線性系統(tǒng)的頻域分析方法

（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析方法當(dāng)前第1頁\共有207頁\編于星期二\13點引言(1)高階系統(tǒng)的分析難以進行；(2)當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行；用時域法分析系統(tǒng)的性能比較直觀、準(zhǔn)確，但是求解系統(tǒng)的時域響應(yīng)往往比較繁雜。1.時域分析法的缺點當(dāng)前第2頁\共有207頁\編于星期二\13點頻域分析法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的研究自動控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典工程實用方法。是一種利用頻率特性進行控制系統(tǒng)分析的圖解方法，可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計。2.頻域分析法

頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，通過這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時域性能指標(biāo)或反之。因此，頻域分析法與時域分析法是統(tǒng)一的。當(dāng)前第3頁\共有207頁\編于星期二\13點頻域分析法的優(yōu)點(1)不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡單的圖解法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進行分析，因而形象直觀且計算量少。(2)系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出。頻率特性有明確的物理意義，它可以用實驗方法來測定，這對于難以列寫微分方程式的元件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。當(dāng)前第4頁\共有207頁\編于星期二\13點(3)頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。(4)便于系統(tǒng)分析和校正。根據(jù)系統(tǒng)的頻率性能間接地揭示系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，便于分析和校正。2.頻域分析法當(dāng)前第5頁\共有207頁\編于星期二\13點第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本章主要內(nèi)容：5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性曲線的繪制5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)6當(dāng)前第6頁\共有207頁\編于星期二\13點第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本章要求：正確理解基本概念；掌握開環(huán)頻率特性曲線的繪制；熟練運用頻率域穩(wěn)定判據(jù)；掌握穩(wěn)定裕度的概念；了解閉環(huán)頻域性能指標(biāo)。7當(dāng)前第7頁\共有207頁\編于星期二\13點§5.1頻率特性本節(jié)主要內(nèi)容：

1、頻率特性的基本概念

2、頻率特性的幾何表示8當(dāng)前第8頁\共有207頁\編于星期二\13點G(S)R(s)C(s)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖:設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為特征方程的根。G(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)r(t)=AsinωtS1,S2‥‥Sn輸出響應(yīng)

c(t)?R(s)=AωS2+ω2C(s)=G(s)R(s)C(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)AωS2+ω2·一、頻率特性的基本概念1.頻率特性的定義當(dāng)前第9頁\共有207頁\編于星期二\13點C(s)=A2S–jωA1S+jωBiS–Si∑ni=1++c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi將C(s)按部分分式展開:拉氏反變換得:設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S1,S2···Sn的實部均小于零。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為cs(t)=limc(t)=A1e-jtωejtω+A2t→∞求待定系數(shù):A1=G(s)AωS2+ω2·(S+jω)S=-jω=G(-jω)-2jA=-2jA|G(jω)|e-jG(jω)同理:A2=G(jω)2jA=2jA|G(jω)|ejG(jω)代入-2jcs(t)=A|G(jω)|ej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+=A|G(jω)|sin[G(jω)]ωt+A1系統(tǒng)正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。當(dāng)前第10頁\共有207頁\編于星期二\13點系統(tǒng)輸入輸出曲線r(t)t0c(t)φr(t)c(t)AAG(jω)=φ(ω)G(jω)當(dāng)前第11頁\共有207頁\編于星期二\13點定義:系統(tǒng)的幅頻特性：

系統(tǒng)的相頻特性：

系統(tǒng)的頻率特性：G(jω)=G(s)S=jωjG(jω)=|G(jω)|e

=A(ω)ejφ(ω)A(ω)

=|G(jω)|=φ(ω)G(jω)當(dāng)前第12頁\共有207頁\編于星期二\13點---幅頻特性幅頻特性曲線幅頻特性：在正弦信號輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比。1.00A(w)w線性系統(tǒng)G(s)頻率特性的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的幅值和相位的變化，這就是頻率特性的物理意義。當(dāng)前第13頁\共有207頁\編于星期二\13點---相頻特性相頻特性曲線相頻特性：在正弦信號輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入正弦信號的相位差。j(w)w線性系統(tǒng)G(s)當(dāng)前第14頁\共有207頁\編于星期二\13點

右圖為RC濾波網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電容C的初始電壓為uo０,取輸入信號為正弦信號，曲線如圖所示。15RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)當(dāng)響應(yīng)呈穩(wěn)態(tài)時，可以看出仍為正弦信號，頻率與輸入信號相同，幅值較輸入信號有一定衰減，相位存在一定延遲。ABφ當(dāng)前第15頁\共有207頁\編于星期二\13點16RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其微分方程是網(wǎng)絡(luò)的傳函輸出電壓的瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量右圖RC網(wǎng)絡(luò)輸入頻率響應(yīng)當(dāng)前第16頁\共有207頁\編于星期二\13點17隨著t趨于無窮大,瞬態(tài)分量趨于零,于是都是頻率ω的函數(shù)幅頻特性相頻特性∠ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTTω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTT當(dāng)前第17頁\共有207頁\編于星期二\13點18幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性頻率特性:

