線性系統(tǒng)的頻域分析法詳解演示文稿

線性系統(tǒng)的頻域分析法詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析法當(dāng)前第2頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)輸入不相頻率的正弦信號，測量穩(wěn)態(tài)輸出正弦的幅值和相位差?？衫L出輸入、輸出幅值比和相位差與頻率的關(guān)系曲線。輸入、輸出正弦幅值比與頻率的關(guān)系定義為幅頻特性A(ω)CM(ω)——輸出正弦函數(shù)穩(wěn)態(tài)時(shí)的幅值；RM(ω)——輸入正弦函數(shù)的幅值。輸入、輸出正弦相位差與頻率的關(guān)系，定義為系統(tǒng)的相頻特性——輸出正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)的相位角；——輸入正弦的相位角。當(dāng)前第3頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)反之，已知系統(tǒng)的頻率特性G(jω)，可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出正弦的復(fù)數(shù)形式：穩(wěn)態(tài)輸出正弦的復(fù)數(shù)形式與輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)形式之比是－個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幅值就是幅頻特性，復(fù)數(shù)的幅角就是相頻特性。因此，可定義系統(tǒng)的頻率特性G(jω)：把輸入正弦和穩(wěn)態(tài)輸出正弦寫成復(fù)數(shù)形式則有：當(dāng)前第4頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.1.2頻率特性的求取

一、實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)測取頻率特性的基本原理是輸入正弦信號，測試輸出正弦信號。只是，為保證準(zhǔn)確性，采取了一些抗干擾、克服非線性等措施。當(dāng)前第5頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

例如，對于圖示的電路,當(dāng)ui(t)是正弦信號時(shí),輸出uo(t)的求取過程如下:

設(shè)ui(t)=Usinωt,則其拉氏變換為二、解析法根據(jù)頻率特性的定義，若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸入正弦信號計(jì)算出穩(wěn)態(tài)時(shí)的輸出正弦信號，可求得系統(tǒng)的頻率特性。當(dāng)前第6頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)電路的傳遞函數(shù)為對上式進(jìn)行拉氏反變換,可得輸出的象函數(shù)為當(dāng)前第7頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)第一項(xiàng)是輸出的暫態(tài)分量,第二項(xiàng)是輸出的穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí),暫態(tài)分量趨于零,電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為輸入、輸出的復(fù)數(shù)形式為根據(jù)頻率特性的定義，得電路的頻率特性為當(dāng)前第8頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)另一方面，若令電路的傳遞函數(shù)中的s=jω,得到

頻率特性等于傳遞函數(shù)令s=jω。這一結(jié)論可推廣到所有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)？設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)前第9頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)在零初始條件下，對應(yīng)的微分方程為線性系統(tǒng)輸入正弦函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出也是正弦函數(shù)，設(shè)輸入輸出的復(fù)數(shù)形式為，。代入上式由上式可得當(dāng)前第10頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)頻率特性的表示方法1)直角坐標(biāo)法

乃奎斯特圖nyquist(Gs)當(dāng)頻率ω從0→∞變化時(shí)，以jIm(ω)為縱坐標(biāo)；以Re(ω)為橫坐標(biāo)。ω從-∞→0變化時(shí)的乃氏圖與ω從0→∞變化時(shí)乃氏圖關(guān)于實(shí)軸對稱。式中Re(ω)稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性；Im(ω)稱為系統(tǒng)的虛頻特性。例如，－階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

當(dāng)前第11頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

G(jω)的軌跡上的任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的連線長度即為系統(tǒng)的幅頻特性；連線與正實(shí)軸的夾角即為相頻特性。當(dāng)頻率ω從0→∞變化時(shí)，可得到許多矢量，把矢量的端點(diǎn)連接起來，同樣可得到G(jω)的軌跡，兩種表示方法之間存在如下關(guān)系：2)極坐標(biāo)法當(dāng)前第12頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)3)對數(shù)坐標(biāo)法

分別求出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，并對幅頻特性取對數(shù)：對數(shù)幅頻特性分貝（dB）波德圖bode(Gs)以logω為橫坐標(biāo)，以L(ω)為縱坐標(biāo)繪制對數(shù)幅頻曲線；以logω為橫坐標(biāo)，以

