第二章 §2.2 第1課時(shí)　基本不等式-高中數(shù)學(xué)人教A版必修一 課件（共30張PPT）

第1課時(shí)基本不等式第二章

§2.2基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解基本不等式，理解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程.(難點(diǎn))2.能夠應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.(難點(diǎn))導(dǎo)語(yǔ)一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里購(gòu)買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你覺(jué)得店主這個(gè)買賣做到誠(chéng)信無(wú)欺了嗎？為解決這個(gè)問(wèn)題，我們一起進(jìn)入今天的課堂吧！一、基本不等式的證明與理解二、求簡(jiǎn)單代數(shù)式的最值三、最值定理隨堂演練內(nèi)容索引基本不等式的證明與理解

一問(wèn)題1

如圖是不等式第一節(jié)課我們抽象出來(lái)的在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，你還記得我們得出什么樣的結(jié)論嗎？實(shí)際上該不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b都能成立，我們稱該不等式為重要不等式.問(wèn)題3上述不等式是在重要不等式基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化出來(lái)的，是否對(duì)所有的a>0，b>0都能成立？請(qǐng)給出證明.提示方法一

(作差法)方法二

(利用不等式性質(zhì)證明)方法三(利用幾何意義證明)如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a＝b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦.知識(shí)梳理基本不等式：(2)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

它們的幾何平均數(shù).a＝b算術(shù)不小于注意點(diǎn)：求簡(jiǎn)單代數(shù)式的最值

二例1故原式的最大值為－4.A.1

B.2

C.3

D.4√當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)取“＝”.反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值，求和式的最小值時(shí)應(yīng)使積為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號(hào)成立的條件是否具備，檢驗(yàn)多項(xiàng)式取得最值時(shí)的x的值是否為已知范圍內(nèi)的值，三點(diǎn)缺一不可.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程正確的有√√B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，－1∵x<3，則3－x>0，最值定理

三問(wèn)題4你能寫(xiě)出基本不等式的幾種變形嗎？由此我們發(fā)現(xiàn)若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，我們可以求這兩個(gè)數(shù)乘積的最大值，若兩個(gè)數(shù)的乘積為定值，我們可以求這兩個(gè)數(shù)和的最小值.知識(shí)梳理最值定理已知x，y都為正數(shù)，則(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值

；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值

，簡(jiǎn)記為：積定和最

，和定積最

.小大注意點(diǎn)：(1)三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一正、二定、三相等.①一正：各項(xiàng)必須為正；②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；③三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)的條件是否具備.(2)探求過(guò)程中常需依據(jù)具體的問(wèn)題進(jìn)行合理的拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、配項(xiàng)等變換.例2

(1)設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為A.80

B.77

C.81

D.82√因?yàn)閤>0，y>0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81.(2)已知0<x<1，則y＝x(1－x)的最大值為_(kāi)___.反思感悟通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于“拼”系數(shù)、“湊”常數(shù)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：①拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)轉(zhuǎn)換；②代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；③拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)“一正二定三相等”.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若m>0，n>0，mn＝9，則m＋n的最小值是√因?yàn)閙>0，n>0，mn＝9，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝3時(shí)，等號(hào)成立.(2)當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求3x(4－x)的最大值.∵0＜x＜4，∴4－x＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，等號(hào)成立，∴3x(4－x)的最大值為12.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)基本不等式的推導(dǎo)與證明.(2)