湖南省衡陽(yáng)市石準(zhǔn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市石準(zhǔn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，學(xué)號(hào)的四位同學(xué)的考試成績(jī)，滿足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況的種數(shù)為（

）

(A)4種

(B)5種

(C)16種

(D)24種參考答案：答案：B2.已知(其中為的共軛復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知是非零向量且滿足的形狀是A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形A.0 B.1 C. D.參考答案：D4.“0<x<1”是“l(fā)og2(x＋1)<1”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：5.各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(

)A．16π

B．20π

C．24π

D．32π參考答案：C正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長(zhǎng)為2，正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為2，∴球的半徑為，球的表面積是24π，6.=（）A． B． C．i D．﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的分母，再分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：故選A．7.定義運(yùn)算，如，令，則為（

）]BBA.奇函數(shù)，值域 B.偶函數(shù)，值域C.非奇非偶函數(shù)，值域

D.偶函數(shù)，值域參考答案：B8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】若,則,利用均值定理可得,則,進(jìn)而判斷命題之間的關(guān)系.【詳解】若,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,因?yàn)?所以“”是“”的充分不必要條件,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查利用均值定理求最值.9.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果S為（

）A．2014

B．2013

C．1008

D．1007參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1D解析：由程序框圖可知，所以選D.【思路點(diǎn)撥】遇到循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖問(wèn)題，可依次執(zhí)行循環(huán)體發(fā)現(xiàn)所求值的規(guī)律，再進(jìn)行解答.10.Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為13的球面上，兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（A）5

（B）6

（C）10

（D）12參考答案：答案：D解析：Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為10，且斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，球心到平面ABC的距離是d=，選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算(lg－lg25)÷100－＝________.參考答案：－2012.能夠把圓:的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓的“和諧函數(shù)”,①

②③④.上述函數(shù)不是圓的“和諧函數(shù)”的是

（將正確序號(hào)填寫(xiě)在橫線上）參考答案：③13.已知函數(shù)，將f(x)的圖像與x軸圍成的封閉圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_______．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體

G8

解析：將的圖像與軸圍成的封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓錐和一個(gè)半個(gè)球的組合體，其中球的半徑為2，棱錐的底面半徑為2，高為1，所以所得旋轉(zhuǎn)體的體積為【思路點(diǎn)撥】由題意可求出組合體的體積.14.如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，已知，，圓的半徑為，則圓心到的距離為_(kāi)________________．參考答案：略15.(幾何證明選講選做題)如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于__

參考答案：5略16.已知函數(shù)滿足=1且，則=_______________。參考答案：102317.在△ABC中，，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)），當(dāng)變化時(shí)，線段CD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_________．參考答案：3試題分析：設(shè)，，則在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．考點(diǎn)：解三角形三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分16分）如圖，某興趣小組測(cè)得菱形養(yǎng)殖區(qū)的固定投食點(diǎn)到兩條平行河岸線的距離分別為4m、8m，河岸線與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)的距離為1m，與該養(yǎng)殖區(qū)的最近點(diǎn)的距離為2m．（1）如圖甲，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)的右側(cè)，若該小組測(cè)得，請(qǐng)據(jù)此算出養(yǎng)殖區(qū)的面積；（2）如圖乙，養(yǎng)殖區(qū)在投食點(diǎn)的兩側(cè)，試在該小組未測(cè)得的大小的情況下，估算出養(yǎng)殖區(qū)的最小面積．參考答案：19.已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2=1，直線l的方程為x﹣2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=時(shí)，求直線CD的方程；（3）經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過(guò)異于點(diǎn)M的定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】綜合題；直線與圓．【分析】（1）設(shè)P（2m，m），代入圓方程，解得m，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），由圓心M到直線CD的距離求得k，則直線方程可得．（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn)Q（m，），因?yàn)镻A是圓M的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)P（2m，m），由題可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：m=0或m=，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）或P（，）．（2）設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得，k=﹣1或k=﹣，故所求直線CD的方程為：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn)Q（m，），因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為：（x﹣m）2+（y﹣﹣1）2=m2+（﹣1）2，化簡(jiǎn)得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是關(guān)于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)（0，2）或（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓方程的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是對(duì)圓性質(zhì)的熟練掌握．20.（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x>l時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)a∈[1,+∞﹚解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),a=2時(shí)，，當(dāng)時(shí)得，當(dāng)時(shí)得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)等價(jià)于lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)＜0在(1.+∞)上恒成立，設(shè)h(x)=lnx－a(x－1)，則h(1)=0,.①若a≤0,,函數(shù)h(x)為增函數(shù)，且向正無(wú)窮趨近，顯然不滿足條件；②若a≥1，則x∈(1,+∞)時(shí)，≤0恒成立，∴h(x)=lnx－a(x－1)在(1.+∞)上為減函數(shù)，∴h(x)=lnx－a(x－1)＜h(1)=0在(1.+∞)上恒成立，即lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立；③若0＜a＜1,則=0時(shí)，，∴時(shí)，，∴h(x)=lnx－a(x－1)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，h(x)=lnx－a(x－1)＞0，不能使lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立，綜上，a∈[1,+∞﹚.【思路點(diǎn)撥】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是求使導(dǎo)數(shù)大于0及小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間，由不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，可構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)的最值，利用最值求參數(shù)的范圍.21.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.（I）求角C的值；（II）若，且△ABC的面積為，求a,b.參考答案：（I）（II）（I），故，則，展開(kāi)得：，即，（II）三角形面積為，故由余弦定理：，故22.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

.（Ⅰ）若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD平面B1C1D；（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小為60°，求AD的長(zhǎng).

參考答案：(本小題滿分12分)（Ⅰ）∵，∴，又由直三棱柱性質(zhì)知，∴平面ACC1A1.∴……①

……3分由D為中點(diǎn)可知，，∴即……②………5分由①②可