2023年高二數(shù)學第二學期期末模擬試卷及答案（三）（理科）

2023年高二數(shù)學第二學期期末模擬試卷及答案(三)(理科)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題

給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.

1.已知集合M={X|X2>4},N={X|1<X<3},則NA(CRM)=()

A.{x-2WxVl}B.{x|-2WxW2}C.{x|lVxW2}D.{x|x

<2}

_a+3i/匚

2.若復(fù)數(shù)z在行(a￡R)為純虛數(shù)，則實數(shù)a=()

A.-6B.-2C.2D.6

3.下列說法正確的是()

A."xVl〃是“Iog2(x+1)Vl〃的充分不必要條件

B.命題“Vx>0,2x>l〃的否定是，勺xoW命2'。忘1”

C.命題“若aWb,則ac2Wbc2〃的逆命題是真命題

D.命題“若a+bW5,則a#2或bW3"的逆否命題為真命題

'x+y>l

4.若x,y滿足mx=<0且z=3x-y的最大值為2,則實數(shù)m的值

3x-2y+2》0

為()

19

A.專B.卷C.1D.2

5.已知在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=1,AB=?,AB1BC,平面

PABJ_平面ABC,若三棱錐的頂點在同一球面上，則該球的表面積為

()

A.生；B.3nC.絲^D.2R

23

6.設(shè)隨機變量1服從正態(tài)分布N(1,a2),若P(^<2)=0.8,則P

(0<^<1)的值為()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S的值是()

8.在平面直角坐標系中，已知點P(3,0)在圓C：(x-m)2+(y

-2)2=40內(nèi)，動直線AB過點P,且交圓C于A,B兩點，若4ABC

面積的最大值為20,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.-3(mW-1或7Wm<9B.-3WmW-1或7WmW9

C.-3<mV-1或7Vm<9D.-3VmV-1或7WmV9

9.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),

當x￡［0,1］時，f(x)=x3.則函數(shù)g(x)=：cos(nx)|-f(x)在

區(qū)間［1，爭上的所有零點的和為()

A.7B.6C.3D.2

10.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,

5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總

數(shù)為()

A.60B.72C.84D.96

x22

11.設(shè)雙曲線C：立■-3=l(a>0,b>0)的左右焦點分別為Fl,F2,

若在曲線C的右支上存在點P,使得△PFR的內(nèi)切圓半徑為a,圓心

記為M,又△PF1F2的重心為G滿足MG〃FIF2,則雙曲線C的離心

率為()

近MJR

A.vB.vc.2D.v

2

12.已知函數(shù)f(x)=ax+elnx與g(x)=―\—的圖象有三個不同的

x-elnx

公共點，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.a<-eB.a>lC.a>eD.aV-3或a>l

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(x+24+l”的展開式中，x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)

14.已知Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和,且S3=l,s4=ll,an+3=2an(nG

N*),貝！JS3n+l=.

兀兀

15.將函數(shù)f(x)=2cos(2x-%~)的圖象向左平移7個單位得到g

(x)的圖象，記函數(shù)g(x)在區(qū)間［3t+?。輧?nèi)的最大值為Mt,最

小值為mt,記ht=Mt-mt,若1￡［子，-y］,則函數(shù)h(t)的最小值

為?

16.已知點A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面區(qū)域P是由所

有滿足即=入族+H菽(2〈入Wm,2<nWn)的點M組成的區(qū)域，若區(qū)

域P的面積為6,則m+n的最小值為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明

或推理、驗算過程.

17.［已知銳角三角形ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c滿

足2c+5如(B-A)=2sin2A.

(I)求言

(II)若AB是最大邊，求cosC的取值范圍.

2

18.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足2Sn-

22

(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0(n￡N*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式;

(2)設(shè)bn=梟，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

19.如圖，已知等邊aABC中，E,F分別為AB,AC邊的中點，N為

BC邊上一點，且CN】BC,將4AEF沿EF折到aAEF的位置，使平

面A'EFJ_平面EF-CB,M為EF中點.

(1)求證：平面A，MNJ_平面ABF；

(2)求二面角E-AZF-B的余弦值.

