垂徑定理 一等獎(jiǎng)

3.3.1垂徑定理數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)上一、教學(xué)目標(biāo)：1、通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性；2、掌握垂徑定理，理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題；3、掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。二、教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其應(yīng)用三、教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的證明四、教學(xué)媒體：電子白板五、教學(xué)方法：自主探究，合作交流．編寫日期：

月

日授課日期：：

月

日

導(dǎo)入新課同學(xué)們都學(xué)過趙州橋，因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽(yù)為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當(dāng)時(shí)世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的創(chuàng)造智慧。

導(dǎo)入新課趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖），它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請(qǐng)問：橋拱的半徑（即弧AB所在圓的半徑）是多少？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將能很容易解決這一問題。教學(xué)目

新課講解合作學(xué)習(xí)在白紙上任意作一個(gè)圓和這個(gè)圓的任意一條直徑CD,然后沿著直徑所在的直線把紙折疊,你發(fā)現(xiàn)了什么?

圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸。注意：（1）圓的對(duì)稱軸是直線，不能說每一條直徑都是圓的對(duì)稱軸.（2）圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條.OCD教學(xué)目

新課講解請(qǐng)大家在紙上畫一個(gè)圓O，再任意畫一條非直徑的弦CD，作一直徑AB與CD垂直，交點(diǎn)為P（如圖）．沿著直徑將圓對(duì)折，你有什么發(fā)現(xiàn)？點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，CP與DP重合，BC＝BD，AC＝AD．⌒⌒⌒⌒你能將你的發(fā)現(xiàn)歸納成一般結(jié)論嗎？垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧．教學(xué)目

新課講解垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論，三種形式要相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運(yùn)用自如.●OABCDM└CD⊥AB，如圖∵CD是直徑，∴AM＝BM，⌒⌒

AC

＝BC⌒⌒

AD＝BD.分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn),叫做這條弧的中點(diǎn).請(qǐng)你對(duì)上述命題寫出已知，求證，并給出證明已知CD是直徑，CD⊥AB，求證：CD平分AB，CD平分AB和ADB⌒⌒教學(xué)目

新課講解例1、已知AB如圖，用直尺和圓規(guī)求作這條弧的中點(diǎn).⌒E1.連結(jié)AB;⌒2.作AB的垂直平分線CD,交AB與點(diǎn)E;作法:∴點(diǎn)E就是所求AB的中點(diǎn).⌒分析:要平分AB,只要畫垂直于弦AB的直徑.而這條直徑應(yīng)在弦AB的垂直平分線上.⌒練一練：教學(xué)目

新課講解

如圖，過⊙O內(nèi)一點(diǎn)P畫弦AB，使P是AB的中點(diǎn).PAB教學(xué)目

新課講解例2、一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16.求截面圓心O到水面的距離.C88

教學(xué)目

新課講解圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距.例如,上圖中,OC的長(zhǎng)就是弦AB的弦心距.教學(xué)目

新課講解如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長(zhǎng).·OABECD解：連接OA.∵CD是直徑，OE⊥AB，設(shè)OA=x，則OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2.解得：x=13.∴OA=13.∴CD=2OA=26.即直徑CD的長(zhǎng)為26.

練一練趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖），它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請(qǐng)問：橋拱的半徑（即弧AB所在圓的半徑）是多少？教學(xué)目

新課講解現(xiàn)在你會(huì)解決導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問題了嗎？總結(jié)1、垂徑定理的幾個(gè)基本圖形教學(xué)目

新課講解2、垂徑定理的幾種應(yīng)用情況(1)求弦心距OC(2)求半徑或直徑(3)求弦長(zhǎng)(4)求弓高ABCD兩個(gè)作為條件，剩余可以求出，此時(shí)需構(gòu)造Rt?，利用勾股定理求解教學(xué)目

新課講解例3、已知：如圖，在⊙O中，弦AB//CD.求證：AC＝BD⌒⌒證明：作OG⊥AB交AB于E，交CD于F∵AB//CD∴OG⊥CD∴AG=GB⌒⌒∴CG=GD⌒⌒∵AC=AG-CG，BD=BG-DG⌒⌒⌒⌒⌒⌒∴AC=BC⌒⌒在同一個(gè)圓中，如果兩弦平行，那么它們所夾的弧相等教學(xué)目

新課講解在同一個(gè)圓中，兩條弦的長(zhǎng)短與它們所對(duì)應(yīng)的弦心距之間有什么關(guān)系？答：在同一圓中，弦心距越長(zhǎng)，所對(duì)應(yīng)的弦就越短；弦心距越短，所對(duì)應(yīng)的弦就越長(zhǎng)。練習(xí)教學(xué)目

新課講解

1、下列說法正確的是（）直徑是圓的對(duì)稱軸B.經(jīng)過圓心的直線是圓的對(duì)稱軸C.與圓相交的直線是圓的對(duì)稱軸D.與半徑垂直的直線是圓的對(duì)稱軸教學(xué)目

鞏固提升BC3、如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E(如圖)，那么下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.CE＝DEB.BC=BDC.∠BAC＝∠BADD.AC＞AD⌒⌒教學(xué)目

鞏固提升D教學(xué)目

鞏固提升4、已知⊙O的半徑為5,弦AB的長(zhǎng)也是5，則∠AOB的度數(shù)是

.5、如圖，OA是⊙O的半徑，弦CD⊥OA于點(diǎn)P，已知OC=5，OP=3，則弦CD=__________.

60°8教學(xué)目

鞏固提升6、如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的長(zhǎng).解：連結(jié)OA.則由垂徑定理，得AM=BM.∵CD=15cm，∴OC=7.5cm，又