2021-2022學(xué)年福建省南平市萬安中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年福建省南平市萬安中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，，則（

）．A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，求得的值，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，最后利用二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值．【詳解】由，可得，又因?yàn)?，可得，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、基本關(guān)系式，以及正弦的倍角公式的化簡求值，著重考查了推理與計(jì)算能力．2.已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=ax2﹣x+1，若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰好有2個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1）參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】化函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰好有2個(gè)不同零點(diǎn)為函數(shù)f（x）+x﹣1與函數(shù)y=ax2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函數(shù)y=f（x）+x﹣1與函數(shù)y=ax2的圖象如下，，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（0，1），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用．3.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)

的四個(gè)命題::,

的共軛復(fù)數(shù)為

的虛部為其中真命題為

參考答案：C4.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：B表示圓上所有點(diǎn)的集合，表示直線上所有點(diǎn)的集合，故表示兩直線與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即元素的個(gè)數(shù)為2，故選B.

5.定義在(0,+∞)上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于x的不等式的解集為()A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)分析可得，即可得在為增函數(shù)，由（2）的值計(jì)算可得（2）；分析可以將轉(zhuǎn)化為（2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得，解可得的范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，令，，則其導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)，又由（2），則（2），，則有，解可得；即不等式的解集為.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意先分析題意，構(gòu)造函數(shù)．6.“”是“”的

（）A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C7.已知函數(shù),則的圖象在處的切線方程是A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)?，所以，切點(diǎn)為，又，所以，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.8.若向量||=2sin15°與||=4sin75°，與的夾角為30°，則?等于（）A． B． C．2 D．參考答案：A考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：直接由已知結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求得答案．解：∵||=2sin15°，||=4sin75°，且與的夾角為30°，則?==2sin15°×4sin75°×cos30°=4×sin30°×cos30°=2sin60°=2×=．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9.復(fù)數(shù)的虛部是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.已知f（x）=3sinx﹣πx，命題p：?x∈（0，），f（x）＜0，則(

) A．p是假命題，?p：?x∈（0，），f（x）≥0 B．p是假命題，?p：?x0∈（0，），f（x0）≥0 C．p是真命題，?p：?x0∈（0，），f（x0）≥0 D．p是真命題，?p：?x∈（0，），f（x）＞0參考答案：C考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；命題的否定．專題：簡易邏輯．分析：通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷全稱命題的真假，然后寫出命題的否定命題，判斷真假即可得到選項(xiàng)．解答： 解：因?yàn)閒'（x）=3cosx﹣π，所以當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，即對，f（x）＜f（0）=0恒成立，所以p是真命題．又全稱命題的否定是特稱命題，所以?p是，f（x0）≥0．故選：C．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與全稱命題的否定．解題首先判斷命題p的真假，然后再將命題p寫成?p的形式，注意特稱命題與全稱命題否定形式的基本格式．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ為實(shí)數(shù)，（+λ）⊥，則λ的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】求出+λ和的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）?=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案為﹣．12.已知，若與平行，則m=

.參考答案：，與平行，，故答案為

13.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在x=2處的切線方程為

。參考答案：因?yàn)?，又在處的切線方程為，斜率為，所以，解得．14.已知在三棱錐A-BCD中，，，底面BCD為等邊三角形，且平面ABD⊥平面BCD，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為

．參考答案：16π取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，取CE的三等分點(diǎn)為O，使得CO=2OE，則O為等邊△BCD的中心.由于平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，所以平面ACE⊥平面ABD.由于AB2+AD2=BD2，所以△ABD為直角三角形，且E為△ABD的外心，所以O(shè)A=OB=OD.又OB=OC=OD，所以O(shè)為三棱錐A-BCD外接球的球心，且球的半徑.故三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

15.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.參考答案：略16.設(shè)和均為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：17.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：（0，1）【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1與y=f（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，x≤0，f（x）=ex與h（x）=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)（0，1），函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，只需要x≤0，f（x）=ex與h（x）=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)在（0，1）處切線的斜率，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1與y=f（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，x≤0，f（x）=ex與h（x）=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)（0，1），∵函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，∴只需要x≤0，f（x）=ex與h（x）=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1，∴a＜1，綜上所述，0＜a＜1，故答案為（0，1）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若△ABC的面積為2，求a邊的長.

參考答案：（1）……2分所以的最小正周期

…………3分令，解得所以的單調(diào)遞減區(qū)間是

…………6分（2）∵，∴，又∵∴

…………8分

∵，的面積為∴

…………10分∴

…………12分19.（13分）如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB，設(shè)PB的中點(diǎn)為E，（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：（I）證明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角為∠PDA=90°，且PD⊥DC，DA∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，則BC=BD=，在三角形BCD中，BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（II）∵PD，PA，DC兩兩垂直，PA=CD=2AB=4，∴AB=2，∵E是PB的中點(diǎn)，∴AD=DP=2，則建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），D（0，0，0），P（0，0，2），則=（0，2，0），=（﹣2，2，0），=（0，4，﹣2）．設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則由，令x=1，則y=1，z=2，即=（1，1，2），則cos＜＞==，∴直線AB和平面PBC所成角的正弦值等于cos＜＞=，（III）∵F∈BD，故可設(shè)F（m，m，0），而PB的中點(diǎn)E（1，1，1），∴，∵，，∴，解得m=，∴線段BD上是否存在一點(diǎn)F（），使EF⊥平面PBC．20.已知函數(shù)f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．（1）當(dāng)λ=﹣1時(shí)，求函數(shù)g（x）的最大值；（2）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實(shí)數(shù)x，存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】①令g′（x）=0求出根，判斷兩邊的符號，求出最值②導(dǎo)數(shù)大于零求出單增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零求出單調(diào)遞減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定在定義域內(nèi)③不等式恒成立就是求函數(shù)的最值，注意對參數(shù)的討論【解答】解：（1）當(dāng)λ=﹣1時(shí)，g（x）=lnx﹣x，（x＞0）∴令g′（x）=0，則x=1，∴g（x）=lnx﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減∴g（x）max=g（1）=﹣1（2）h（x）=λx2+2λx+lnx，，（x＞0）∴當(dāng)λ＞0時(shí)，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）的增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)λ＜0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）是增函數(shù)．綜上得，當(dāng)λ＞0時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)λ＜0時(shí)，h（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）當(dāng)x＞0，在（0，+∞）上是減函數(shù)，此時(shí)φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）=2λx+λ，若λ＞0時(shí)，φ′（x）在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，此時(shí)φ′（x）的取值集合B=（﹣∞，λ）；若λ＜0時(shí)，φ′（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，此時(shí)φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．對任意給定的非零實(shí)數(shù)x，①當(dāng)x＞0時(shí)，∵φ′（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，則在（0，+∞）上不存在實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），則t∈（﹣∞，0），要在（﹣∞，0）上存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A?B，∴λ＜0；②當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）=2λx+λ在（﹣∞，0）時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B