債券價(jià)格波動(dòng)性

債券價(jià)格波動(dòng)性第一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券風(fēng)險(xiǎn)（1）利率風(fēng)險(xiǎn)；（2）違約風(fēng)險(xiǎn)（信用風(fēng)險(xiǎn)）；（3）通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)；（4）提前償還風(fēng)險(xiǎn)；（5）匯率風(fēng)險(xiǎn)；（6）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)。第二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券利率風(fēng)險(xiǎn)包括:價(jià)格(市場(chǎng)）風(fēng)險(xiǎn);再投資風(fēng)險(xiǎn)所有債券價(jià)格都受利率變化的影響對(duì)于高等級(jí)債券利率風(fēng)險(xiǎn)更重要本章重點(diǎn)介紹如何衡量債券價(jià)格變化的波動(dòng)性第三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)值和收益率的關(guān)系債券價(jià)格和收益率反方向變動(dòng)例子:息票率6%面值=$1,000;到期日:2009年9月15日支付日:4月15日,9月15日半年利息=(6%of$1,000)/2=$30現(xiàn)在是2002年10月15日第四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六收益率債券價(jià)格息票現(xiàn)值面值現(xiàn)值5.0%1,058.463509.73707.735.5%1,028.73344.73684.006.0%1000.00338.88661.126.5%972.24333.18639.067.0%945.40327.62617.787.5%919.45322.19597.268.0%894.37316.89577.488.5%870.12311.73558.399.0%846.65306.68539.979.5%823.97301.76522.21該債券在2002年10月15日的價(jià)值第五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格和收益率關(guān)系債券價(jià)格和收益率反方向變化$0$50$100$150$2000%2%4%6%8%10%12%14%16%收益率債券價(jià)格第六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格和到期日之間的關(guān)系隨著到期日的臨近，債券的價(jià)格趨向于面值10%Return6%Return758595105115125109876543210距到期日的年數(shù)Price第七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六到期時(shí)間影響債券價(jià)格變化臨近到期時(shí)間，債券價(jià)格趨向面值相同面值、票面利率、收益率，到期時(shí)間越短則債券溢價(jià)或者折價(jià)的幅度越小價(jià)格=本金現(xiàn)值+利息現(xiàn)值臨近到期日，息票支付減少，息票現(xiàn)值降低，本金現(xiàn)值增加。折價(jià)債券本金現(xiàn)值增加超過(guò)息票利率的減少，價(jià)格上升；溢價(jià)債券相反，價(jià)格下降。第八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六面值100，票面利率8%，一年支付一次，下次在一年之后，10年后到期。收益率為6%情形，溢價(jià)債券：收益率為10%情形，折價(jià)債券：剩余期限10510（到期日）價(jià)格114.72108.42101.89100剩余期限10510（到期日）價(jià)格87.7192.4298.18100第九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn)

1、價(jià)格的利率敏感性與債券的票面利率具有反向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，低票面利率債券比高票面利率債券價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。

2、價(jià)格的利率敏感性與債券的到期時(shí)間長(zhǎng)短具有正向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，長(zhǎng)期債券比短期債券價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。

3、隨著到期時(shí)間的增長(zhǎng)，價(jià)格的利率敏感性增加，但是增加得越來(lái)越慢。第十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn)（續(xù)）4、收益率上升導(dǎo)致價(jià)格下跌的幅度比等規(guī)模的收益率降低帶來(lái)的價(jià)格上漲的幅度小，這被稱為價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性。5、價(jià)格的利率敏感性與債券的初始收益率水平具有反向關(guān)系。其他因素相同時(shí)，債券的初始收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。

第十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六價(jià)格收益率價(jià)格和收益率關(guān)系第十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六ExamplesBondCouponMaturityInitialYTMA10%5years9%B10%20years9%C4%20years9%D4%20years5%ABCD價(jià)格的利率敏感性比較價(jià)格0第十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六票面利率大小與債券價(jià)格波動(dòng)A、B兩種債券，半年付息一次，下次再半年之后，資料如下：收益率上升到10%，新價(jià)格和變化率AB票面利率（%）810面值100100信用評(píng)級(jí)AAAA到期時(shí)間1010收益率（%）88價(jià)格100.00113.59價(jià)格87.54100價(jià)格波動(dòng)（%）-12.46-11.96第十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六票面利率的大小與利率風(fēng)險(xiǎn)其他因素相同，票面利率越低，利率風(fēng)險(xiǎn)越大.零息債券的利率風(fēng)險(xiǎn)最大！$0$50$100$150$2001%3%5%7%9%11%13%15%RatePrice10%8%第十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六期限越長(zhǎng)的債券價(jià)格的利率敏感性越大