線性定常系統(tǒng)的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比(頻域）。2.介紹幾個名詞：幅值比：同頻率下輸出信號與輸入信號的幅值之比。B/A相位差：同頻率下輸出信號的相位與輸入信號的相位之差。φ當(dāng)前第18頁\共有207頁\編于星期二\13點19幅頻特性：幅值比與頻率之間的關(guān)系。相頻特性：相位差與頻率之間的關(guān)系。幅相特性：將幅頻和相頻畫到一起。矢量端點的軌跡。當(dāng)前第19頁\共有207頁\編于星期二\13點3.求取頻率特性的方法：實驗法20利用傳遞函數(shù)求頻率特性的方法：系統(tǒng)的頻率特性G(jω)可以通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)來求取：利用傳遞函數(shù)求已知系統(tǒng)的方程，輸入正弦函數(shù)求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)比一般不用當(dāng)前第20頁\共有207頁\編于星期二\13點21例1:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)為，若輸入信號為：，試求(1)穩(wěn)態(tài)輸出css(t)(2)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)?解:(1)穩(wěn)態(tài)輸出：當(dāng)前第21頁\共有207頁\編于星期二\13點22(2)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)前第22頁\共有207頁\編于星期二\13點23將G(jω)寫成復(fù)數(shù)形式：---實頻特性---虛頻特性幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間的關(guān)系：4.頻率特性的表示法當(dāng)前第23頁\共有207頁\編于星期二\13點241.幅頻—相頻形式:

G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)2.

實頻—虛頻形式:G(jω)=P(ω)+jQ(ω)3.

三角函數(shù)形式:

G(jω)=A(ω)cosj(ω)+jA(ω)sinj(ω)4.

指數(shù)形式:

G(jω)=A(ω)ejφ(ω)頻率特性的表示法當(dāng)前第24頁\共有207頁\編于星期二\13點由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，可以表征系統(tǒng)的運動規(guī)律，是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。255.頻率特性與其它數(shù)學(xué)模型的關(guān)系微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)當(dāng)前第25頁\共有207頁\編于星期二\13點26[例2]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：當(dāng)前第26頁\共有207頁\編于星期二\13點27頻率特性的極坐標(biāo)圖（幅相圖）/奈魁斯特圖頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖/伯德圖頻率特性的對數(shù)幅相圖/尼柯爾斯圖二、頻率特性的幾何表示法當(dāng)前第27頁\共有207頁\編于星期二\13點28系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常有三種表達形式:1.通過頻率特性G(jω)的模|G(jω)|與相位∠G(jω)在極坐標(biāo)中表示的圖形,稱為極坐標(biāo)圖(Polarplot)或奈魁斯特圖(Nyquistplot)。

2.通過半對數(shù)坐標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形,稱為對數(shù)坐標(biāo)圖(Logarithmicplot)或伯德圖(Bodeplot)。

3.用伯德圖中的幅頻特性與相頻特性統(tǒng)一繪制成的圖形來表示系統(tǒng)的頻率特性。這種表達頻率特性的圖形稱為對數(shù)幅相圖（Log-magnitude-phasediagram）或尼柯爾斯圖(Nicholschart)。當(dāng)前第28頁\共有207頁\編于星期二\13點291.極坐標(biāo)圖當(dāng)ω：0→∞時，向量G(jω)的幅值|G(jω)|和相角j(ω)隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖或Nyqusit圖（奈氏圖）。以橫軸為實軸、縱軸為虛軸。--幅相頻率特性曲線（Nyqusit曲線）

是ω的偶函數(shù)，是ω的奇函數(shù)，因此，ω：0→-∞時，G(-jω)與G(jω)關(guān)于實軸對稱。G(jw2

)G(jw1

)w0ReImω＝０ω＝∞當(dāng)前第29頁\共有207頁\編于星期二\13點30共軛對稱共軛對稱一般作圖方法(1)手工繪制取ω=0和ω=∞兩點，必要時還應(yīng)在0<ω<∞之間選取一些特殊點，算出這些點處的幅值和相角，然后在幅相平面上作出這些點，并用光滑的曲線將它們連接起來。(2)用計算機繪制當(dāng)前第30頁\共有207頁\編于星期二\13點312.伯德圖--對數(shù)頻率特性曲線（Bode曲線）

伯德圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成，都以頻率為橫軸變量。慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前第31頁\共有207頁\編于星期二\13點32(1)伯德圖的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分度：橫坐標(biāo)采用不均勻的對數(shù)刻度縱坐標(biāo)采用線性刻度半對數(shù)坐標(biāo)lgω0132ω１2345678910100lgω00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100ω

線性分度：變量增大1時，坐標(biāo)間距離變化一個單位長度。對數(shù)分度：變量增大10倍時，坐標(biāo)間距離變化一個單位長度。當(dāng)前第32頁\共有207頁\編于星期二\13點33縱坐標(biāo)分度：

對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)--對數(shù)幅值L(ω)=20lgA(ω)對數(shù)相頻特性曲線單位：分貝(dB)單位：度(o)或弧度

以頻率ω的對數(shù)值lgω

進行線性分度，但為了便于觀察仍標(biāo)以ω的值，因此對ω

而言是非線性刻度。Dec(十倍頻程)：ω每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個單位長度。當(dāng)前第33頁\共有207頁\編于星期二\13點34(2)使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點①由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，展寬了低頻段，壓縮了高頻段；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性②縱坐標(biāo)采用L(ω)=20lgA(ω)可以將幅值的乘法運算轉(zhuǎn)化為加法運算；當(dāng)前第34頁\共有207頁\編于星期二\13點35③所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示；④對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。當(dāng)前第35頁\共有207頁\編于星期二\13點36(3)關(guān)于Bode圖的說明①由于橫坐標(biāo)采用ω的對數(shù)刻度，所以ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來；②橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。當(dāng)前第36頁\共有207頁\編于星期二\13點37本章主要內(nèi)容：