20.某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家

進場試銷10天.兩個廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返

利70元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元；乙廠家無固定返利，

賣出40件以內(nèi)(含40件)的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利4元，超出

40件的部分每件返利6元.經(jīng)統(tǒng)計，兩個廠家的試銷情況莖葉圖如

求這兩天的銷售量都大

(口)若將頻率視作概率，回答以下問題:

(i)記乙廠家的日返利額為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學

期望;

(ii)商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返

利額的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為商場作出選擇，并說明

理由.

21.已知兩點A(-2,0),B(2,0),直線AM、BM相交于點M,

且這兩條直線的斜率之積為總

(I)求點M的軌跡方程；

(H)記點M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點P的橫坐

標為1,直線PE、PF與圓(x-1)2+y2=r2(0<r<7)相切于點E、F,

又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.求△OQR的面積的最大

值(其中點。為坐標原點).

22.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-2ax+l(a為常數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性；

(2)若存在x°￡(0,1],使得對任意的a￡(-2,0],不等式2mea

(a+1)+f(xo)>a2+2a+4(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))都成立，求

實數(shù)m的取值范圍.

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題

給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.

1.已知集合M={X|X2>4},N={X|1<X<3},則NG(CRM)=()

A.{x-2WxVl}B.{x|-2WxW2}C.{x|l<x^2}D.{x|x

<2}

【考點】1H：交、并、補集的混合運算.

【分析】先求解一元二次不等式化簡集合M,求出[RM,則([RM)

交N的答案可求.

【解答]解：M={X|X2>4}={X|X<-2,或x>2},

.*.CRM={X,-2WxW2},

VN={xl<x<3},

(CRM)nN={x|lVxW2},

故選：c

2.若復(fù)數(shù)爵(a￡R)為純虛數(shù)，則實數(shù)a=()

A.-6B.-2C.2D.6

【考點】A2：復(fù)數(shù)的基本概念.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.

?他奧、々刀后痢ra+3i(a+3i)a+63-2a.斗”十庠，4

【斛口】解：復(fù)數(shù)Z=i+2i=(i+2i)(l-2i)=5+5I為純虛數(shù)，

?a+63~~2a.

??5=0'-5-*0，

則實數(shù)a=-6.

故選：A.

3.下列說法正確的是()

A."xVI"是Tog?(x+1)VI”的充分不必要條件

B.命題“Vx>0,2x>l”的否定是，勺xoWO,

C.命題“若aWb,則ac2Wbc2〃的逆命題是真命題

D.命題“若a+bW5,則aW2或bW3"的逆否命題為真命題

【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】xVl時，不能得出log2(x+1)<1,判斷充分性不成立，A

錯誤；

寫出命題，x>0,2x>l〃的否定即可判斷B錯誤；

寫出命題“若aWb,則ac2〈bc2"的逆命題并判斷C命題錯誤；

寫出命題的逆否命題并判斷它的真假性，得D正確.

【解答】解：對于A,xVl時，x+l<2,不能得出x+l>0,

...不能得出Iog2(x+1)<1,充分性不成立，A錯誤；

對于B,命題“Vx>0,2x>l"的否定是：

X

?3x0>0,2°<P,B錯誤；

對于C,命題“若aWb,則ac2Wbc2"的逆命題是：

“若ac2Wbc2,則aWb"是假命題，如c=0時,命題不成立;

對于D,命題“若a+bW5,則aW2或bW3”的逆否命題是:

“若a=2且b=3,則a+b=5”是真命題，D正確.

故選：D為真命題.

'x+y>l

4.若x,y滿足卜且z=3x-y的最大值為2,則實數(shù)m的值

（3x-2y+2>0

為（）

12

A.yB.yC.1D.2

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，

數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)

求得m的值.

x+y〉l

【解答】解:由約束條件卜作出可行域如圖，

z=3x-y的最大值為2,

rruf3x-2y+2=0,/、

聯(lián)立q,解得A(2,4),

{3x-y=29

化目標函數(shù)z=3x-y為y=3x-z,

由圖可知,當直線mx-y=0必須過A,可得2m-4=0,

解得:m=2.

故選：D.

5.已知在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=1,AB='，AB1BC,平面

PABJ_平面ABC,若三棱錐的頂點在同一球面上，則該球的表面積為

()

V3冗逐兀

A.--B.3nC.-o-D.2n

40

【考點】LR：球內(nèi)接多面體；LG：球的體積和表面積.

