條件概率與獨立性詳解演示文稿

條件概率與獨立性詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有38頁\編于星期五\2點1（優(yōu)選）條件概率與獨立性當(dāng)前第2頁\共有38頁\編于星期五\2點2條件概率P(A)=85/100,P(B)=40/100,P(AB)=35/100,P(A|B)=35/40=P(AB)/P(B),且P(AB)≠P(A|B),P(A)≠P(A|B).定義;對于兩個事件A,B.如果P(A)>0.稱

P(B|A)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.當(dāng)前第3頁\共有38頁\編于星期五\2點3注見教材P15末的說明:當(dāng)前第4頁\共有38頁\編于星期五\2點4條件概率的計算公式如下：

例設(shè)袋中有7個黑球，3個白球，不放回摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率.若改為放回摸取，結(jié)果如何？解

設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則不放回:放回:當(dāng)前第5頁\共有38頁\編于星期五\2點5不難驗證條件概率具有以下三個基本性質(zhì)：

(1)非負性(2)規(guī)范性(3)可列可加性并由此推出條件概率的其他性質(zhì)：

當(dāng)前第6頁\共有38頁\編于星期五\2點6二、乘法公式由條件概率的定義：即若P(B)>0,則

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關(guān).乘法公式當(dāng)前第7頁\共有38頁\編于星期五\2點7設(shè)A表示某人感染禽流感病毒，B表示死亡，則P(B|A)表示在感染病毒的條件下某人死亡的概率．若該人身體好抵抗力強，則P(B|A)就比較小，否則就比較大．

P(A)表示禽流感病毒的感染率，如果衛(wèi)生部門的預(yù)防工作做得好，則它就比較小．P(AB)表示感染禽流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率.當(dāng)前第8頁\共有38頁\編于星期五\2點8例1

解當(dāng)前第9頁\共有38頁\編于星期五\2點9例2某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解記A：合格品；B：一等品，即一等品率為72%.當(dāng)前第10頁\共有38頁\編于星期五\2點10例3一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大.”后抽比先抽的確吃虧嗎？

當(dāng)前第11頁\共有38頁\編于星期五\2點11

到底誰說得對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大。”當(dāng)前第12頁\共有38頁\編于星期五\2點12用Ai表示“第i個人抽到入場券”

，i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5.則表示“第i個人未抽到入場券”.因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.由于由乘法公式

=(4/5)(1/4)

同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此=1/5.當(dāng)前第13頁\共有38頁\編于星期五\2點13這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.

=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.

繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，

所以以后在現(xiàn)實生活中需要抽簽時,大家盡可以表現(xiàn)出君子風(fēng)度,讓人家先抽,這樣做并不會失去任何機會,同時卻又表現(xiàn)了禮讓的美德.當(dāng)前第14頁\共有38頁\編于星期五\2點14例4

在空戰(zhàn)中，甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為0.2；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機未被擊落，則再進行還擊，擊落乙機的概率為0.4．求在這幾個回合中，甲機和乙機被擊落的概率分別為多少？解記Ai=“乙機在第i次被擊落”i=1,2；A=“乙機被擊落”,

B=“甲機被擊落”；顯然A１與A２不相容．且Ａ＝Ａ１＋Ａ２，由題意知

則甲機被擊落的概率為

當(dāng)前第15頁\共有38頁\編于星期五\2點15例4

在空戰(zhàn)中，甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為0.2；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機未被擊落，則再進行還擊，擊落乙機的概率為0.4．求在這幾個回合中，甲機和乙機被擊落的概率分別為多少？解乙機被擊落的概率為

當(dāng)前第16頁\共有38頁\編于星期五\2點16設(shè)有兩個事件A,B,一般來說,P(A|B)與P(A)是有差異的，但有時事件B的發(fā)生與否并不影響事件A發(fā)生的概率，即P(A|B)=P(A).

顯然P(A|B)=P(A)

這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，例如,將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)三、事件的獨立性當(dāng)前第17頁\共有38頁\編于星期五\2點17

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約,且體現(xiàn)對稱性.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.定義當(dāng)前第18頁\共有38頁\編于星期五\2點18推論1設(shè)A,B為兩個事件,P(B)>0,則A與B獨立的充分必要條件是

P(A|B)=P(A)當(dāng)前第19頁\共有38頁\編于星期五\2點19A、B獨立證明由獨立的對稱性,可得其余結(jié)論.