為縱坐標(biāo)繪制對數(shù)相頻曲線。當(dāng)前第13頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)請注意對數(shù)刻度和線性刻度的區(qū)別log2*L=0.3L10倍頻程=一個(gè)單位長度L當(dāng)前第14頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)對數(shù)頻率特性采用ω的對數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮,便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對數(shù)幅頻特性采用20lgA(ω),則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算。設(shè)兩個(gè)環(huán)節(jié)的頻率特性為：系統(tǒng)由這兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，系統(tǒng)頻率特性為系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性為：即已知環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、相頻特性曲線時(shí)，只需將其疊加，就可以得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻、相頻特性曲線。當(dāng)前第15頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為G(jω)=K

相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為開環(huán)頻率特性往往是典型環(huán)節(jié)頻率系統(tǒng)的乘積，先求出環(huán)節(jié)的頻率特性，再開環(huán)頻率特性就容易了。jIm(ω)0Re(ω)K乃氏圖Bode圖對數(shù)幅頻特性和相頻特性為當(dāng)前第16頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.18)其幅頻特性和相頻特性為(5.19)由式(5.19)可見,它的幅頻特性與角頻率ω成反比,而相頻特性恒為-90°。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.20)當(dāng)前第17頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-8積分環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第18頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-9積分環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第19頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

3.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.21)其幅頻特性和相頻特性為(5.22)由式(5.22)可見,微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω,而相頻特性恒為90°。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.23)當(dāng)前第20頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-10微分環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第21頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-11微分環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第22頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.24)它的幅頻特性和相頻特性為(5.25)式(5.24)寫成實(shí)部和虛部形式,即當(dāng)前第23頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)則有即所以,慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心在(0.5,0),半徑為0.5的半圓(見圖5-12)。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.26)當(dāng)前第24頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-12慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第25頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-13慣性環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第26頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)ωT=1時(shí),ω=1/T稱為交接頻率,或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的繪制方法如下:先找到ω=1/T,L(ω)=0dB的點(diǎn),從該點(diǎn)向左作水平直線,向右作斜率為-20dB/dec的直線。在低頻段和高頻段,精確的對數(shù)幅頻特性曲線與漸近線幾乎重合。在ω=1/T附近,可以選幾個(gè)點(diǎn),把由式(5.26)算出的精確的L(ω)值標(biāo)在圖上,用曲線板光滑地連接起來,就得精確的對數(shù)幅頻特性曲線。漸近線和精確曲線在交接頻率附近的誤差列于表5-2中。表5-2慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差當(dāng)前第27頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)由表可知,在交接頻率處誤差達(dá)到最大值:一般來說,這些誤差并不影響系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。在低頻段,ω很小,Ωt<<1,φ(ω)=0°;在高頻段,ω很大,ωT>>1,φ(ω)=-90°。所以,φ(ω)=0°和φ(ω)=-90°是曲線φ(ω)的兩條漸近線,在交接頻率處有當(dāng)前第28頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)表5-3慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線角度值當(dāng)前第29頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線是一條中心點(diǎn)對稱的曲線,這可以證明如下:取兩個(gè)關(guān)于ω=1/T對稱的頻率ω1=α/T和ω2=1/(αT),則有因此有這表明φ(ω)是關(guān)于ω=1/T,φ(ω)=-45°這一點(diǎn)中心對稱的。用MATLAB畫出的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-14所示(T=1)。當(dāng)前第30頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-14MATLAB繪制的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第31頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.27)幅頻特性和相頻特性為(5.28)對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.29)當(dāng)前第32頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-15一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第33頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-16一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第34頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)6.二階振蕩環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.30)它的幅頻特性和相頻特性為(5.31)當(dāng)前第35頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.32)由式(5.31)得(ωT≤1)(ωT＞1)當(dāng)前第36頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)所以有(ω=0)(ω→+∞)當(dāng)前第37頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-17二階振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第38頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)畫二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖時(shí)分析如下：在低頻段,ω很小,ωT<<1,L(ω)=0dB；在高頻段,ω很大,ωT>>1,L(ω)=-20lg(ωT)2=-40lg(ωT)dB。其對數(shù)幅頻特性曲線可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示,如圖5-18的漸近線所示。這兩條線相交處的交接頻率ω=1/T,稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近,對數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差,其值取決于阻尼比ζ的值,阻尼比越小,則誤差越大,如表5-4所示。當(dāng)ζ＜0.707時(shí),在對數(shù)幅頻特性上出現(xiàn)峰值。根據(jù)表5-5可繪制出不同阻尼比的相頻特性曲線。二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-18所示。當(dāng)前第39頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)表5-4二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差(dB)當(dāng)前第40頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)表5-5二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線角度值當(dāng)前第41頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-18二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第42頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)7.遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.33)幅頻特性和相頻特性為(5.34)可見,其奈氏圖是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,半徑為1的圓。對數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.35)當(dāng)前第43頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-19遲后環(huán)節(jié)的奈氏圖當(dāng)前第44頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-20遲后環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第45頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)3、

