聊城大學(xué)實變函數(shù)期末試題

（第4頁，共11頁）《實變函數(shù)》一、單項選擇題1、下列各式正確的是（CD）（A）;（B）（C）;（D）;2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是（D）（A）c(B)(C)(D)3、下列說法不正確的是（B）(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測4、設(shè)是上的有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是(A)（A）若,則(B)是可測函數(shù)（C）是可測函數(shù);（D）若,則可測5.下列說法不正確的是(C)(A)的任一領(lǐng)域內(nèi)都有中無窮多個點，則是的聚點(B)的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個中異于的點，則是的聚點(C)存在中點列，使，則是的聚點(D)內(nèi)點必是聚點6.設(shè)在上可積,則下面不成立的是(C)(A)在上可測(B)在上a.e.有限(C)在上有界(D)在上可積7.設(shè)是一列可測集，，則有（B）。（A）(B)（C）;（D）以上都不對9、設(shè)，則（B）(A)（B）(C)（D）10、設(shè)是上有理點全體，則下列各式不成立的是（D）（A）(B)(C)=[0，1](D)11、下列說法不正確的是（C）(A)若，則（B）有限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集(C)可測集的任何子集都可測（D）凡開集、閉集皆可測12、設(shè)是一列可測集，，且，則有（A）（A）(B)（C）;（D）以上都不對13、設(shè)f(x)是上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（B）(A)在上的一致連續(xù)函數(shù)(B)在上處處可導(dǎo)（C）在上L可積(D)是有界變差函數(shù)14．設(shè)是兩集合，則=（C）(A)(B)(C)(D)16.下列斷言(B)是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；17.下列斷言中(C)是錯誤的。（A）零測集是可測集；（B）可數(shù)個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集；19、設(shè),,若,則稱是的聚點.20設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,是上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,有,則稱在上依測度收斂于.三、判斷1、設(shè)，若E是稠密集，則是無處稠密集。F2、若，則一定是可數(shù)集.F3、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)。F4．設(shè)在可測集上可積分，若，則F5、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.T6、若，則F7、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)F8．設(shè)在可測集上可積分，若，則F9、任意多個開集之交集仍為開集F10、若，則一定是可數(shù)集.F11、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。F12、由于，故不存在使之間對應(yīng)的映射。F13、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。T14、若可測,且,則.F15、設(shè)為點集,,則是的外點.F16、點集為閉集.F17、任意多個閉集的并集是閉集.F四、解答題1、設(shè)，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集，因為是有界可測函數(shù)，在上是可積的因為與相等，進(jìn)一步，考生答題不得超過此線考生答題不得超過此線2、求解：設(shè)，則易知當(dāng)時，又因，()，所以當(dāng)時，從而使得但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有，3、求極限解：記 則在[0,1]上連續(xù),因而在[0,1]上（R）可積和（L）可積.又且在上非負(fù)可積,故由Lebesgue控制收斂定理得4、設(shè)，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。解：在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集因為是有界可測函數(shù)，所以在上是可積的因為與相等,進(jìn)一步，5、求極限.解：設(shè)，則易知當(dāng)時，又，但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的故有6、設(shè)求出集列的上限集和下限集證明：設(shè)，則存在N，使，因此時，，即，所以屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而屬于無限多，得，又顯然得分閱卷人若有，則存在N，使任意，有，因此若時，，此不可能，所以五、證明題1、證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢為.證明：設(shè)。得分閱卷人復(fù)查人2.設(shè)使，則E是可測集。證明：對任何正整數(shù)，由條件存在開集使令，則是可測集又因?qū)σ磺姓麛?shù)成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.由知，可測。得分閱卷人復(fù)查人3.試用Fatou引理證明Levi定理.證明：設(shè)為可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù)，且在上有，令由為單調(diào)可測函數(shù)列知，可測，且于是從而…（*）另一方面，因為可測集上的一列非負(fù)可測函數(shù)，由Fatou引理知…（**）由（*）、（**）兩式即證得分閱卷人復(fù)查人4、試證證明：記中有理數(shù)全體,令顯然所以考生答題不得超過此線5、設(shè)是可測集的非負(fù)可積函數(shù)，是的可測函數(shù)，且，則也是上的可積函數(shù)。考生答題不得超過此線證明：，是可測集的非負(fù)可積函數(shù)是上的可積函數(shù).同理，也是上的可積函數(shù).是上的可積函數(shù)。得分閱卷人復(fù)查人7.設(shè)在上可積，則對任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使.證明：設(shè)由于在上有限，故由積分的絕對連續(xù)性，對任何，使令，在上利用魯津定理，存在閉集和在上的連續(xù)函數(shù)使（1）（2）時，，且所以8、設(shè),且為可測集,.根據(jù)題意,若有,證明是可測集.證明：令,則且為可測集,于是對于,都有,故,令,得到,故可測.從而可測.9.證明:證明：1、設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。P512、設(shè)在上可積，，則.P132得分閱卷人復(fù)查人3、設(shè)是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理)P944.設(shè)為E上可積函數(shù)列，.于E，且，k為常數(shù)，則在E上可積.P1