【分析】求出P到平面ABC的距離，AC為截面圓的直徑，由勾股定

理可得fV=(冬2+d2=(j)2+(乎-d)2,求出R,即可求出球的

表面積.

【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=?,

設(shè)球心到平面ABC的距離為d,球的半徑為R,

V2

?.?PA=PB=1,AB=,APAIPB,

?.?平面PAB_L平面ABC,「.P到平面ABC的距離為孚.

由勾股定理可得R2=(多2+d2=(1)2+(乎-d)2,

..d=0,R2=w，

.,?球的表面積為4nR2=3n.

故選：B

6.設(shè)隨機變量1服從正態(tài)分布N(1,F),若p(32)=0.8,則P

(0<^<1)的值為()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【分析】根據(jù)隨機變量￡服從正態(tài)分布N(1,。2),看出這組數(shù)據(jù)對

應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸x=l,根據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到P(O<[<1)

=1p(0<^<2),得到結(jié)果.

【解答】解：:?隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,o2),

."I,得對稱軸是x=l.

VP(￡V2)=0.8,

AP(少2)=P(￡V0)=0.2,

；.P(0<^<2)=0.6

AP(0<^<l)=0.3.

故選：C.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S的值是()

開始

A.2B.-yC.-3D.y

【考點】EF：程序框圖.

【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順

序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并輸出滿足條件i，2016時

的S值，模擬程序的運行結(jié)果，即可得到答案.

【解答】解：模擬程序的運行，可得：

s=2,i=l；

1+2

滿足條件W2016,執(zhí)行循環(huán)體,=-3,i=2.

1-3

滿足條件忘2016,執(zhí)行循環(huán)體,s=l+3i=3；

1+（蔣）1

s=——i=4.

滿足條件W2016,執(zhí)行循環(huán)體,?）3，

一3

滿足條件W2016,執(zhí)行循環(huán)體，s=F=2,i=5；

3

觀察規(guī)律可知：s出現(xiàn)周期為4,

當1=2017=4X504+10^,結(jié)束循環(huán)輸出S,即輸出的s=2.

故選：A.

8.在平面直角坐標系中，已知點P(3,0)在圓C：(x-m)2+(y

-2)2=40內(nèi)，動直線AB過點P,且交圓C于A,B兩點，若4ABC

面積的最大值為20,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.-3VmW-1或7Wm<9B.-3WmW-1或7WmW9

C.-3<mV-1或7Vm<9D.-3<mV-1或7WmV9

【考點】J9:直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)圓的標準方程得到圓心坐標和半徑，利用三角形面積的

最大值，確定直線的位置，利用直線和方程的位置關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：圓C：(x-m)2+(y-2)2=40,圓心C(m,2),半徑

r=2,

SAABC=-2r2sinZACB=20sinZACB,

.,.當NACB=90時S取最大值20,

此時AABC為等腰直角三角形，AB=?r=4泥，

貝IJC至I」AB距離=24句.?.2娓WPCV2司，

即盧4(3-m)2+22<2面,

(m-3)2+4<40,即16W(m-3)2<36,

-3VmW-1或7Wm<9,

故選：A

9.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),

當x￡［0,1］時，f(x)=x3.則函數(shù)g(x)=1cos(nx)|-f(x)在

區(qū)間［-右1秘R］上的所有零點的和為()

A.7B.6C.3D.2

【考點】52：函數(shù)零點的判定定理.

1R

【分析】根據(jù)f(X)的對稱性和奇偶性可知f(x)在［-右為上共

有3條對稱軸，x=0,x=l,x=2,根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可知y=1cos

i5

(nx)也關(guān)于x=0,x=l,x=2對稱，故而g(x)在［-于句上3條

對稱軸,根據(jù)f(x)和y=|cos(nx)|在［0,1］上的函數(shù)圖象，判斷

g(X)在［u，為上的零點分布情況，利用函數(shù)的對稱性得出零點

之和.

【解答】解：Tf(x)=f(2-x),.,.f(x)關(guān)于x=l對稱，

,:f(-x)=f(x),.*.f(x)根與x=0對稱，

Vf(x)=f(2-x)=f(x-2),/.f(x)=f(x+2),

.,.f(X)是以2為周期的函數(shù)，

1R

Af(x)在［-0旬上共有3條對稱軸，分別為x=0,x=l,x=2,

又y=|cos(nx)關(guān)于x=0,x=l,x=2對稱，

x=0,x=l,x=2為g(x)的對稱軸.