1、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性

2、開環(huán)幅相曲線繪制

3、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線繪制

4、傳遞函數(shù)的頻率實驗確定§5.2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性當(dāng)前第37頁\共有207頁\編于星期二\13點一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性38系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由一系列具有不同傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)所組成當(dāng)前第38頁\共有207頁\編于星期二\13點39G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o1．比例環(huán)節(jié)0KReIm比例環(huán)節(jié)的奈氏圖(1)奈氏圖奈氏圖是實軸上的K點。G(s)=K

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性起始角，起始點的相位角當(dāng)前第39頁\共有207頁\編于星期二\13點40

比例環(huán)節(jié)的伯德圖對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：(2)伯德圖20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ωL(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)φ(ω)K不同時：幅頻曲線上下平移，相頻曲線不變。當(dāng)前第40頁\共有207頁\編于星期二\13點41傳遞函數(shù):

G(s)=Kdb40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0120lgK對數(shù)幅頻特性L(w)=20lgK相頻特性

j(w)=0比例環(huán)節(jié)K>1時20lgKK=1時20lgKK<1時當(dāng)前第41頁\共有207頁\編于星期二\13點422．慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1

A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏圖繪制奈氏圖近似方法:

根據(jù)幅頻特性和相頻特性求出特殊點,然后將它們平滑連接起來.ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊點：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以證明：

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓。ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-45當(dāng)前第42頁\共有207頁\編于星期二\13點43整理得：證明:當(dāng)前第43頁\共有207頁\編于星期二\13點44傳遞函數(shù)幅頻特性：相頻特性：0K當(dāng)前第44頁\共有207頁\編于星期二\13點45(2)伯德圖ω

<1/T頻段,可用0dB漸近線近似代替。L(ω)=20lg11+(ωT)2ω<<1T(ωT)2<<120lg1=0dB~~L(ω)

慣性環(huán)節(jié)的伯德圖ω>>1T(ωT)2>>120lgωT1~~L(ω)

=-20lgωTω

>1/T頻段，可用-20dB/dec漸近線近似代替

兩條漸近線相交點的頻率為轉(zhuǎn)折頻率ω

=1/T。

漸近線所產(chǎn)生的最大誤差值為：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBL(ω)/dB漸近線轉(zhuǎn)折/交接頻率漸近線精確曲線-20020-20dB/decT110T110Tω相頻特性曲線：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞ω0-45-90φ(ω)wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4當(dāng)前第45頁\共有207頁\編于星期二\13點46傳遞函數(shù):對數(shù)幅頻特性，為對數(shù)幅頻特性的高頻段相頻特性漸近線精確曲線轉(zhuǎn)折頻率當(dāng)，為對數(shù)幅頻特性的低頻段當(dāng)，為對數(shù)幅頻特性的轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折頻率當(dāng)前第46頁\共有207頁\編于星期二\13點473．積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性(1)奈氏圖積分環(huán)節(jié)奈氏圖G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o0當(dāng)前第47頁\共有207頁\編于星期二\13點48(2)伯德圖對數(shù)幅頻特性：

對數(shù)相頻特性：

積分環(huán)節(jié)的伯德圖L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90oΦ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

當(dāng)前第48頁\共有207頁\編于星期二\13點49db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.01傳遞函數(shù):

G(s)=1/s對數(shù)幅頻特性L(w)=-20lg

w相頻特性

分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

當(dāng)前第49頁\共有207頁\編于星期二\13點504．微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性(1)奈氏圖

微分環(huán)節(jié)奈氏圖G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o0ω=0ω=∞當(dāng)前第50頁\共有207頁\編于星期二\13點51(2)伯德圖微分環(huán)節(jié)的伯德圖對數(shù)幅頻特性：

對數(shù)相頻特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90oΦ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec090當(dāng)前第51頁\共有207頁\編于星期二\13點52當(dāng)前第52頁\共有207頁\編于星期二\13點535．一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性：幅頻特性和相頻特性：G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏圖1ReIm0∞ω=0一階微分環(huán)節(jié)奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o當(dāng)前第53頁\共有207頁\編于星期二\13點54--轉(zhuǎn)折/交接頻率高頻漸近線斜率為20dB/Dec對數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線(2)伯德圖db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020當(dāng)前第54頁\共有207頁\編于星期二\13點55

對數(shù)幅頻特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比,所以它們的伯德圖對稱于橫軸.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21當(dāng)前第55頁\共有207頁\編于星期二\13點56db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前第56頁\共有207頁\編于星期二\13點57６．二階微分環(huán)節(jié)（１）奈氏圖當(dāng)前第57頁\共有207頁\編于星期二\13點58--轉(zhuǎn)折/交接頻率（２）伯德圖高頻漸近線斜率為40dB/Dec對數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線當(dāng)前第58頁\共有207頁\編于星期二\13點59伯德圖當(dāng)前第59頁\共有207頁\編于星期二\13點60

７．振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性：幅頻特性和相頻特性：G(s)=s2+2ωn2ζωns+ωn2G(jω)=ωn2ωn