控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制

1）開環(huán)頻率特性奈氏圖的繪制以后我們將會看到,在繪制奈氏圖時(shí)有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確,而只需要繪出奈氏圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置就可以了。因此,由以上典型環(huán)節(jié)奈氏圖的繪制,大致可將奈氏圖的一般作圖方法歸納如下:(1)寫出A(ω)和φ(ω)的表達(dá)式;(2)分別求出ω=0和ω=+∞時(shí)的G(jω);當(dāng)前第46頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

(3)求奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn),交點(diǎn)可利用G(jω)的虛部Im［G(jω)］=0的關(guān)系式求出,也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n為整數(shù))求出;(4)如果有必要,可求奈氏圖與虛軸的交點(diǎn),交點(diǎn)可利用G(jω)的實(shí)部Re［G(jω)］=0的關(guān)系式求出,也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數(shù))求出;(5)必要時(shí)畫出奈氏圖中間幾點(diǎn);(6)勾畫出大致曲線。當(dāng)前第47頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-1

試?yán)L制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖:解該環(huán)節(jié)開環(huán)頻率特性為ω=0,A(ω)=10,φ(ω)=0°,即奈氏圖的起點(diǎn)為(10,j0)；ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°,即奈氏圖的終點(diǎn)為(0,j0)。顯然,ω從0變化到+∞,A(ω)單調(diào)遞減,而φ(ω)則從0°到-180°但不超過-180°。當(dāng)前第48頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)可由φ(ω)=0°得到,即為(10,j0);奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)可由φ(ω)=270°(即-90°)得到,即得1-0.1ω2=0,ω2=10,則當(dāng)前第49頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)故奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0,-j2.87)。其奈氏圖如圖5-21所示。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-22所示。注意,一般手繪的奈氏圖,其頻率范圍是0~+∞,而MATLAB繪制奈氏圖時(shí),則是從-∞~+∞。MATLAB繪制程序如下：nyquist(［10］,conv(［11］,［0.11］))當(dāng)前第50頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-21例5-1的奈氏圖當(dāng)前第51頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-22MATLAB繪制例5-1的奈氏圖當(dāng)前第52頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為因此有ω=0,A(ω)=1,φ(ω)=0°和ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-∞。即奈氏圖的起點(diǎn)為(1,j0),終點(diǎn)為(0,j0),隨著ω的增大,曲線距離原點(diǎn)越來越近,相角越來越負(fù),奈氏圖與實(shí)軸和虛軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-23所示。當(dāng)前第53頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-23例5-2的奈氏圖當(dāng)前第54頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-3

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為所以有ω=0+,A(ω)=+∞,φ(ω)=-90°-Δ為正的很小量,故起點(diǎn)在第Ⅲ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。當(dāng)前第55頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)因?yàn)橄嘟菑?90°變化到-270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=-180°得即上式兩邊取正切,得2ω=1/ω,即ω=0.707,此時(shí)A(ω)=0.67。因此,奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(-0.67,j0)。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-24所示。用MATLAB繪制(-1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-25所示，其程序如下：nyquist(［1］,conv(conv(［10］,［11］),［21］))當(dāng)前第56頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

例5-3中系統(tǒng)型次即開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)ν=1,若分別取ν=2,3和4,則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角,將圖5-24曲線分別繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)－90°,－180°和－270°即可得相應(yīng)的奈氏圖,如圖5-26所示。當(dāng)前第57頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-24例5-3的奈氏圖當(dāng)前第58頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-25MATLAB繪制例5-3的奈氏圖當(dāng)前第59頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-26ν=1,2,3,4時(shí)的奈氏圖當(dāng)前第60頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-4