作出y=|cos(nx)|和y=x3在［0,1］上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知g(x)在(0,1)和弓，1)上各有1個零點.

15

又g(1)=0,，g(x)在［-0X上共有7個零點,

設(shè)這7個零點從小到大依次為XI,X2,X3,...X6，X7.

則Xi,X2關(guān)于X=0對稱，X3,X5關(guān)于X=1對稱，X4=l.X6,X7關(guān)于X=2

對稱.

.,.Xi+X2=0,X3+X5=2,X6+X7=4,

XI+X2+X3+X4+X5+X6+X7=7.

故選：A.

10.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，

5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總

數(shù)為（)

A.60B.72C.84D.96

【考點】D8：排列、組合的實際應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與

小明相鄰且父母不相鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父

母相鄰，③、小明的父母都與小明相鄰，分別求出每一種情況下的排

法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：

①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時，

先在其父母中選一人與小明相鄰，有CP=2種情況，

2

將小明與選出的家長看成一個整體，考慮其順序有A2=2種情況，

當父母不相鄰時，需要將爺爺奶奶進行全排列，將整體與另一個家長

安排在空位中，有A22><A32=：L2種安排方法，

此時有2X2X12=48種不同坐法；

②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時，

將父母及小明看成一個整體，

小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這

個整體內(nèi)部有2義2=4種情況，

3

將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A3=6種情況，

此時有2X2X6=24種不同坐法；

③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，

將3人看成一個整體，考慮父母的順序，有A?2=2種情況，

3

將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A3=6種情況，

此時，共有2X6=12種不同坐法；

則一共有48+24+12=84種不同坐法；

故選：C.

x22

-

11.設(shè)雙曲線C：T-fr=l(a>0,b>0)的左右焦點分別為Fl,F2,

若在曲線C的右支上存在點P,使得△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為a,圓心

記為M,又△PF1F2的重心為G,滿足MG〃FF2,則雙曲線C的離心

率為()

A.爪B.遮C.2D.娓

【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】設(shè)P(s,t)(s,t>0),Fi(-c,0),F2(C,0),運用三角

形的重心坐標，求得內(nèi)心的坐標，可得t=3a,再結(jié)合雙曲線的定義和

等積法，求得|PF21=2c-a,再由雙曲線的離心率公式和第二定義，

可得s=2a,將P的坐標代入雙曲線的方程，運用a,b,c的關(guān)系和離

心率公式，即可得到所求值.

【解答】解：設(shè)P(s,t)(s,t>0),Fi(-c,0),F2(C,0),

可得重心Gf)即(1,f),

設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與邊FIF2的切點N,與邊PFi的切點為K,

與邊PF2上的切點為Q,

則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標與N的橫坐標相同.

由雙曲線的定義，|PFi-PF2|=2a.①

由圓的切線性質(zhì)IPF1-PF2|=|F|K|-|F2Q=FiN-由N|=2a,

v|FIN|+IF2N|=|FIF2|=2C,A|F2N|=C-a,|ON=a,

即有M(a,a),

由MG〃F〃2,

則△PF1F2的重心為G(f,a),即t=3a,

由△PF1F2的面積為■1?2c?3a=3a(|PFi|+1PF21+2c),

可得|PFl|+|PF2|=4c②

由①②可得|PF21=2c-a,

2

由右準線方程x=*,雙曲線的第二定義可得

￡IPF2I

6=a=$二1,解得s=2a,

即有P(2a,3a),代入雙曲線的方程可得

4a29a之M

”-b2=1，可得b=a.

2

12.已知函數(shù)f(x)=ax+elnx與g(x)=―\—的圖象有三個不同的

x-elnx

公共點，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.a<-eB.a>lC.a>eD.a<-3a>l

【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；54：根的存在性及根的個數(shù)

判斷.

【分析】由題意可知：令f(x)=g(x),化簡求得t2+(a-1)t-a+l=O,

根據(jù)h(x)的單調(diào)性求得方程根所在的區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，

即可求得a的取值范圍.