2-ω2+j2ζ

ωnωA(ω)=(ωnωn22-ω2)2+(2ζωnω)2=(1-ωω2ωn1)222n)2+(ζω當(dāng)前第60頁\共有207頁\編于星期二\13點61

振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖(1)奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oReIm01ω=0ω=ωnξ=0.8ξ=0.6ξ=0.4ω∞ω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線因ζ值的不同而異.當(dāng)前第61頁\共有207頁\編于星期二\13點62(2)伯德圖

對數(shù)幅頻特性：(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1L(ω)=20lgω<<ωnL(ω)≈20lg1=0dBω>>ωnL(ω)≈-40lgωωn

對數(shù)相頻特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞→轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn當(dāng)前第62頁\共有207頁\編于星期二\13點63=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=1當(dāng)>>1時,即高頻段漸近線當(dāng)<<1時,即低頻段漸近線漸近線振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第63頁\共有207頁\編于星期二\13點64

從圖可知,當(dāng)ζ較小時，對數(shù)幅頻特性曲線出現(xiàn)了峰值，稱為諧振峰值Mr，對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率ωr。dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ζ2

(0≤ζ≤0.707)

Mr=A(ωr)=2ζ1-ζ21可求得代入得

精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關(guān)，ζ過大或過小，誤差都較大，曲線應(yīng)作出修正。當(dāng)前第64頁\共有207頁\編于星期二\13點65漸近線誤差用漸進特性近似表示對數(shù)幅頻特性存在誤差誤差曲線為一曲線簇，根據(jù)誤差曲線可以修正漸進特性曲線而獲得準(zhǔn)確曲線當(dāng)前第65頁\共有207頁\編于星期二\13點８.延遲環(huán)節(jié)66

延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個單位圓(1)奈氏圖1ω=00ReImG(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τωc(t)=1(t-τ)r(t-τ)當(dāng)前第66頁\共有207頁\編于星期二\13點67（2）伯德圖時滯環(huán)節(jié)的伯德圖φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-300延遲環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響是造成了相頻特性的明顯變化當(dāng)前第67頁\共有207頁\編于星期二\13點68慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于0dB線對稱；對數(shù)相頻特性曲線關(guān)于0o線對稱。典型環(huán)節(jié)綜合分析當(dāng)前第68頁\共有207頁\編于星期二\13點69純微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)當(dāng)前第69頁\共有207頁\編于星期二\13點70振蕩環(huán)節(jié)二階微分當(dāng)前第70頁\共有207頁\編于星期二\13點71環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

斜率(dB/dec)特殊點φ(ω)常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表s2+2ωnζωns+ωn221+τs0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率1ω=τ轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性比例微分振蕩00，-20-20-400，200，-40當(dāng)前第71頁\共有207頁\編于星期二\13點72※對于最小相位系統(tǒng)而言,幅頻特性和相頻特性之間有著確定的單值關(guān)系。

最小相位傳遞函數(shù)：在復(fù)平面S的右半面既沒有極點、也沒有零點的開環(huán)傳遞函數(shù)?！籀亍迺r,幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec,

其中n,m分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項式的階數(shù),而相角等于-90°(n-m),則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。※具有相同幅頻特性的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。

最小相位系統(tǒng)當(dāng)前第72頁\共有207頁\編于星期二\13點73

９．非最小相位環(huán)節(jié)

開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有S右半平面上的極點和零點的環(huán)節(jié),稱為最小相位環(huán)節(jié);

而開環(huán)傳遞函數(shù)中含有S右半平面上的極點或零點的環(huán)節(jié),則稱為非最小相位環(huán)節(jié)。

最小相位環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。而對非最小相位環(huán)節(jié)來說，就不存在這種關(guān)系。當(dāng)前第73頁\共有207頁\編于星期二\13點74(1)比例環(huán)節(jié)：(2)慣性環(huán)節(jié)：(3)一階微分環(huán)節(jié)：(4)振蕩環(huán)節(jié)：(5)二階微分環(huán)節(jié)：

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)＋＋＋＋＞當(dāng)前第74頁\共有207頁\編于星期二\13點

的幅相曲線

幅相曲線75當(dāng)前第75頁\共有207頁\編于星期二\13點幅相曲線76當(dāng)前第76頁\共有207頁\編于星期二\13點對數(shù)頻率特性曲線77當(dāng)前第77頁\共有207頁\編于星期二\13點對數(shù)頻率特性曲線78當(dāng)前第78頁\共有207頁\編于星期二\13點對數(shù)頻率特性曲線79當(dāng)前第79頁\共有207頁\編于星期二\13點80非最小相位的慣性環(huán)節(jié)最小相位的慣性環(huán)節(jié)＋－其幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關(guān)于實軸對稱。舉例分析最小相位環(huán)節(jié)與非最小相位環(huán)節(jié)區(qū)別及聯(lián)系當(dāng)前第80頁\共有207頁\編于星期二\13點81最小相位的慣性環(huán)節(jié)非最小相位的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線相同；相頻特性曲線關(guān)于0o線對稱。

這些特點同樣適合于其他最小相位環(huán)節(jié)對。當(dāng)前第81頁\共有207頁\編于星期二\13點82二、系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積

極坐標(biāo)形式：求系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性：首先計算ω=0和ω=∞時開環(huán)頻率特性的幅值及相角,然后分析或計算中間過程，繪制極坐標(biāo)圖。當(dāng)前第82頁\共有207頁\編于星期二\13點（1）確定開環(huán)幅相曲線的起點和終點；83繪制奈氏圖的三要素（2）確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點