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中K=0.1,T=1,T1=0.2,T2=0.5。試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)前第61頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性有:ω=0+,A(ω)=+∞，φ(ω)=-90°+Δ,故奈氏圖起點(diǎn)在第Ⅳ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°+Δ,故系統(tǒng)奈氏圖在第Ⅲ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鸀椋?0°~－180°,所以必有與負(fù)虛軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=－90°得-90°+arctgω-arctg0.2ω-arctg0.5ω=-90°即arctgω=arctg0.2ω+arctg0.5ω上式兩邊取正切,得ω2=3,即ω=1.732,此時(shí)A(ω)=0.0825。所以,奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0,-j0.0825)。系統(tǒng)奈氏圖如圖5-27所示。當(dāng)前第62頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-27例5-4的奈氏圖當(dāng)前第63頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)2）開環(huán)頻率特性伯德圖的繪制控制系統(tǒng)一般總是由若干環(huán)節(jié)組成的,設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為或(5.36)當(dāng)前第64頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)則系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性為(5.37)其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)?？梢?系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別由各個(gè)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性相加得到。當(dāng)前第65頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-5

繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的零型系統(tǒng)的伯德圖。解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)前第66頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-28例5-5的伯德圖當(dāng)前第67頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)實(shí)際上,在熟悉了對數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后,不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性,然后相加,而可以采用更簡便的方法。由上例可見,零型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著ω的增加,每遇到一個(gè)交接頻率,對數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。當(dāng)前第68頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-6

設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。

解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為不難看出,此系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec,它(或者其延長線)在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處,幅頻特性的斜率由－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec,系統(tǒng)的伯德圖如圖5-29所示。當(dāng)前第69頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-29例5-6的伯德圖當(dāng)前第70頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)通過以上分析,可以看出系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn):低頻段的斜率為－20νdB/dec,ν為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。低頻段(若存在小于1的交接頻率時(shí)則為其延長線)在ω＝1處的對數(shù)幅值為20lgK。在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處,對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化,變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環(huán)節(jié),交接頻率處斜率改變±20dB/dec;如遇二階振蕩環(huán)節(jié) ,在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec,等等。當(dāng)前第71頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)綜上所述,可以將繪制對數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下:(1)將開環(huán)頻率特性分解,寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式;(2)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率,將其從小到大排列為ω1,ω2,ω3,…并標(biāo)注在ω軸上;(3)繪制低頻漸近線(ω1左邊的部分),這是一條斜率為-20νdB/dec的直線,它或它的延長線應(yīng)通過(1,20lgK)點(diǎn);(4)隨著ω的增加,每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的交接頻率,就按上述方法改變一次斜率;(5)必要時(shí)可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正,以求得更精確的曲線。對數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計(jì)算。當(dāng)前第72頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

例5-7

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。

解將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下典型環(huán)節(jié)乘積形式:當(dāng)前第73頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)可見,此系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比ζ=0.354。在確定了各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統(tǒng)的伯德圖:(1)通過點(diǎn)(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用;當(dāng)前第74頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

(3)由于一階慣性環(huán)節(jié)的影響,從ω2=2起,漸近線斜率應(yīng)減少20dB/dec,即從原來的－60dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec;(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環(huán)節(jié)的作用;(5)根據(jù)相頻特性φ(ω),求出若干點(diǎn)的相頻特性曲線角度值,如表5-6所示,將各點(diǎn)光滑連接,可以繪制系統(tǒng)的相頻特性。開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-30所示(虛線為漸近線)。繪制程序如下：bode(［1030］,conv(conv(［10］,［12］),［112］))當(dāng)前第75頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)表5-6例5-7系統(tǒng)對數(shù)相頻特性曲線角度值當(dāng)前第76頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-30例5-7的伯德圖當(dāng)前第77頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)3）最小相位系統(tǒng)在以上幾個(gè)例子中,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半部,這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù);否則,稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),稱為最小相位系統(tǒng);而具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),則稱為非最小相位系統(tǒng)。對于幅頻特性相同的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相位遲后是最小的,而非最小相位系統(tǒng)的相位遲后則必定大于前者。當(dāng)單回路系統(tǒng)中只包含比例、積分、微分、慣性和振蕩環(huán)節(jié)時(shí),系統(tǒng)一定是最小相位系統(tǒng)。如果在系統(tǒng)中存在遲后環(huán)節(jié)或者不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)(包括不穩(wěn)定的內(nèi)環(huán)回路)時(shí),系統(tǒng)就成為非最小相位系統(tǒng)。當(dāng)前第78頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)對于最小相位系統(tǒng),對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性,可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù),反之亦然。但是,對于非最小相位系統(tǒng),就不存在上述的這種關(guān)系。實(shí)用的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),為了簡化工作量,對于最小相位系統(tǒng)的伯德圖,可以只畫幅頻特性。例如有一最小相位系統(tǒng),其頻率特性為當(dāng)前第79頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)另有一非最小相位系統(tǒng),其頻率特性如下:(T2＞T1＞0)從圖5-31不難看出,這兩個(gè)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性是完全相同的,而相頻特性卻根本不同。前一系統(tǒng)的相角φ1(ω)變化范圍很小,而后一系統(tǒng)的相角φ2(ω)隨著角頻率ω的增加卻從0°變到趨于-180°。繪制程序如下：bode(［11］,［1001］)holdonbode(［-11］,［1001］)當(dāng)前第80頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-31最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖當(dāng)前第81頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-8繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的伯德圖。解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為可見,此系統(tǒng)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同,而其相頻特性卻比慣性環(huán)節(jié)多了一項(xiàng)-τω。顯然,它的遲后相角增加很快。開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-32所示。當(dāng)前第82頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-32例5-8的伯德圖當(dāng)前第83頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.3頻域穩(wěn)定性判據(jù)