ex. A B C 票面利息($) 80 80 80 面值 100 100 100 Moody'sRating Aa Aa Aa 期限 5yrs. 10yrs. 15yrs. YTM 8% 8% 8% 價(jià)格 100 100 100收益率增加到10% 新價(jià)格: 92.28 87.54 84.63 %Pricechange: -7.72% -12.46-15.37如果是無(wú)限期債券，則變化更大。假設(shè)債券D除了期限是無(wú)窮之外都與上述債券相同，則收益率從8%到10%時(shí)，價(jià)格由100變?yōu)?0，下降20%！期限越長(zhǎng)，債券價(jià)格對(duì)利率變化越敏感。第十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六隨著到期時(shí)間的增長(zhǎng)，價(jià)格的利率敏感性以遞減的速度增加上述A、B、C三種債券收益率增加2個(gè)百分點(diǎn)，價(jià)格下降百分比分別為7.72、12.46和15.37個(gè)百分點(diǎn)。這三種債券的到期時(shí)間依次遞增5年B比A波動(dòng)大4.74個(gè)百分點(diǎn)，而C僅比B波動(dòng)大2.91個(gè)百分點(diǎn)利率敏感性增加速度隨著到期時(shí)間的增長(zhǎng)而遞減第十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券期限長(zhǎng)度和利率風(fēng)險(xiǎn)債券期限越長(zhǎng)，利率風(fēng)險(xiǎn)越大$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice10Year20Year5Year第十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性收益率的下降比上升對(duì)債券價(jià)格影響更大上例中，收益率從8%降到6%時(shí)，A、B和C三債券的價(jià)格分別變?yōu)?08.53、114.88和119.60，變動(dòng)百分比分別為8.53%、14.88%和19.60%。如下表所示從上表中可以看出，收益率的變動(dòng)對(duì)債券價(jià)格的影響是不對(duì)稱的。6%（降低）8.53%14.88%19.60%10%（升高）7.72%12.46%15.37%第十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六初始收益率與債券價(jià)格波動(dòng)其他因素不變時(shí)，初始收益率越低，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)：市場(chǎng)利率水平越低時(shí)，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)到期收益率水平越低，債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)。ex. A B 息票率（%） 8 8 面值 100 100 信用評(píng)級(jí) Aa Aa 到期時(shí)間 10 10 YTM（%） 8 10 價(jià)格 100 87.54第二十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六收益率上升：AB收益率上升一個(gè)百分點(diǎn)-6.50%-6.25%初始收益率8%10%第二十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六簡(jiǎn)單價(jià)格波動(dòng)性衡量基點(diǎn)價(jià)格值：收益率變化0.01%，債券價(jià)格變化量?jī)r(jià)格變化的絕對(duì)值相對(duì)值稱作價(jià)格變動(dòng)百分比價(jià)格變動(dòng)百分比=基點(diǎn)價(jià)格值/初始價(jià)格第二十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六價(jià)格變化較小情形 A B C 票面利息($) 80 80 80 面值 100 100 100 Moody'sRating Aa Aa Aa 期限 5yrs. 10yrs. 15yrs. YTM 8% 8% 8% 價(jià)格 100 100 100ABC價(jià)格+1基點(diǎn)0.04050.06790.0864價(jià)格-1基點(diǎn)0.04060.06800.0865第二十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六價(jià)格變化較大情形ABC價(jià)格+10基點(diǎn)0.40450.67650.8594價(jià)格-10基點(diǎn)0.40660.68250.8699ABC價(jià)格+1基點(diǎn)0.04050.06790.0864價(jià)格-1基點(diǎn)0.04060.06800.0865ABC價(jià)格+100基點(diǎn)3.95646.50408.1444價(jià)格-100基點(diǎn)4.15837.10629.1960第二十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券組合基點(diǎn)價(jià)格值先得到每一種債券基點(diǎn)價(jià)格值，然后加總ABC每張債券基點(diǎn)價(jià)格值0.04060.06800.0865持有量1003001000每種債券基點(diǎn)價(jià)格值4.0620.4086.50債券組合基點(diǎn)價(jià)格值110.96第二十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六價(jià)格變化的收益值價(jià)格變化一定數(shù)量時(shí)，收益率的變動(dòng)值教材5-10。第二十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六期限是影響利率風(fēng)險(xiǎn)的主要因素，但不是唯一的因素久期（Duration）可以用來(lái)度量債券價(jià)格對(duì)利率的敏感性類似于彈性的概念，久期等于價(jià)格變化百分比除以收益率變化百分比：這可以通過(guò)現(xiàn)值公式推導(dǎo)得到知道久期可以計(jì)算一定的收益率百分比導(dǎo)致的價(jià)格變化百分比：Duration1第二十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六推導(dǎo)久期公式第二十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期也叫麥考利久期（Macaulay）現(xiàn)金流時(shí)間的加權(quán)平均權(quán)重是每次現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總現(xiàn)金流（價(jià)格）的比重所有現(xiàn)金流的平均到期時(shí)間才是衡量普通債券利率敏感性的準(zhǔn)確指標(biāo)第二十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六除零息債券之外，久期小于期限零息債券久期等于期限特殊債券久期大于期限，原因是對(duì)于利率變化非常敏感本質(zhì)上是對(duì)利率敏感性的度量，而不是一種期限第三十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期的計(jì)算方法根據(jù)定義，不同情況具體計(jì)算，注意簡(jiǎn)化公式，注意單位第三十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期重要的原因度量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確指標(biāo)可用于比較不同息票率、收益率和期限的債券的利率風(fēng)險(xiǎn)度量債券的有效期限（每一個(gè)現(xiàn)金流的到期期限的加權(quán)平均）是債券組合管理的基本概念，尤其是在免疫策略的應(yīng)用中第三十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期到期期限不能很好地衡量債券的實(shí)際期限需要考慮利息額的大小計(jì)算平均值:“有效期限”(Macaulay)久期:現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的加權(quán)平均值,權(quán)重為各現(xiàn)金流的現(xiàn)值占所有現(xiàn)金流現(xiàn)值總和的比重:

