的展開式的第項為，即，由題意，得，因，故，此時，當(dāng)時，，【小問2詳解】由（1）知展開式系數(shù)為，，設(shè)第項系數(shù)最大，則有，即，得，，解得，因故所以展開式中系數(shù)最大的項為第3項，即21.中國男子籃球職業(yè)賽，簡稱中職籃（CBA），總決賽一般采用“七局四勝”制，某賽季總決賽在甲、乙兩支男子籃球隊中進行，已知甲隊每局獲勝的概率均為.（1）設(shè)甲隊以獲勝的概率為，求的最大值；（2）若，用表示決出總冠軍需要進行的比賽局?jǐn)?shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，再判斷單調(diào)性，求得最值即可.（2）求得的所以可能取值，再求概率及分布列即可.【小問1詳解】甲隊以獲勝，則前四局中甲勝三局?jǐn)∫痪?，第五局甲必須勝，所以，，，令，得，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值為.【小問2詳解】由題意知，，則的可能取值為，相應(yīng)的概率為：，，，，所以的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望.22.已知函數(shù)，其中為大于零的常數(shù).（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù).（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，且是函數(shù)的兩個極值點，求的最