1、映射定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為s為復(fù)變量,以s復(fù)平面上的s＝σ+jω表示。F(s)為復(fù)變函數(shù),記F(s)＝U+jV。(5.38)當(dāng)前第84頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)設(shè)對于s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn)s,復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù),那么,對于s平面上的每一解析點(diǎn),在F(s)平面上必定有一個(gè)對應(yīng)的映射點(diǎn)。因此,如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過F(s)的任一奇點(diǎn),則在F(s)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線,如圖5-33所示。若在s平面上的封閉曲線是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動的,則在F(s)平面上的映射曲線的運(yùn)動方向可能是順時(shí)針的,也可能是逆時(shí)針的,這取決于F(s)函數(shù)的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動方向,因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。當(dāng)前第85頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-33s平面與F(s)平面的映射關(guān)系當(dāng)前第86頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)根據(jù)式(5.38),復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為(5.39)假定在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)z1,而其他零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外,則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針方向移動一周時(shí),向量(s－z1)的相角變化-2π弧度,而其他各相量的相角變化為零。這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,也就是向量F(s)的相角變化了-2π弧度,如圖5-34所示。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn),則在F(s)平面上的映射曲線將按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周。當(dāng)前第87頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-34封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況當(dāng)前第88頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)用類似分析方法可以推論,若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個(gè)極點(diǎn),則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針移動一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線將按逆時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。綜上所述,映射定理可以歸納如下:

映射定理設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn),并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn),則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時(shí)針方向移動時(shí),在F(s)平面上的映射曲線按逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)P-Z周。當(dāng)前第89頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)2、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為m≤n

此系統(tǒng)的特征方程為當(dāng)前第90頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-35奈氏回線當(dāng)前第91頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)由上式可見,復(fù)變函數(shù)F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點(diǎn))s1、s2、…、sn,而F(s)的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、…、pn。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,特征方程的根,即F(s)的零點(diǎn),都位于s平面的左半部。為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于s平面右半部的零點(diǎn)。為此可以選擇一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,簡稱奈氏回線,如圖5-35所示。奈氏回線由兩部分組成,一部分是沿著虛軸由下向上移動的直線段C1,在此線段上s＝j(luò)ω,ω由－∞變到＋∞；另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。當(dāng)前第92頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)映射定理,當(dāng)s沿著s平面上的奈氏回線移動一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線CF=1＋G(s)H(s)將按逆時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=P－Z周。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,F(s)在s平面右半部無零點(diǎn),即Z＝0。因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù)。當(dāng)前第93頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時(shí)針方向移動一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N=P周,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有

G(s)H(s)=F(s)-1 (5.41)這意味著F(s)的映射曲線CF圍繞原點(diǎn)運(yùn)動的情況,相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(－1,j0)點(diǎn)的運(yùn)動情況,如圖5-36所示。當(dāng)前第94頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-36奈氏曲線映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上當(dāng)前第95頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)繪制映射曲線CGH的方法是:令s＝j(luò)ω代入G(s)H(s),得到開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω),按前面介紹的方法畫出奈氏圖,再畫出其對稱于實(shí)軸的、ω從0變到－∞的那部分曲線。至于映射曲線上對應(yīng)于 的部分,由于在實(shí)際物理系統(tǒng)中m≤n,當(dāng)n＞m時(shí)G(s)H(s)趨近于零,n＝m時(shí)G(s)H(s)為實(shí)常數(shù)。因此,只要繪制出ω從－∞變化到＋∞的開環(huán)頻率特性,就構(gòu)成了完整的映射曲線CGH。當(dāng)前第96頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)綜上所述,可將奈氏判據(jù)表述如下:閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時(shí),系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時(shí)針方向包圍(－1,j0)點(diǎn)P周,P為位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。顯然,若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,即位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(－1,j0)點(diǎn)。當(dāng)前第97頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-9