第三十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六Duration:Calculation第三十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期計(jì)算例子例5-11面值100，息票率8%，三年期限，半年一次，下次半年之后。到期收益率為10%。注意單位是半年期數(shù)現(xiàn)金流現(xiàn)值權(quán)重時(shí)間權(quán)重乘積143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.01388543.13410.03300.1650610477.90540.81764.9056總計(jì)94.924.315.4351第三十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例子:久期計(jì)算面值100，3年期零息債券，收益率10%期數(shù)現(xiàn)金流現(xiàn)值權(quán)重時(shí)間權(quán)重乘積1-50000610074.621516總計(jì)74.621516第三十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六簡(jiǎn)化公式第三十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六簡(jiǎn)化公式第三十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期規(guī)則Rule1其他因素不變，票面利率越低，息票債券的久期越長(zhǎng)：票面利率越高，早期現(xiàn)金流現(xiàn)值越大，權(quán)重越高，因此時(shí)間加權(quán)平均值也就是久期越低。就是說(shuō)短時(shí)間權(quán)重大，因此均值低。與前面票面利率越低利率敏感性越高一致Rule2到期收益率越低，久期越長(zhǎng)：后期現(xiàn)金流現(xiàn)值大，權(quán)重高。這與到期收益率越低，利率敏感性越高是一致的第三十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六Rule3到期時(shí)間越長(zhǎng)，久期越長(zhǎng)。這與到期時(shí)間越長(zhǎng)，利率敏感性越高一致久期并不一定總是隨著到期時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。收益率很高的債券的久期可能會(huì)隨著到期時(shí)間的增長(zhǎng)而減短息票債券久期的增長(zhǎng)速度小于到期時(shí)間增長(zhǎng)速度。到期時(shí)間增長(zhǎng)1年，久期增長(zhǎng)小于1年零息債券二者相等第四十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六浮動(dòng)利率債券的久期剛剛支付完利息的每個(gè)利息支付日，浮動(dòng)利率債券價(jià)值都等于面值下一個(gè)利息支付日，價(jià)值等于面值加上利息等同于零息債券，該零息債券的期限等于重新設(shè)定票面利率所經(jīng)歷的期限。如果浮動(dòng)利率的票面利率每年重新設(shè)定一次，不管浮動(dòng)利率債券本身期限多久，久期都是一年第四十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期與價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系與債券的到期時(shí)間相比久期能夠更準(zhǔn)確度量?jī)r(jià)格對(duì)利率的敏感性價(jià)格的利率敏感性對(duì)于債券組合利率風(fēng)險(xiǎn)管理是非常重要的到期時(shí)間相同的兩個(gè)債券如果票面利率不同顯然也會(huì)具有不同的利率敏感性然而，久期相等時(shí)，不論票面利率如何，兩個(gè)債券的利率敏感性都是相通的久期同時(shí)考慮了票面利率和到期時(shí)間第四十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六債券價(jià)格與久期成比例久期與價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系令D*為修正久期，則債卷價(jià)格和久期之間的關(guān)系為：Example:y=+100basispoints,D*=5P/P=-5x0.01=-0.05or–5%第四十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5-13面值100，息票率8%，三年期限，半年一次，下次半年之后。到期收益率為10%。久期是2.7176年。還有一種面值為100元，據(jù)到期日還有2.7176年的零息債券，久期也是2.7176年。比較兩者的利率敏感性久期相等，利率敏感性相等第四十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六兩種方法比較第四十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5-14利用久期和價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系，計(jì)算例5-7中債券A在收益率變動(dòng)1個(gè)、100個(gè)基點(diǎn)時(shí)的價(jià)格波動(dòng)面值100，息票率8%，到期時(shí)間5年，收益率8%，利用平價(jià)債券久期公式可得久期為8.4353（半年），修正久期為8.1109（半年）第四十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六結(jié)果對(duì)比收益率變動(dòng)較小，一致變動(dòng)較大，不一致久期計(jì)算結(jié)果對(duì)稱，線性近似，誤差隨著收益率變動(dòng)增加而增加看圖5-8，pp106第四十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六資產(chǎn)組合的久期組合的久期是組合中各個(gè)債券的久期加權(quán)平均，權(quán)重是各個(gè)債券的市場(chǎng)價(jià)值與組合總市值的比例面值票面利率到期時(shí)間市場(chǎng)價(jià)格到期收益率A10006%6951.687%B200005.5%5200005.5%C100007.5%49831.688%第四十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六首先計(jì)算各個(gè)債券的久期和修正久期然后用各個(gè)債券市場(chǎng)價(jià)值所占組合市場(chǎng)價(jià)值之比例作為權(quán)重計(jì)算組合的修正久期第四十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期缺口（durationgap）分析第五十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凈資產(chǎn)百分比變化：%ΔNW≈-DURgapⅹΔi/（1+i）