或為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線與實軸交點為（3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。當(dāng)前第83頁\共有207頁\編于星期二\13點84020例1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

當(dāng)時幅值：相角：當(dāng)時幅值：相角：當(dāng)前第84頁\共有207頁\編于星期二\13點850當(dāng)時幅值：相角：例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=,試?yán)L制極坐標(biāo)圖。

－KT當(dāng)時幅值：相角：當(dāng)前第85頁\共有207頁\編于星期二\13點86例3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

0當(dāng)時幅值：相角：當(dāng)時幅值：相角：當(dāng)前第86頁\共有207頁\編于星期二\13點87例4比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：每增加一個積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后90°；若增加λ個積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后λ90°。當(dāng)前第87頁\共有207頁\編于星期二\13點88例5比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：結(jié)論：每增加一個一階環(huán)節(jié)，當(dāng)ω→∞時，相位應(yīng)滯后90°。當(dāng)前第88頁\共有207頁\編于星期二\13點89例6：比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：思考題：當(dāng)前第89頁\共有207頁\編于星期二\13點最小相位系統(tǒng)奈氏圖小結(jié)：90一般情況1.0型系統(tǒng)：無積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=0當(dāng)前第90頁\共有207頁\編于星期二\13點912.1型系統(tǒng)：有一個積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=13.2型系統(tǒng)：有2個積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=2ω=0時ω=∞時0型1型2型起始幅角與系統(tǒng)型號有關(guān)n-m=1n-m=2n-m=3終止幅角與n-m個數(shù)有關(guān)注意：若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有在右半平面的極點或零點，幅相曲線的起點和終點不具有以上規(guī)律！當(dāng)前第91頁\共有207頁\編于星期二\13點924.ω→0時的漸近線平行于虛軸的漸近線平行于實軸的漸近線當(dāng)前第92頁\共有207頁\編于星期二\13點935.極坐標(biāo)曲線與實、虛軸的交點求與虛軸的交點，令實部為0。求與實軸的交點，令虛部為0。當(dāng)前第93頁\共有207頁\編于星期二\13點94例1

某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為０°-900，故該系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線中起點為：終點為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性當(dāng)前第94頁\共有207頁\編于星期二\13點95令，得，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在處外與實軸無交點。由于、可正可負(fù)，故系統(tǒng)幅相曲線在第Ⅱ和第Ⅰ象限內(nèi)變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如左圖虛線所示。

由于，而非最小相位比例環(huán)節(jié)的相角恒為，故此時系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線相對于最小相位比例環(huán)節(jié)的曲線，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)而得。

w00>Kj當(dāng)前第95頁\共有207頁\編于星期二\13點96例2:設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：(K,T1,T2>0)，試?yán)L制其開環(huán)極坐標(biāo)圖。解：分析：1.w=0時當(dāng)ω→0時，G(jω)漸近線是一條通過實軸-K(T1+T2)，且平行于虛軸的直線。當(dāng)前第96頁\共有207頁\編于星期二\13點972.當(dāng)w→∞時3.與實軸的交點令：Q(w)

=0解得：交點為：ImRe極坐標(biāo)圖：當(dāng)前第97頁\共有207頁\編于星期二\13點98幅值和相角分別為:先繪制慣性環(huán)節(jié)G1(jω)的極坐標(biāo)圖

在每一個頻率ω上幅值保持不變,相角再增加-ωτ,即得該系統(tǒng)的奈氏圖例3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)是試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。當(dāng)前第98頁\共有207頁\編于星期二\13點99

例4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。解：

n=mG(s)=K(1+τs)1+Ts1+(ωτ)21+(ωT)2KA(ω)=φ(ω)=tg-1ωτ-tg-1ωT1)τ>Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)>Kφ(ω)>0oω=∞A(ω)>Kφ(ω)=0oKτ

Tω=∞Kω=0Re0Imτ>T的奈氏圖2)τ<Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)<Kφ(ω)<0oω=∞A(ω)<Kφ(ω)=0oτ<T的奈氏圖ω=∞Kω=0Re0ImKτ

T當(dāng)前第99頁\共有207頁\編于星期二\13點100例5已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為起點：終點：與實軸的交點：當(dāng)前第100頁\共有207頁\編于星期二\13點101因為從單調(diào)減至，故幅相曲線在第第Ⅲ象限與第Ⅱ象限間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。當(dāng)前第101頁\共有207頁\編于星期二\13點102

例1已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解：G(s)=(S+10)S(2S+1)G(s)=10(0.1S+1)S(2S+1)1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化解2)畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線。G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2Φ(ω)L(ω)/dBL1L3L2L41100.5

-20020400-180-9090-40dB/dec-20dB/decωG2(s)=1SG3(s)=0.1S+1G4(s)=2S+113）將各環(huán)節(jié)的曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。三、系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性當(dāng)前第102頁\共有207頁\編于星期二\13點103例2：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫bode圖。步驟：（1）找交接頻率：（2）寫出頻率特性表達式：交接頻率當(dāng)前第103頁\共有207頁\編于星期二\13點104（3）畫漸近特性：當(dāng)前第104頁\共有207頁\編于星期二\13點105通過上例可知：

