線性系統(tǒng)穩(wěn)定性演示文稿

線性系統(tǒng)穩(wěn)定性演示文稿CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第1頁\共有26頁\編于星期二\13點（優(yōu)選）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第2頁\共有26頁\編于星期二\13點二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件對一個線性系統(tǒng)而言，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：它的脈沖響應(yīng)：顯然，要想系統(tǒng)響應(yīng)有界，其所有極點的實部必須為負。反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點必須在s平面的左半平面。如果系統(tǒng)有任何一個極點不在左半平面，都稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果有一對共軛根在虛軸（jω軸）上，其它根都在左半平面，則系統(tǒng)在有界輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出將保持等幅振蕩，只有輸入為正弦波且頻率為虛根的幅值時，系統(tǒng)輸出才無界，此時系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第3頁\共有26頁\編于星期二\13點三、判別穩(wěn)定性的方法1）代數(shù)判據(jù)（Routh和Hurwits）2）根軌跡法3）Nyquist判據(jù)適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)4）李雅普諾夫直接法不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，而且適用于多變量、非線性、時變系統(tǒng)5）Matlab判別：pzmap(sys)、pole(sys)、roots(d)本章請掌握Routh判據(jù)直接方法：求解出系統(tǒng)特征根，從而判定。系統(tǒng)穩(wěn)定全部特征根在s左半平面充分必要系統(tǒng)特征根情況穩(wěn)定性判定問題：高階方程求解困難CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第4頁\共有26頁\編于星期二\13點一、

Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)特征方程：列寫Routh表：6.2Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第5頁\共有26頁\編于星期二\13點二、

Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

勞斯—霍爾維茨判據(jù)表明，系統(tǒng)特征方程中具有正實部根的個數(shù)等于勞斯表中第一列元素符號變化的次數(shù)。由此可得到：系統(tǒng)穩(wěn)定則勞斯表中第一列元素的符號均為正或均為負；系統(tǒng)不穩(wěn)定的根的數(shù)目等于符號變化次數(shù)。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第6頁\共有26頁\編于星期二\13點例1：勞思判據(jù)判定穩(wěn)定性符號改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根>>d=[12345];>>roots(d)ans=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579iCollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第7頁\共有26頁\編于星期二\13點例2：請給出K與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系解：1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：2）閉環(huán)特征方程：3）列寫勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時：系統(tǒng)不穩(wěn)定時：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第8頁\共有26頁\編于星期二\13點勞斯表第一列元素可能出現(xiàn)如下情況：（1）第一列元素均不為零（常規(guī)情況）；（2）第一列元素中有元素為零，且為零的這一行的其它元素不全為零。（3）勞斯表中出現(xiàn)全零行；（4）同（3）并在虛軸上有重根。

下面分別情況進行應(yīng)用討論CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第9頁\共有26頁\編于星期二\13點各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：特殊情況1：第一列出現(xiàn)0，而其余不全為零系統(tǒng)不穩(wěn)定：有兩個正實部根用無窮小正數(shù)代替零后繼續(xù)運算。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第10頁\共有26頁\編于星期二\13點解決方法：由全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程F(s)=0，并對其求導后，用所得系數(shù)代替全0行的元素。各項系數(shù)均為正數(shù)求導得:例如：特殊情況2：某一行元素全為零注意：此時系統(tǒng)不為穩(wěn)定系統(tǒng)，而是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第11頁\共有26頁\編于星期二\13點勞斯表出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根：①大小相等符號相反的實根②共軛虛根③對稱于實軸的兩對共軛復根CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第12頁\共有26頁\編于星期二\13點例3焊接機器人焊接頭由機械臂帶動，自動到達不同焊接位置。焊接頭位置控制系統(tǒng)如圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K和a的變化范圍。解：系統(tǒng)特征方程為：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第13頁\共有26頁\編于星期二\13點系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件：