一家商業(yè)銀行的資產(chǎn)價(jià)值為100，負(fù)債價(jià)值為95，當(dāng)利率從10%上升到15%時(shí)，這家銀行的凈資產(chǎn)價(jià)值有何變化（資產(chǎn)負(fù)債久期分別是2.7和1.03）？DURgap=2.7-（95/100*1.03）=1.72%ΔNW≈-1.72ⅹ0.05/（1+0.10）=-7.8%第五十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期和凸性PriceDurationPricingErrorfromconvexity第五十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六Taylorexpansion第五十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性可以用來(lái)修正用久期計(jì)算價(jià)格波動(dòng)帶來(lái)的誤差對(duì)基于久期的價(jià)格變化進(jìn)行修正：凸性定義:CFt

是t期的現(xiàn)金流.第五十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性(1)久期是對(duì)價(jià)格收益率曲線上某一點(diǎn)斜率的度量–一階導(dǎo)數(shù)凸性是對(duì)價(jià)格收益率曲線上斜率變化的度量—二階導(dǎo)數(shù).

凸性度量?jī)r(jià)格收益率曲線的彎曲程度第五十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性(2)性質(zhì):凸性越大,給定收益率變化時(shí)，價(jià)格增加越大，而價(jià)格減小越不明顯第五十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性(3)第五十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性(3)第五十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六凸性的計(jì)算附息債券的凸性另一種計(jì)算公式:第五十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六Convexity(5)Example:10年期，9%息票率，面值售價(jià)，半年付息一次，半年期凸性是225.43，年化凸性為56.366:第六十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5-16：面值100，r=8%,3年，半年一次，y=10%t（期數(shù)）現(xiàn)金流現(xiàn)值權(quán)重t*(t+1)*權(quán)重143.80950.04010.0802243.62810.03820.2292343.45540.03640.4368443.29080.03470.6940543.13410.03300.9900610477.60640.817634.3392合計(jì)94.9243136.7694半年期凸性=36.7694/1.052=33.3509年化=33.3509/22=8.3377第六十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5-17F=1000，r=10%，5年，y=14%，久期和凸性？久期時(shí)間現(xiàn)金流現(xiàn)值權(quán)重t*權(quán)重t(t+1)t(t+1)*權(quán)重110087.71930.10170.101720.2034210076.94680.08920.178460.5352310067.49720.07820.2346120.9384410059.20800.06860.2744201.372051100571.30550.66223.31103019.8660862.676814.100122.9150D=4.1001C=22.9150/(1+14%)2=17.6323第六十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六久期和凸性與價(jià)格波動(dòng)泰勒展開(kāi)，忽略高階項(xiàng)收益率較大時(shí)需要同時(shí)考慮久期和凸性凸性非負(fù)，因此相對(duì)于考慮凸性情形，在利率降低時(shí)，不考慮凸性會(huì)低估價(jià)格上升幅度；利率升高時(shí)，又會(huì)高估。凸性越大，對(duì)投資者越有利：收益率降低時(shí)價(jià)格上漲幅度越大，升高時(shí)價(jià)格下降幅度越小第六十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期六考慮凸性，重新計(jì)算例5-7中債券A收益率變動(dòng)1、100個(gè)基點(diǎn)引起的價(jià)格變動(dòng)+1個(gè)基點(diǎn)-1個(gè)基點(diǎn)+100個(gè)基點(diǎn)-100個(gè)基點(diǎn)久期-0.04060.0406-4.05554.0555久期+凸性-0.040