根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線。

低頻段幅頻特性近似表示為：低頻段曲線的斜率低頻段曲線的高度L(ω)≈20lgK-20lgωυ-20υdB/decL(1)=20lgK當(dāng)前第105頁\共有207頁\編于星期二\13點106繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟和方法:寫出以時間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的系統(tǒng)頻率特性。(2)求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并從小到大依次標(biāo)注在對數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。(3)計算20lgK的分貝值,其中K是系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。過ω=1,20lgK這一點,做斜率為-20νdB/dec的直線,此即為低頻段的漸近線或其延長線,其中ν是開環(huán)系統(tǒng)包含串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。當(dāng)前第106頁\共有207頁\編于星期二\13點107(4)繪制對數(shù)幅頻特性的其它漸近線。從低頻段漸近線開始,從左到右,每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就按上述規(guī)律改變一次斜率。直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止；如有必要再利用誤差曲線修正,得到精確對數(shù)幅頻特性的光滑曲線。(5)畫出各典型環(huán)節(jié)的相頻特性，疊加后得到開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性曲線。慣性環(huán)節(jié)：-20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)：-40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)：+20dB/dec二階微分環(huán)節(jié)：+40dB/dec注意：對數(shù)幅頻特性曲線上要標(biāo)明斜率！當(dāng)前第107頁\共有207頁\編于星期二\13點例3試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的對數(shù)坐標(biāo)圖。

108ω1=0.5

ω2=2

ω3=8

3、過ω=1,20log4=12dB這一點,作-20dB/dec的直線(ν=1),即為該系統(tǒng)低頻漸近線。4、沿低頻漸近線開始,從左到右,在每個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處相應(yīng)改變系統(tǒng)漸近線斜率。

1、將此傳遞函數(shù)改寫為用時間常數(shù)表示的形式,其頻率特性為：2、計算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：2、各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：2、各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-20db/十倍頻程-60db/十倍頻程當(dāng)前第108頁\共有207頁\編于星期二\13點例4繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的對數(shù)幅頻特性曲線解：a.確定轉(zhuǎn)折頻率ω1=1，ω2=2.5，ω3=5，ω4=1/0.04=25b.確定L(ω)起始段的高度和斜率過ω=1，L(ω)=20dB點畫斜率為-20dB/dec的直線0204060-60-40-20L(ω)(dB)ω109ω1ω=1ω2ω=2.5ω3ω=5ω4ω=25Kv-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-80db/十倍頻程當(dāng)前第109頁\共有207頁\編于星期二\13點110例5:畫出系統(tǒng)的Bode圖解：G(s)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(s)=10(0.5S+1)S(S+1)(0.05S+1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化各轉(zhuǎn)折頻率為：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/decφ(ω)L(ω)/dB-2002040ω1=1ω2=2ω3=20低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω=0φ(ω)=-90oω=∞φ(ω)=-180o當(dāng)前第110頁\共有207頁\編于星期二\13點111例6系統(tǒng)開環(huán)傳函為：試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。解：1.該系統(tǒng)是II型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(1,20)斜率為：-20ν=-40dB/dec當(dāng)前第111頁\共有207頁\編于星期二\13點1123.開環(huán)對數(shù)幅頻特性：ω

110220100一階微分振蕩環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)斜率變化環(huán)節(jié)-20dB/dec+20dB/dec-40dB/dec當(dāng)前第112頁\共有207頁\編于星期二\13點113例8開環(huán)系統(tǒng)傳函為：，試畫出該系統(tǒng)的伯德圖。解：1.該系統(tǒng)是1型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(1,20lgK)斜率為：-20ν=-20dB/dec3.伯德圖如下：L(ω)ω當(dāng)前第113頁\共有207頁\編于星期二\13點114例9系統(tǒng)開環(huán)傳函為：，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。解：1.該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(1,20)斜率為：-20ν=0dB/dec3.開環(huán)對數(shù)幅頻特性如下：-40dB/dec-60dB/dec124100ωL(ω)20當(dāng)前第114頁\共有207頁\編于星期二\13點115紅線為漸近線，藍線為實際曲線。當(dāng)前第115頁\共有207頁\編于星期二\13點1163）繪制低頻段漸近特性線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸近特性曲線在交接頻率前斜率為，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故在頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性的斜率取決于，因而直線斜率為為獲得低頻漸近線，還需確定該直線上的一點，可以采用以下三種方法：方法一：在范圍內(nèi)，任選一點，計算

方法二：取頻率為特定值，則2）確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對數(shù)坐標(biāo)圖的軸上；1）開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；對數(shù)頻率特性曲線繪制的步驟：當(dāng)前第116頁\共有207頁\編于星期二\13點117方法三：取為特殊值0，則有，即過在范圍內(nèi)作斜率為的直線。顯然，若有，則點位于低頻漸近特性曲線的延長線上。4）作頻段漸近特性線：在頻段，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線。每兩個相鄰交接頻率之間為直線，在每個交接頻率點處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該交接頻率對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類，如下表所示。

當(dāng)前第117頁\共有207頁\編于星期二\13點118注意：當(dāng)系統(tǒng)的多個環(huán)節(jié)具有相同交接頻率時，該交接頻率點處斜率的變化應(yīng)為各個環(huán)節(jié)對應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。