已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制(1)K=5,(2)K=10時(shí)的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

(1)當(dāng)K=5時(shí),開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)前第98頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)從而有ω=0+時(shí),A(ω)=5,φ(ω)=0°;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故奈氏圖在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鸀?°~－270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。當(dāng)ω=1.8時(shí),φ(ω)=-177°,A(ω)=0.66;當(dāng)ω=1.9時(shí),φ(ω)=－181°,A(ω)=0.59。所以,當(dāng)ω=ω1,1.8＜ω1＜1.9時(shí),φ(ω)=－180°,A(ω)=A1,0.59＜A1

＜0.66,因此與實(shí)軸的交點(diǎn)在(－1,j0)點(diǎn)的右側(cè)。奈氏圖如圖5-37所示。因?yàn)閟平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線不包圍(－1,j0)點(diǎn),即N=0,則Z＝P－N=0,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)前第99頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

(2)當(dāng)K=10時(shí),奈氏圖形狀與(1)相同,只是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,向外“膨脹”而已?！芭蛎洝钡谋稊?shù)為10/5=2,故與實(shí)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在(－0.59×2,－0.66×2)之間,即交點(diǎn)在(－1,j0)點(diǎn)的左側(cè)。因?yàn)閟

平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-38所示，其程序如下：

nyquist(［5］,conv(conv(［10.5］,［11］),［12］))當(dāng)前第100頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-37例5-9的奈氏圖當(dāng)前第101頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-38MATLAB繪制例5-9的奈氏圖當(dāng)前第102頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)3、虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù)虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時(shí)候,即在s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)有開環(huán)極點(diǎn)。這時(shí)不能直接應(yīng)用圖5-35所示的奈氏回線,因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)。為了在這種情況下應(yīng)用奈氏判據(jù),可以選擇圖5-39所示的奈氏回線,它與圖5-35中奈氏回線的區(qū)別僅在于,此回線經(jīng)過以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以無窮小量ε為半徑的,在s平面右半部的小半圓,繞過了開環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)。當(dāng)ε→0時(shí),此小半圓的面積也趨近于零。因此,F(s)的位于s平面右半部的零點(diǎn)和極點(diǎn)均被此奈氏回線包圍在內(nèi)，而將位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)劃到了左半部。這樣處理是為了適應(yīng)奈氏判據(jù)的要求,因?yàn)閼?yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。當(dāng)前第103頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-39虛軸上有極點(diǎn)的奈氏回線當(dāng)前第104頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)當(dāng)s沿著上述小半圓移動時(shí),有當(dāng)ω從0-沿小半圓變到0+時(shí),s按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射為ν為系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。當(dāng)前第105頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)由以上分析可見,當(dāng)s沿著小半圓從ω=0-變化到ω=0+時(shí),θ角從－90°經(jīng)0°變化到＋90°,這時(shí)在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時(shí)針方向從90ν°經(jīng)過0°轉(zhuǎn)到－90ν°。當(dāng)前第106頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-10

繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)前第107頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)從而有ω=0+時(shí),A(ω)=∞,φ(ω)=-90°-Δ,Δ為正的很小量,故起點(diǎn)在第Ⅲ象限;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鷱模?0°到－270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=－180°得即上式兩邊取正切,得0.5ω=1/ω,即ω=1.414,此時(shí)A(ω)=1.67。因此奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(－1.67,j0)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的圓弧:當(dāng)前第108頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋90°→0°→－90°奈氏圖如圖5-40所示。因?yàn)閟

平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-41所示，其程序如下：nyquist(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［12］))當(dāng)前第109頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-40例5-10的奈氏圖當(dāng)前第110頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-41MATLAB繪制例5-10的奈氏圖當(dāng)前第111頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-11

繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為從而有ω=0+時(shí),A(ω)=∞,φ(ω)=-180°-Δ,Δ為正的很小量,故奈氏圖起點(diǎn)在第Ⅱ象限;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-360°+Δ,故在第Ⅰ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。當(dāng)前第112頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋180°→0°→－180°奈氏圖如圖5-42所示。因?yàn)閟平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-43所示，其程序如下：nyquist(［10］,conv(conv(［100］,［11］),［12］))當(dāng)前第113頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-42例5-11的奈氏圖當(dāng)前第114頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-43MATLAB繪制例5-11的奈氏圖當(dāng)前第115頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)4、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)實(shí)際上是奈氏判據(jù)的另一種形式,即利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖(極坐標(biāo)圖)和伯德圖之間有如下對應(yīng)關(guān)系:奈氏圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對應(yīng)于伯德圖對數(shù)幅頻特性的0分貝線;奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于伯德圖上相頻特性的－180°線。伯德圖上,φ(ω)從－180°線以下增加到－180°線以上,稱為φ(ω)對－180°線的正穿越;反之,稱為負(fù)穿越。當(dāng)前第116頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-44例5-12的伯德圖當(dāng)前第117頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可表述如下:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,當(dāng)ω由0變到∞時(shí),在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內(nèi),相頻特性φ(ω)穿越－180°線的次數(shù)(正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差)為P/2。P為s平面右半部開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。注意,奈氏判據(jù)中,s沿著奈氏回線順時(shí)針方向移動一周,故ω由－∞變到∞,所以伯德圖中ω由0變到∞時(shí),穿越次數(shù)為P/2,而不是P。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng),此時(shí)，P=0，若在L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)穿越-180°線的次數(shù)(正穿越與負(fù)穿越之差)為0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第118頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-12

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。

解伯德圖如圖5-44所示。此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒有極點(diǎn),即P=0,而在L(ω)≥0的頻段內(nèi),相頻特性φ(ω)不穿越－180°線,故閉環(huán)系統(tǒng)必然穩(wěn)定。當(dāng)前第119頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.4穩(wěn)定裕度

從奈氏判據(jù)可知,若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn),且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,那么奈氏曲線G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高;反之,G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越近,則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低;如果G(jω)H(jω)穿過(－1,j0)點(diǎn),則意味著閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這便是通常所說的相對穩(wěn)定性,它通過G(jω)H(jω)對(－1,j0)點(diǎn)的靠近程度來度量,其定量表示為相角裕度γ和增益裕度Kg,如圖5-45所示。當(dāng)前第120頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-45相角裕度和增益裕度當(dāng)前第121頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-45相角裕度和增益裕度當(dāng)前第122頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

1.相角裕度γ

在頻率特性上對應(yīng)于幅值A(chǔ)(ω)＝1的角頻率稱為剪切頻率,以ωc表示,在剪切頻率處,相頻特性距－180°線的相位差γ叫做相角裕度。圖5-45(a)表示的具有正相角裕度的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定,而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲備,它可以在ωc的頻率下,允許相角再增加(遲后)γ度才達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此相角裕度也叫相位穩(wěn)定性儲備。對于穩(wěn)定的系統(tǒng),φ必在伯德圖－180°線以上,這時(shí)稱為正相角裕度,或者有正相角裕度,如圖5-45(c)所示。對于不穩(wěn)定系統(tǒng),φ必在－180°線以下,這時(shí)稱為負(fù)相角裕度,如圖5-45(d)所示。故有(5.42)當(dāng)前第123頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)

2.增益裕度Kg

在相頻特性等于－180°的頻率ωg處,開環(huán)幅頻特性A(ωg)的倒數(shù)稱為增益裕度,記做Kg,即(5.43)在伯德圖上,增益裕度改以分貝(dB)表示,Kg=-20lgA(ωg)。此時(shí),對于穩(wěn)定的系統(tǒng),L(ωg)必在伯德圖0dB線以下,這時(shí)稱為正增益裕度,如圖5-45(c)所示。對于不穩(wěn)定系統(tǒng),L(ωg)必在0dB線以上,這時(shí)稱為負(fù)增益裕度,如圖5-45(d)所示。以上表明,在圖5-45(c)中,對數(shù)幅頻特性還可上移Kg,即開環(huán)系統(tǒng)的增益增加Kg倍,則閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。當(dāng)前第124頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)在奈氏圖中,奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為1/Kg,它代表在頻率ωg處開環(huán)頻率特性的模。顯然,對于穩(wěn)定系統(tǒng),1/Kg