2

xelnx____1

【解答】解：由ax+elnx=x-elnx，整理得：a+X=^elnx,

X

令h(x)=等生，且t=h(x),

則t2+(a-1)t-a+l=O,

求導hz(x)FC*。,解得：x=e,

X

h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+°0)單調(diào)遞減，

則當x玲+8時，h(x)玲0,如圖所示，

由題意可知方程有一個根匕在(0,1)內(nèi)，另一個根t2=l或t2=0或

t2C(-8,0),

當t2=l方程無意義，當t2=0時，a=l,匕=0不滿足題意；

rf(0)<0

則(-8,0),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：即

-a+l<0

1+(a-1)-a+l>0,

解得：a>l,

故選：B.

y

0

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（X+2F+1”的展開式中，x3的系數(shù)是28.（用數(shù)字填寫答案）

【考點】DC：二項式定理的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)&+2F+1”表示4個因式G+2'G+l）的乘積，利用組合的

知識，分類討論，求得x3的系數(shù).

【解答】解：???（x+24+l”表示4個因式（*+24+1）的乘積，

x3的系數(shù)可以是：從4個因式中選三個因式提供X,另一個因式中有

一個提供1;

也可以是從3個因式中選兩個因式都提供X,其余的兩個提供2'八，

可得X3的系數(shù),

c3c2228

4+4

故X3的系數(shù)為:

故答案為：28.

14.已知Sn為數(shù)列數(shù)n｝的前n項和,且S3=l,s4=ll,an+3=2an(ne

N*),則S3n+1=3X2n+1-1.

【考點】8E：數(shù)列的求和.

【分析】S3=l,S4=ll,可得a4=S4-S3.由于an-3=2an（n￡N*）,可得:

a3n+i=2a3n.2.數(shù)列｛a3n-2｝成等比數(shù)列，可得a3n-2=24X2-2,利用數(shù)列

｛S3n｝成等比數(shù)列，即可得出.

【解答】解：??0=1,S4=ll,.?.a4=S4-S3=10.

?an+3=2an(n￡N),??a3n+l=2a3n-2.

數(shù)列｛a3n一2｝成等比數(shù)列，34=10,公比為2.

n2n2

.,.a3n-2=a4X2_=10X2-.

???數(shù)列｛S3n｝成等比數(shù)列，首項S3=l,公比為2.

貝I)S3n+l=S3n+a3n+l=^^+10X2nF=3><2n-l-1.

故答案為：3X2n^-1.

Kn

15.將函數(shù)f(x)=2cos(2x-%~)的圖象向左平移7個單位得到g

(x)的圖象，記函數(shù)g(x)在區(qū)間［3t+才］內(nèi)的最大值為Mt，最

小值為mt,記ht=Mt-mt,若1：￡片，與，則函數(shù)h(t)的最小值

為1.

【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(u)x+4))的圖象變換.

【分析】求出g(x)的解析式，判斷g(x)的單調(diào)性，根據(jù)g(x)

的圖象得出h(t)取得最小值時對應(yīng)的t的值，從而計算出M”mt,

得出答案.

兀兀7r

【解答】解：g(x)=2cos［2(x+石)--5-］=2cos(2x+丁),

.*.g(x)在(7■,-y)上單調(diào)遞減，在(丁，—)上單調(diào)遞增，

TT7TTU

...當丁WtW?■時，g(x)在區(qū)間［3t+?。輧?nèi)先減后增，

當丁《彳時，g(x)在區(qū)間［3t+才］內(nèi)單調(diào)遞增，

■JIJIJI

當t=7~時，h(t)取得最小值，此時Mt=g(-)=-1,mt=g(丁)

=-2,

，函數(shù)h(t)的最小值為-1-(-2)=1.

16.已知點A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面區(qū)域P是由所

有滿足叫人回+|1菽(2〈入Wm,2<n^n)的點M組成的區(qū)域，若區(qū)

域P的面積為6,則m+n的最小值為4+40.

【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義.

【分析】設(shè)M(X,y),作出M點所在的平面區(qū)域，根據(jù)面積得出關(guān)

于m,n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值.