以的低頻漸近線為起始直線，按交接頻率由小到大順序和由表確定斜率變化，再逐一繪制直線。當(dāng)前第118頁\共有207頁\編于星期二\13點119四、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒灤_定1.頻率響應(yīng)實驗信號源對象記錄儀

sinωt2.傳遞函數(shù)確定G(s)=Sυ∏(TjS+1)n-υj=1k∏(τiS+1)i=1m

根據(jù)Bode圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益K和ν的值，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時間常數(shù)等參數(shù)。當(dāng)前第119頁\共有207頁\編于星期二\13點1201）ν=0低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖20lgKX-40dB/dec0ωL(ω)/dB-20dB/decωcL(ω)=20lgK=χK=1020Χ即（1）根據(jù)低頻段漸近線或其延長線在ω

=1的分貝值，根據(jù)傳函中積分環(huán)節(jié)υ的不同分別確定開環(huán)增益K。當(dāng)前第120頁\共有207頁\編于星期二\13點121ωL(ω)/dB1ω1ωc-20dB/dec-40dB/dec0低頻段的曲線或其延長線與橫軸相交點的頻率為ω02）ν=1ω020lgKL(ω)=20lgKω=1lgω0-lg120lgK=2020lgK=20lgω0K=ω0系統(tǒng)的伯德圖：因為故當(dāng)前第121頁\共有207頁\編于星期二\13點122

0ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/decωc1L(ω)/dB3）ν=2lgω0-lg120lgK=4020lgK=40lgω0K=ω02系統(tǒng)的伯德圖：L(ω)=20lgKω=120lgK低頻段的曲線與橫軸相交點的頻率為ω0ω0因為故當(dāng)前第122頁\共有207頁\編于星期二\13點123(2)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；低頻段斜率為-20dB/dec，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有個積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為型系統(tǒng)。(3)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達式；當(dāng)某處系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時，此即為某個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。當(dāng)前第123頁\共有207頁\編于星期二\13點124ω0=3.164020-200L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec2例1最小相位系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:

對數(shù)頻率特性曲線ω1=0.5ω2=2K=(ω0)2=10G(s)=10(2S+1)S2(0.5S+1)當(dāng)前第124頁\共有207頁\編于星期二\13點125ω

0.1120例2.已知某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實驗獲得的對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)υ=1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為-20dB/dec當(dāng)前第125頁\共有207頁\編于星期二\13點126(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直線上K=1ω

0.1120(3)確定開環(huán)增益K當(dāng)前第126頁\共有207頁\編于星期二\13點127例3[例5-7]已知某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)漸進特性曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定積分環(huán)節(jié)(或微分環(huán)節(jié))的個數(shù)υ=-1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為+20dB/dec

一個微分環(huán)節(jié)當(dāng)前第127頁\共有207頁\編于星期二\13點128(1,0)和(ω1,12)位于+20dB/dec的直線上ω1

=3.98(ω2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直線上ω2

=50.1求ω1,ω2,

ζ當(dāng)前第128頁\共有207頁\編于星期二\13點129K=1(3)確定開環(huán)增益K20lgK=0諧振峰值當(dāng)前第129頁\共有207頁\編于星期二\13點130例4由實測數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。ω0=3.16解:由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41Mr==1.41ξ2ξ1-21得：ξ1=±0.92ξ2=±0.38根據(jù)0≤ξ≤0.707取ξ=0.38S23.162由頻率曲線得G(s)=L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBωφ(ω)0-180-90-270ω0(0.25S2+0.38S+1)(2S+1)當(dāng)前第130頁\共有207頁\編于星期二\13點131例5已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。K1STs+1-hr(t)h(t)解:將測得的對數(shù)曲線近似成漸近線:L(ω)/dBω20-200φ(ω)0-180-90ω1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(S+1)(S/4+1)=10.25S2+1.25S+1)當(dāng)前第131頁\共有207頁\編于星期二\13點§

5.３頻率域穩(wěn)定判據(jù)

本節(jié)主要內(nèi)容：

1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2

、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

3

、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)132當(dāng)前第132頁\共有207頁\編于星期二\13點133

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是頻率分析法的重要內(nèi)容。奈氏判據(jù)能夠：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定(絕對穩(wěn)定性)；確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度(相對穩(wěn)定性)；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。當(dāng)前第133頁\共有207頁\編于星期二\13點幅角定理1341.點的映射s0F(s0)閉環(huán)特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)［s］［F(s)］

奈魁斯特判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的映射定理,又稱幅角定理。

一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)前第134頁\共有207頁\編于星期二\13點1352.圍線的映射ReImF（s）平面s平面與F(s)平面的映射關(guān)系S平面z1,z2

……

zm——為F(s)的零點p1,p2

,……pn——為F(s)的極點當(dāng)前第135頁\共有207頁\編于星期二\13點136（1）在s平面上順時針不包圍F(s)任何零、極點的圍線s

，映射到F(s)平面上的s’必不包圍F(s)的坐標(biāo)原點。ReImS平面F（s）平面當(dāng)前第136頁\共有207頁\編于星期二\13點137（2）在s平面上順時針包圍F(s)的一個零點的圍線s，映射到F(s)平面上的s’必順時針包圍F(s)的坐標(biāo)原點一周。ReIm封閉曲線包圍z1時的映射情況S平面F（s）平面（逆時針）（極點）p0當(dāng)前第137頁\共有207頁\編于星期二\13點138（3）s平面上順時針包圍F(s)的z個零點（或P個極點）的圍線s，映射到F(s)平面的s’必順（或逆）時針包圍F(s)的坐標(biāo)原點z(或P）周。如果s平面上的封閉曲線以順時針方向包圍函數(shù)F(s)的Z個零點和P個極點,則F(s)平面上的映射曲線相應(yīng)地包圍坐標(biāo)原點N次,

