第八章§8.5.3 平面與平面平行-高一數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊 課件（共44張PPT）

8.5.3平面與平面平行第八章

§8.5空間直線、平面的平行學習目標1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.(重點)2.理解并掌握平面與平面平行的性質定理.(難點)導語前面我們研究了空間中直線與平面的位置關系，并從文字語言、圖形語言、符號語言進行了表述.類似于直線與平面平行的判定，我們是不是可以把平面與平面平行的問題轉化為直線與平面平行的問題呢？一、平面與平面平行的判定定理二、平面與平面平行的性質定理三、平行關系的綜合應用隨堂演練內(nèi)容索引平面與平面平行的判定定理

一問題1如圖(1)，a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖(2)，c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎？提示三角尺和桌面一定平行，硬紙片不一定平行.即如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.知識梳理平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的

與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?β，

，

，

，b∥α?β∥α兩條相交直線b?βa∩b＝Pa∥α圖形語言

例1

(1)已知α，β是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定α∥β的是A.α，β都平行于直線l，mB.α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等C.l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥βD.l，m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β√對A，當α∩β＝a，l∥m∥a時，不能推出α∥β；對B，當α∩β＝a，且在平面α同側有兩點，另一側有一個點，三點到平面β的距離相等時，不能推出α∥β；對C，當l∥m時，不能推出α∥β；對D，∵l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α內(nèi)存在兩條相交直線與平面β平行，故可得α∥β.(2)(課本140頁例4)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：平面AB1D1∥平面BC1D.∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴D1C1綉A1B1，AB綉A1B1，∴D1C1綉AB.∴四邊形D1C1BA為平行四邊形.∴D1A∥C1B.又D1A?平面BC1D，C1B?平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D.同理D1B1∥平面BC1D.又D1A∩D1B1＝D1，D1A，D1B1?平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.延伸探究在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求證：平面AMN∥平面BDEF.連接B1D1，NE，如圖所示.∵在△B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B1C1的中點，∴EF∥B1D1，同理MN∥B1D1，∴MN∥EF，又∵EF?平面BDEF，MN?平面BDEF，∴MN∥平面BDEF.在正方形A1B1C1D1中，N，E分別為A1B1，C1D1的中點，∴NE綉A1D1，又∵A1D1綉AD，∴NE綉AD，∴四邊形ADEN是平行四邊形，∴AN∥DE，又∵AN?平面BDEF，DE?平面BDEF，∴AN∥平面BDEF，又∵AN∩MN＝N且AN，MN?平面AMN，∴平面AMN∥平面BDEF.反思感悟(1)在判定兩個平面是否平行時，一定要強調(diào)一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”這個條件，線不在多，相交就行.(2)平面與平面平行的判定方法①定義法：兩個平面沒有公共點.②判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.③轉化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.④利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.跟蹤訓練1(1)如果一個銳角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，下列結論一定成立的是A.這兩個角相等B.這兩個角互補C.這兩個角所在的兩個平面平行D.這兩個角所在的兩個平面平行或重合√(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.∵E，G分別是PC，BC的中點，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.平面與平面平行的性質定理

二問題2若兩平面α與β平行，那么平面α內(nèi)的直線a與平面β有何位置關系？平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的任一直線b有何位置關系？何時a與b平行？提示直線a與平面β平行.直線a與平面β內(nèi)的任一直線b平行或異面.當a與b不異面，即在同一個平面內(nèi)時，a與b平行.問題3你能證明你得到的結論嗎？提示如圖，平面α∥β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b.∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a?α，b?β.又α∥β，∴a，b沒有公共點.又a，b同在平面γ內(nèi)，∴a∥b.知識梳理兩個平面平行的性質定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線_____符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?______圖形語言

平行a∥b例2(課本141頁例5)求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證：AB＝CD.證明：過平行線AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC，又AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形.∴AB＝CD.反思感悟利用面面平行的性質定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條.(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出).(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上.(4)由定理得出結論.跟蹤訓練2

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.平行關系的綜合應用

三例3

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點.(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；如圖，連接AC，CD1.因為四邊形ABCD是正方形，且Q是BD的中點，所以Q是AC的中點，又P是AD1的中點，所以PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的長；(3)求證：EF∥平面BB1D1D.方法一

取B1D1的中點O1，連接FO1，BO1，如圖所示，所以BE∥FO1，BE＝FO1，所以四邊形BEFO1為平行四邊形，所以EF∥BO1.又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.方法二

取B1C1的中點E1，連接EE1，F(xiàn)E1，如圖所示，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，F(xiàn)E1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.反思感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓練3

如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，課堂小結1.知識清單：(1)平面與平面平行的判定定理.(2)平面與平面平行的性質定理.(3)平行關系的綜合應用.2.方法歸納：轉化與化歸.3.常見誤區(qū)：平面與平面平行的條件不充分.隨堂演練

1.已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關系是A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面√1234∵α∥β，∴α與β無公共點，又m?α，n?β，∴m與n無公共點，∴m與n平行或異面.2.a是平面α外一條直線，過a作平面β，使α∥β，這樣的βA.只能作一個 B.至少可以作一個C.不存在 D.至多可以作一個√12341234當a∥α時，過a作平面β，使得β∥α，由平面與平面平行的性質得這樣的平面β有且只有1個.當a與α相交時，設a與α的交點為P，根據(jù)題意知，P∈β，P