系統(tǒng)穩(wěn)定時K和a的變化范圍為：Routh表：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第14頁\共有26頁\編于星期二\13點例4某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖所示，判定系統(tǒng)能否穩(wěn)定，若能穩(wěn)定，試確定相應(yīng)開環(huán)增益K的范圍。解依題意有系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定與開環(huán)穩(wěn)定之間沒有直接關(guān)系

按勞斯表再確定K值范圍CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第15頁\共有26頁\編于星期二\13點特殊情況3：多行元素全為零P254Routh表出現(xiàn)多個全零行，系統(tǒng)在s平面有重共軛虛根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第16頁\共有26頁\編于星期二\13點6.3反饋控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性利用Routh-Hurwitz判據(jù)，通過判斷系統(tǒng)特征方程是否有位于s右半平面的根，可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，還需要知道系統(tǒng)穩(wěn)定的程度即相對穩(wěn)定性。通過了解相對穩(wěn)定性，可以幫助工程師判斷系統(tǒng)超調(diào)量或者系統(tǒng)的阻尼強度，以及系統(tǒng)的魯棒性。相對穩(wěn)定性可以用特征根的實部所確定的系統(tǒng)特性來定義，也可以用共軛復數(shù)根的相對阻尼系數(shù)來定義。還可以用頻率特性的幅值與相位裕度來定義。這里討論利用特征根的負實部定義的相對穩(wěn)定性及其應(yīng)用。方法：根平面虛軸平移jωσ1CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第17頁\共有26頁\編于星期二\13點例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右，

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,x)的范圍;(2)當x=2時，確定使全部極點均位于s=-1之左的K值范圍。解.(1)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第18頁\共有26頁\編于星期二\13點(2)當x=2時，確定使全部極點均位于s=-1之左的K值范圍。當x=2時，進行平移變換：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第19頁\共有26頁\編于星期二\13點例2新型電動輪椅裝有非常實用的速度控制系統(tǒng)，框圖模型如圖。

時間常數(shù)τ1=0.5s,τ3=1s，

τ

4=1/4sVelocity（1）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值（K=K1K2K3）;（2）當K的取值為臨界穩(wěn)定增益的1/3時，確定系統(tǒng)按2%準則的調(diào)節(jié)時間是否小于4s；（3）確定增益K的取值，使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間等于4s，并計算此時的系統(tǒng)特征根。

P275，P6.8解：（1）系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定條件：得到K值范圍：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第20頁\共有26頁\編于星期二\13點（2）當K的取值為臨界穩(wěn)定增益的1/3時，確定出K=11.25/3=3.75。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)形態(tài)由復數(shù)主導極點確定，所以Ts=4/(ζωn)。而-ζωn正是復數(shù)極點的實部，設(shè)a=ζωn。將s平面虛軸左移a，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)特征多項式變?yōu)椋篵=0時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，求得a=-0.64。即ζωn=0.64，Ts=4/0.64=6.25s，大于4s。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第21頁\共有26頁\編于星期二\13點（3）系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間等于4s，即Ts=4/(ζωn)=4。則ζωn=1

主導極點的實部為-1，參照（2）的方法令s=sn-1，即將虛軸左移1，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)特征多項式變?yōu)椋合到y(tǒng)臨界穩(wěn)定，則b=0。解得K=1.50由輔助多項式求得：系統(tǒng)共軛復數(shù)極點為：s=-1±j1.73容易求得另一極點s=-5CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第22頁\共有26頁\編于星期二\13點例3火星自主漫游車的導向控制系統(tǒng)框圖模型如圖。反饋回路H(s)=Ks+1

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。（2）當s=-5為系統(tǒng)的一個閉環(huán)根時，計算K的值及其它閉環(huán)根。（3）對（2）求得的K，計算系統(tǒng)階躍響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)特征方程為：使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍：10CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當前第23頁\共有26頁\編于星期二\13點（2）系統(tǒng)一個特征根為-5，則設(shè)系統(tǒng)特征方程為：與系統(tǒng)特征方程比較可得：系統(tǒng)另二根：（3）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)請同學們寫出解析解CollegeofAutomaticControlEnginee