Ｎ

=P-Z若P>Ｚ,N為正值，包圍方向為逆時針;若P<Ｚ,N為負(fù)值，包圍方向為順時針。這種映射關(guān)系,稱為映射定理。一般情況：當(dāng)前第138頁\共有207頁\編于星期二\13點139設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

F(s)=1+G(s)H(s)=0代入特征方程,得其開環(huán)傳遞函數(shù)特征函數(shù)1)F(s)的分子與分母多項式的階次相同；2)F(s)的極點就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；3)F(s)的零點就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；4)復(fù)平面F與復(fù)平面GH只相差常數(shù)1，F(xiàn)平面的原點就是GH平面的(-1,j0)點。特點：當(dāng)前第139頁\共有207頁\編于星期二\13點140閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根,即F(s)的零點,都位于S平面的左半平面,或者說F(s)的所有零點都不在S平面的右半平面內(nèi)。s平面上的封閉曲線ss包圍了根平面的整個不穩(wěn)定區(qū)。稱作奈氏軌跡。①開環(huán)傳函中無s=0極點當(dāng)前第140頁\共有207頁\編于星期二\13點141F（jω）=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)

的映射：

的映射：以實軸為對稱當(dāng)前第141頁\共有207頁\編于星期二\13點142

在s平面上的奈氏軌跡線順時針包圍F(s)的P個極點和z個零點，那么奈氏軌跡線映射到GH平面的GH(jω)為逆時針包圍(-1，j0)點N周，且N=P-Z。式中：Z——閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的特征根的個數(shù)；P——開環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定極點的個數(shù)。二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)前第142頁\共有207頁\編于星期二\13點143關(guān)于奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的說明：P=０(即開環(huán)是穩(wěn)定的）,

如果系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的，則Z=0，所以N必為0,

也即開環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)不包圍(-1,j0)點；(2)P≠0（即開環(huán)不穩(wěn)定）,若使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定則Z=0，所以N=P-Z=P

即開環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)逆時針包圍(-1,j0)點P周（3）GΗ(jω)通過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)前第143頁\共有207頁\編于星期二\13點

反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是半閉合曲線ΓGH不穿過(-1,j0)點且逆時針包圍臨界點(-1,j0)圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實部極點數(shù)P。144奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)前第144頁\共有207頁\編于星期二\13點145例1試用奈氏判據(jù)分析下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:頻率特性

系統(tǒng)的奈氏曲線如圖：因為P=0，N=0，計算Z=P-N=0，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)前第145頁\共有207頁\編于星期二\13點146例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，

N=0∴Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)前第146頁\共有207頁\編于星期二\13點147例3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第147頁\共有207頁\編于星期二\13點148②開環(huán)傳函中有s=0的極點奈魁斯特軌跡映射圖s∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第148頁\共有207頁\編于星期二\13點149

當(dāng)開環(huán)傳函有ν個s=0的極點時，起終點為ω=0－、0＋的半徑無窮小半圓，映射到GH平面的頻特是從ω=0－起，以無窮大半徑順時針繞原點轉(zhuǎn)過ν180°后終止于ω=0＋點。

時的奈氏曲線

時的奈氏曲線當(dāng)前第149頁\共有207頁\編于星期二\13點150例4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析當(dāng)時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:開環(huán)頻率特性幅頻特性和相頻特性：當(dāng)前第150頁\共有207頁\編于星期二\13點151(a)當(dāng)時：(a)因為P=0,N=0，所以Z=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)前第151頁\共有207頁\編于星期二\13點152(b)當(dāng)時：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定當(dāng)前第152頁\共有207頁\編于星期二\13點153(c)當(dāng)時：因為P=0,N=-2，所以Z=P-N=2，該系統(tǒng)閉環(huán)是不穩(wěn)定的。當(dāng)前第153頁\共有207頁\編于星期二\13點154例5設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅰ型系統(tǒng))映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)前第154頁\共有207頁\編于星期二\13點155例6某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅱ型系統(tǒng))映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當(dāng)前第155頁\共有207頁\編于星期二\13點156對應(yīng)的曲線為起始點逆時針作半徑無窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。因為奈氏曲線為ω由０→

∞的范圍變化時的曲線，因此含有積分環(huán)節(jié)時注意：當(dāng)前第156頁\共有207頁\編于星期二\13點157通常，只畫出ω=0→+∞的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為：Z=P-2N／。式中，N／為ω=0→+∞變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點，N／=00型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點，N／=-1Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)當(dāng)前第157頁\共有207頁\編于星期二\13點

根據(jù)半閉合曲線可獲得包圍原點的圈數(shù)R。設(shè)N為穿越點左側(cè)負(fù)實軸的次數(shù)，表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越），表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則158閉合曲線包圍原點圈數(shù)R的計算當(dāng)前第158頁\共有207頁\編于星期二\13點（圖a）159（圖b）（圖c）（圖d）D圖中，b點從上向下運動至實軸停止為半次正穿越點A，B為奈氏曲線與負(fù)實軸的交點，按穿越負(fù)實軸上段的方向，分