【解答】解：設(shè)M(x,y),研二⑶1).AC=(1,3),|AB|=|AC|/；

.cos〈武丁>餐區(qū).量sin〈藤，正〉得

??lABllACl105,

令A(yù)E=2AB,AF=2AC,以AE?AF為鄰邊作平行四邊形AENF,令

AP=mAB,AQ=nAC,以Ap,AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ；

..AB+klAC(2<^<m,2<H<n)

?;

???符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形NIGH,如圖所示;

--._d

A(m-2)V10*(n-2)V10*y=6;

3

/.(m-2)(n-2)=^-；

???(m-2)(n-2)《魚蛆尹;

(irrt-n-4)2

-4<4

(m+n-4)2；

.nH-n^4+V3

??;

?,?m+n的最小值為人而

故答案為：4+?.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明

或推理、驗算過程.

17.［已知銳角三角形ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c滿

足Jl-c詈+sin(B-A)=2sin2A.

(工)求言

(n)若AB是最大邊，求cosC的取值范圍.

【考點】HR：余弦定理；HP：正弦定理.

【分析】(I)由條件利用二倍角的余弦公式，兩角和差的三角公式,

求得sinBcosA=2sinAcosA,再利用正弦定理求得償?shù)闹?

(II)由條件利用余弦定理，求得cosC的取值范圍.

【解答】解：(I):J呼2C=sinC=sin(A+B),且

^l-cos2C+sin(B-A)=2sin2A,

Asin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,/.sinBcosA=2sinAcosA,

因AABC為銳角三角形，則cosAWO,由正弦定理有：土器，

TTJT.1

(II)Vb=2a,且aVbWc,貝！JF-<C<亍，g[jO<cosC<—,

2,2221小1「

又因逆。=衛(wèi)普k工<裊4，:?cosC的取值范圍是(°，fL

2ab2ab4」

2

18.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足2Sn-

22

(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0(nGN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設(shè)坪=裊,求數(shù)列｛嗝的前n項和心.

【考點】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和.

［分析］(1)由2S.(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n￡N*可得，廿］時，

又曰］,可得由

2S2_(3,12+3,1_2)SI_3(12+1)=0,sa1.

22

2S^-(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0,nEN*可得，(Sn+l)42Sn-3(n2+n)］=0,門

39、

￡N*,可得：Sn=^-(n+n),當n22時，an=Sn-Sn-i.可得a”

_an_3nn

(2)由(1)可得口=/=尹二F，利用錯位相減法即可得出.

【解答】解：(1)由2s.(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n￡N*可得，

22

n=l時,2S?-(3-l+3-l-2)S1-3(l+l>0,又$產(chǎn)五,所以a】=3.

222

2s2-(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0,n€N*可得，(Sn+1)-［2Sn-3(n+n)

n￡N*,

3?

又an>0,所以Sn>0,，Sn在ln+n),

399

當n22時,an=Sn-Sn_1=y[n+n-(n-l)-(n-l)]=3n,

,

由(1)可知，此式對n=l也成立，..an=3n.--------------------

_an_3n_n

(2)由(1)可得bn=^T=^T行,

1_1

■3+上+上山+…

1/__n_12n+3

—23n3"[22.3"]'

?1二一2n+3

**nN4,3n

19.如圖，已知等邊AABC中，E,F分別為AB,AC邊的中點，N為

BC邊上一點，且CN】BC,將4AEF沿EF折到△AEF的位置，使平

面A'EF_L平面EF-CB,M為EF中點.

(1)求證：平面AZMN，平面A，BF；

(2)求二面角E-AZF-B的余弦值.

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定.

【分析】（1）如圖所示，取BC的中點G,連接MG,則MGLEF,利

用面面與線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得：MGJ_AM,又AMJ_EF,

因此可以建立空間直角坐標系.不妨設(shè)BC=4.只要證明平面法向量

的夾角為直角即可證明平面AWN平面A，BF.

（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出.

【解答】（1）證明：如圖所示，取BC的中點G,連接MG,則MGJ_

EF,

?.?平面A'EFJ_平面EFCB,平面A'EFG平面EFCB=EF,

平面A'EF,又A'M_LEF,

因此可以建立空間直角坐標系.不妨設(shè)BC=4.

M(0,0,0),Az(0,0,炳),N(-1,/，0),

J3

B(2,2,0),F(-1,0,0).

IA'=(o,0,M),MN=(-1,6,0),

FA’=(1,0,8)，F(xiàn)B=(3,顯,o).