當(dāng)前第20頁\共有38頁\編于星期五\2點20請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即:若A、B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B相容.而P(A)≠0,P(B)≠0,故A、B不獨立.由于互不相容,P(AB)=0，即P(AB)≠P(A)P(B)獨立與互不相容的關(guān)系當(dāng)前第21頁\共有38頁\編于星期五\2點21設(shè)A、B為互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：前面我們看到獨立與互不相容的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習(xí).當(dāng)前第22頁\共有38頁\編于星期五\2點22見教材Ｐ２０的例９Ａ，Ｂ，Ｃ中任意兩個均獨立，但０．５＝Ｐ（Ｃ）≠Ｐ（Ｃ|ＡＢ）＝１表明事件Ｃ發(fā)生的概率受到其余兩個事件同時發(fā)生的影響．當(dāng)前第23頁\共有38頁\編于星期五\2點23下面來定義三個事件的獨立性.P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)定義對三個事件A,B,C，如果下列四個等式同時成立，

則稱A,B,C相互獨立.

由定義可知，三個事件相互獨立必保證兩兩獨立.但兩兩獨立不一定保證相互獨立.

當(dāng)前第24頁\共有38頁\編于星期五\2點24

推廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：等式總數(shù)為：需要說明的是，我們一般不是根據(jù)定義來判斷事件的獨立性，而是從實際問題出發(fā)，如果事件之間無甚關(guān)聯(lián)，則假定事件之間的獨立性，然后利用獨立性的公式來計算概率.

設(shè)A1,A2,…,An是

n個事件，如果對任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式則稱A1,A2,…,An為相互獨立的事件.當(dāng)前第25頁\共有38頁\編于星期五\2點25推論設(shè)n個事件Ａ１，Ａ２，Ａ3，…Ａn獨立,則他們中任何一部分換成各自的對立事件后，所得的n個事件也是相互獨立的．當(dāng)前第26頁\共有38頁\編于星期五\2點26對獨立事件，許多概率計算可得到簡化.利用事件的獨立性計算概率當(dāng)前第27頁\共有38頁\編于星期五\2點27例6三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

將三人編號為1，2，3，所求概率為記Ai={第i個人破譯出密碼}

i=1,2,3解123“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”當(dāng)前第28頁\共有38頁\編于星期五\2點28請看演示“諸葛亮和臭皮匠”當(dāng)前第29頁\共有38頁\編于星期五\2點29例7假定人群中血清帶肝炎病毒的概率為0.004，混合100個人的血清，求此血清帶肝炎病毒的概率.

解當(dāng)前第30頁\共有38頁\編于星期五\2點30（在可靠性理論中的應(yīng)用）對于一個元件或系統(tǒng)，它能正常工作的概率稱為可靠性.……當(dāng)前第31頁\共有38頁\編于星期五\2點31為了提高以上線路的可靠性，用以下兩種方法附加n個元件，比較系統(tǒng)的可靠性大小.方法一：

………方法二：

…當(dāng)前第32頁\共有38頁\編于星期五\2點32…每對并聯(lián)元件的可靠性為比較當(dāng)前第33頁\共有38頁\編于星期五\2點33課外讀物賭徒的謬誤

M：瓊斯先生和瓊斯太太有5個孩子，都是女兒.瓊斯太太：我希望我們下一個孩子不是女孩.瓊斯先生：我親愛的，在生了5個女兒之后，下一個肯定是兒子.M：瓊斯先生對嗎？M：很多玩輪盤賭的賭徒以為，他們在盤子轉(zhuǎn)過很多紅色數(shù)字之后，就會落在黑的上，他們就可以贏了.事情將是這樣進行的嗎？M：有人堅持認為，如果你在一輪擲骰子中已擲出5次兩點，你下次再擲出兩點的機會就要小于1/6了.他說得對不對呢？

當(dāng)前第34頁\共有38頁\編于星期五\2點34M：瓊斯先生和瓊斯太太第6個孩子是女孩的概率仍然是1/2。輪盤賭的下一次賭數(shù)是紅色的概率仍然是1/2.擲骰子時，下一次擲出2的概率仍然是1/6.M：為了讓問題更明朗，假定一個男孩扔硬幣，扔了5次國徽向上.這時再扔一次，國徽向上的概率還是完全與以前一樣：一半對一半，錢幣對于它過去的結(jié)果是沒有記憶的.

M：如果你對任何這類問題回答說“對”，你就陷入了所謂“賭徒的謬誤”之中.在擲骰子時，每擲一次都與以前擲出的點數(shù)完全無關(guān).當(dāng)前第35頁\共有38頁\編于星期五\2點35如果事件A的結(jié)果影響到事件B，那么就說B是“依賴”于A的.例如，你在明天穿雨衣的概率依賴于明天是否下雨的概率.在日常生活中所說的“彼此沒有關(guān)系”的事件稱為“獨立”事件.你明天穿雨衣的概率是和美國總統(tǒng)明天早餐吃雞蛋的概率無關(guān)的.大多數(shù)人很難相信一個獨立事件的概率由于某種原因會不受臨近的同類獨立事件的影響.比如，第一次世界大戰(zhàn)期間，前