福建省漳州市過塘中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

福建省漳州市過塘中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知為平面上的定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則DABC是（

）（A）以AB為底邊的等腰三角形 （B）以BC為底邊的等腰三角形（C）以AB為斜邊的直角三角形 （D）以BC為斜邊的直角三角形參考答案：略3.已知非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：D略4.設(shè)，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】先解不等式，再根據(jù)兩個(gè)解集包含關(guān)系得結(jié)果.【詳解】,又，所以“”是“”的充分不必要條件，選A.【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．5.設(shè)函數(shù),則（）A．

B．3

C．

D．參考答案：D6.設(shè)三數(shù)成等比數(shù)列，而分別為和的等差中項(xiàng)，則（

）

A．

B．

C．

D．不確定參考答案：B

解析：，

7.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)有2個(gè)。,若點(diǎn)不在短軸的端點(diǎn)時(shí)，要使為等腰三角形，則有或。此時(shí)。所以有，即，所以，即，又當(dāng)點(diǎn)P不在短軸上，所以，即，所以。所以橢圓的離心率滿足且，即，所以選D.8.已知命題p：若a，b是實(shí)數(shù)，則a＞b是a2＞b2的充分不必要條件；命題q：“?x∈R，x2+2＞3x”的否定是“?x∈R，x2+2＜3x”，則下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q參考答案：D【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假．【分析】分別判斷出p，q的真假，再判斷出復(fù)合命題真假即可．【解答】解：命題p：若a，b是實(shí)數(shù)，則a＞b是a2＞b2的充分不必要條件；是假命題；比如：a=1，b=﹣2，“?x∈R，x2+2＞3x”的否定是“?x∈R，x2+2≤3x”，故命題q：“?x∈R，x2+2＞3x”的否定是“?x∈R，x2+2＜3x”是假命題，故￢p∧￢q是真命題，故選：D．9.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)的過程中，由到時(shí)，不等式的左邊。。。。。。。。。。。。。。。（）A．增加了一項(xiàng)

B．增加了兩項(xiàng)C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)參考答案：C10.已知函數(shù)則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)對(duì)任意的x∈[a，a+l]，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是_________.參考答案：12.定義在R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a＜﹣【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出a，b，c的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集為（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集為（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的兩個(gè)根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），則方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等價(jià)為3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，即f（x）=±1．各有3個(gè)不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴當(dāng)f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=﹣2a，當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，即f（x）=±1各有3個(gè)不同的根，此時(shí)滿足f極?。ī?）＜1＜f極大（1），f極?。ī?）＜﹣1＜f極大（1），即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，即，且，解得即a且a，故答案為：a．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的突破點(diǎn)．13.已知，，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：向量在向量方向上的投影為．14.已知

參考答案：1.15.三名學(xué)生兩位老師站成一排，則老師站在一起的概率為

。

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式三名學(xué)生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起，共有種方法，∴老師站在一起的概率為．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】求出三名學(xué)生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起的方法，即可求出概率．

16.定義在R上的奇函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2x﹣1，則f（log23）的值為．參考答案：﹣

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化f（log23）=﹣f（log2），再由已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，可得f（log23）=﹣f（﹣log23）=﹣f（2﹣log23）=﹣f（log2），由當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2x﹣1，可得f（log2）=2﹣1=﹣1=，則f（log23）=﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的運(yùn)用，注意定義和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.參考答案：-3<m<5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題14分）

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

參考答案：(Ⅰ)證明：取中點(diǎn)為，連.……1分∵是的中點(diǎn)

∴是的中位線,∴.

∵是中點(diǎn)且是菱形，∴,∴.∴

∴四邊形是平行四邊形.

從而.

……3分

∵平面,平面,

∴

∥平面

………………4分

………………8分

∵平面

∴平面⊥平面

.

………………9分

說明：(Ⅰ)、（Ⅱ）也可用向量法證.

……10分由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一個(gè)法向量…11分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由,且由

在以上二式中令，則得，，∴.……12分

設(shè)平面與平面所成銳角為故平面與平面所成的銳角為.

…………………14分19.設(shè)分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于4.⑴寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；⑵過點(diǎn)P（1，）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)D、E，若DP=PE，求直線DE的方程;⑶過點(diǎn)Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，若△OMN面積取得最大，求直線MN的方程.參考答案：.⑴橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2.；又點(diǎn)A(1,)在橢圓上，因此得b2=1，于是c2=3；所以橢圓C的方程為，⑵∵P在橢圓內(nèi)，∴直線DE與橢圓相交，∴設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2)，代入橢圓C的方程得

x12+4y12-4=0,x22+4y22-4=0,相減得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率為k=-1∴DE方程為y-1=-1(x-),即4x+4y=5;(3)直線MN不與y軸垂直，∴設(shè)MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程得（m2+4)y2+2my-3=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=-,且△>0成立.又S△OMN=|y1-y2|=×=，設(shè)t=≥,則S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0對(duì)t≥恒成立，∴t=時(shí)t+取得最小，S△OMN最大，此時(shí)m=0,∴MN方程為x=1

略20.（12分）甲、乙兩位同學(xué)從A、B、C、D共4所高校中，任選兩所參加自主招生考試（并且只能選兩所高校），但同學(xué)甲特別喜歡A高校，他除選A高校外，再在余下的3所中隨機(jī)選1所；同學(xué)乙對(duì)4所高校沒有偏愛，在4所高校中隨機(jī)選2所．（1）求乙同學(xué)選中D高校的概率；（2）求甲、乙兩名同學(xué)恰有一人選中D高校的概率．參考答案：21.如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與弦的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若四點(diǎn)共圓，且，求.參考答案：(1)∵的平分線與圓交于點(diǎn)∴,∵,∴,∴,∴.(2)因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓,所以,由(1)知,,所以.設(shè),因?yàn)?所以,所以,在等腰三角形中,,則,所以.22.已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分別是棱AB、PC的中點(diǎn)，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求證：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若點(diǎn)Q在線段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，從而PB⊥AD，由此能證明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中點(diǎn)M，連結(jié)RM，SM，由已知推導(dǎo)出平面PAD∥平面SMR，由此能證明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q為原點(diǎn)，QP為x軸，QB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB?平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB?平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②證明：取PB中點(diǎn)M，連結(jié)RM，SM，∵R、S分別是棱AB、PC的中點(diǎn)，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS?平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得