＜1,如圖5-45(a)所示;對于不穩(wěn)定系統(tǒng)有1/Kg

＞1,如圖5-45(b)所示。對于一個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng),其相角裕度應(yīng)為正值,增益裕度應(yīng)大于1。嚴(yán)格地講,應(yīng)當(dāng)同時(shí)給出相角裕度和增益裕度,才能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。但在粗略估計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)時(shí),有時(shí)主要對相角裕度提出要求。保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度,可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來的不利影響。為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲備,以及得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng),在工程實(shí)踐中,一般希望γ為45°~60°，Kg≥10dB,即Kg≥3。當(dāng)前第125頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-13

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為分別求取K1=10及K1=100時(shí)的相角裕度和增益裕度。

解相角裕度可通過對數(shù)幅頻特性用圖解法求出。K1=10時(shí),ω1=1,ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。畫出對數(shù)幅頻特性曲線,如圖5-46所示。當(dāng)前第126頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-46例5-13的伯德圖(幅頻特性)當(dāng)前第127頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)由圖可知:所以剪切頻率。相角裕度為當(dāng)K1從10變到100時(shí),幅頻特性上移20lg(100/10)＝20dB,如圖5-46中虛線所示。當(dāng)前第128頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)所以K1=100時(shí)對應(yīng)的剪切頻率為 。相角裕度為欲求增益裕度,則須先求出ωg,這里給出MATLAB計(jì)算的值,如圖5-47所示，其程序如下：sys=tf(［100］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys);figuresys=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys)當(dāng)前第129頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖當(dāng)前第130頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖當(dāng)前第131頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)1、由開環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性

對于圖5-48所示的系統(tǒng),其開環(huán)頻率特性為G(jω)H(jω),而閉環(huán)頻率特性則為因此,已知開環(huán)頻率特性,就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,也就可以繪出閉環(huán)頻率特性曲線。這里介紹的是已知開環(huán)頻率特性,定性地估計(jì)閉環(huán)頻率特性。

當(dāng)前第132頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-48閉環(huán)系統(tǒng)當(dāng)前第133頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)為單位反饋,即H(jω)=1,則一般實(shí)際系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)。所以低頻時(shí)|G(jω)|>>1,則高頻時(shí)|G(jω)|<<1,則當(dāng)前第134頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-49閉環(huán)幅頻特性當(dāng)前第135頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)例5-13

中取K1=10,則單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為而閉環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB繪制其閉環(huán)頻率特性的伯德圖如圖5-50所示，其程序如下：g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］)sys=feedback(g1,g2)margin(sys)當(dāng)前第136頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)圖5-50MATLAB繪制的閉環(huán)頻率特性伯德圖當(dāng)前第137頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)2、頻域性能指標(biāo)

圖5-51閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)當(dāng)前第138頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)截止頻率(帶寬頻率)ωb是指對數(shù)幅頻特性的幅值下降到－3dB時(shí)對應(yīng)的頻率。帶寬BW是指幅值不低于 對應(yīng)的頻率范圍,也即0~ωb的頻率范圍。帶寬反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波特性,同時(shí)也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。帶寬愈大,暫態(tài)響應(yīng)速度愈快。反之,帶寬愈小,只有較低頻率的信號才易通過,則時(shí)域響應(yīng)往往比較緩慢。當(dāng)前第139頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)諧振頻率ωr是指產(chǎn)生諧振峰值對應(yīng)的頻率,它在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的速度。ωr愈大,則暫態(tài)響應(yīng)愈快。對于弱阻尼系統(tǒng),ωr與ωb的值很接近。諧振峰值Mr是指閉環(huán)幅頻特性的最大值。它反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般而言,Mr值愈大,則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也愈大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1~1.4之間,相當(dāng)于二階系統(tǒng)的ζ為0.4＜ζ＜0.7。當(dāng)前第140頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)對于二階系統(tǒng),其幅頻特性為由 得諧振頻率ωr為

(0≤ζ≤0.707)(5.44)當(dāng)前第141頁\共有157頁\編于星期二\13點(diǎn)則諧振峰值Mr為(0≤ζ≤0.707)(5.45)由 得截止頻率(帶寬頻率)ωb為(0≤ζ≤0.707)(5.46)當(dāng)前第142頁\共有157頁\編于星期二