設(shè)平面A，MN的法向量為1(x,y,z),

J嬴江=0az二°

則《?瓶=0'即i-xSe

取ir=1,。)

同理可得平面/VBF的法向量⑹T).

...m?n=3-3+0=0,.?一')

...平面A，MN_L平面AZBF.

(2)解：由(1)可得平面ABF的法向量「Je'

取平面EAF的法向量也(0,1,0).

<n,u>n*u廠_3_

則cos=|nllu|=V3+32+lXl=13，

由圖可知：二面角E-A，F(xiàn)-B的平面角為銳角,

.??二面角E-AT-B的平面角的余弦值為嚕.

20.某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家

進場試銷10天.兩個廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返

利70元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元；乙廠家無固定返利，

賣出40件以內(nèi)(含40件)的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利4元，超出

40件的部分每件返利6元.經(jīng)統(tǒng)計，兩個廠家的試銷情況莖葉圖如

下：

甲乙

8998993899

201042111010

(I)現(xiàn)從甲廠家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大

于40的概率；

<n)若將頻率視作概率，回答以下問題：

(i)記乙廠家的日返利額為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學

期望；

(ii)商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返

利額的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為商場作出選擇，并說明

理由.

【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列.

【分析】(I)記"抽取的兩天銷售量都大于40〃為事件A,利用等可

能事件概率計算公式能求出這兩天的銷售量都大于40的概率.

(U)(i)設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為a,推導出X的所有可能取值為:

152,156,160,166,172,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的

分布列和數(shù)學期望.

(ii)求出甲廠家的日平均銷售量，從而得到甲廠家的日平均返利，

由(i)得乙廠家的日平均返利額，由此推薦該商場選擇乙廠家長期

銷售.

【解答】(本小題滿分12分)

解：(I)記"抽取的兩天銷售量都大于40〃為事件A,

以1

則P(A)=k^.…

cio

(H)(i)設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為a,則

當a=38時，X=38X4=152；

當a=39時，X=39X4=156；

當a=40時，X=40X4=160；

當a=41時一，X=40X4+1X6=166；

當a=42時一，X=40X4+2X6=172；

，X的所有可能取值為:152,156,160,166,172,

(ii)依題意，甲廠家的日平均銷售量為：38X0.2+39X0.4+40X

0.2+41X0.1+42X0.1=39.5,

甲廠家的日平均返利額為:70+39.5X2=149元，

由(i)得乙廠家的日平均返利額為162元(>149元)，

.??推薦該商場選擇乙廠家長期銷售?…

21.已知兩點A(-2,0),B(2,0),直線AM、BM相交于點M,

且這兩條直線的斜率之積為總

(I)求點M的軌跡方程；

(H)記點M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點P的橫坐

標為1,直線PE、PF與圓(x-1)2+y2=d(0<r<7)相切于點E、F,

又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.求△OQR的面積的最大

值(其中點。為坐標原點).

【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系；J3：軌跡方程.

3

【分析】(I)設(shè)點M(x,y),由題意可得KAHKBM=5,利用斜率計

算公式即可得出土??我-V.化簡即可.

3

(II)把x=l代入曲線C的方程，可得點P(l，彳).由于圓(X-1)

2+丫2=心的圓心為(1,0),

利用對稱性可知直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線PE的

方程為尸k(x-l)玲，與橢圓的方程聯(lián)立可得

(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,由于x=l是方程的

4k2_12k_34k2+12k-3

一個解，可得方程的另一解為XQ=-^7".同理XR=~^7~.可

得直線RQ的斜率為kRQ=f-把直線RQ的方程吟x+t代入橢圓方程，

消去y整理得x2+tx+t2-3=0.利用弦長公式可得|RQ|.再利用點到直

|RQL，D

線的距離公式可得:原點0到直線RQ的距離為d.利用SA0RQ4

和基本不等式即可得出.

【解答】解：(I)設(shè)點M(x,y),K顛心孤=得，????■?我■=1.

22

xy

整理得點M所在的曲線C的方程：彳+于=1(xW±2).

(II)把x=l代入曲線C的方程，可得了后口，解得廠2,

???點P(1，彳).

?.?圓(x-l)2+y2=F的圓心為(1,0),

...直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線PE的方程為尸k(x-l)+f,

(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,

由于x=l是方程的一個解，

4k2-12k-3

，方程的另一解為XQ=妹2+3.

.