2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 8-1 直線的方程 學(xué)案

第八章解析幾何第一節(jié)直線的方程【課標標準】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)．必備知識·夯實雙基知識梳理1.直線的方向向量若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l上兩點，則l的方向向量的坐標為________________；若l的斜率為k，則方向向量的坐標為______________．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l________之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸________時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l的傾斜角的取值范圍為________________．3．直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α(α≠90°)的________________叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝________，傾斜角是90°的直線沒有斜率．(2)過兩點的直線的斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝________________．4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式________________不含直線x＝x0斜截式________________不含垂直于x軸的直線兩點式________________不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式________________不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式________________所有的直線都適用[常用結(jié)論]1．直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<02.特殊位置的直線方程(1)與x軸重合的直線方程為y＝0；(2)與y軸重合的直線方程為x＝0；(3)經(jīng)過點(a，b)且平行于x軸的直線方程為y＝b；(4)經(jīng)過點(a，b)且平行于y軸的直線方程為x＝a；(5)過原點且斜率為k的直線方程為y＝kx.夯實雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)坐標平面內(nèi)的任何一條直線都有傾斜角與斜率．()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等．()(4)截距就是距離．()2．(教材改編)若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D．1或43．(教材改編)過點P(2，－3)且傾斜角為45°的直線的方程為________．4．(易錯)直線xtan60°＋y－2＝0的傾斜角為()A．30° B．60°C．120° D．150°5．(易錯)過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________________________．關(guān)鍵能力·題型突破題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)[2023·重慶八中模擬]已知兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α，β.若α<β，則下列關(guān)系不可能成立的是()A．0<k1<k2 B．k1<k2<0C．k2<k1<0 D．k2<0<k1(2)[2023·山東省實驗中學(xué)模擬]已知點A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB恒相交，則k的取值范圍是()A．[12，＋∞B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[12，＋∞D(zhuǎn)．[－2，12[聽課記錄]題后師說1.由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時，常借助正切函數(shù)y＝tanx在[0，π2)∪(π2，π)上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在[0，π2)∪(π22．過一定點作直線與已知線段相交，求直線斜率取值范圍時，應(yīng)注意傾斜角為π2時，鞏固訓(xùn)練1(1)[2023·河北滄州期末]直線x－3y＋3＝0的傾斜角是()A．π6 B．C．2π3 D．(2)[2023·江西撫州期末]已知動直線l：x＋my－2＝0的傾斜角的取值范圍是π4，π3，則實數(shù)mA．(－3，－1) B．(－1，－33C．(33，1) D．(1，3題型二直線的方程例2(1)[2023·江西萬載中學(xué)模擬]經(jīng)過點A(3，4)且在兩坐標軸上的截距絕對值相等的直線方程為()A．x＋y－7＝0或x－y＋1＝0B．x＋y－7＝0或x－y＋1＝0或4x－3y＝0C．x－y－7＝0或x＋y＋1＝0D．x＋y－7＝0或x－y＋1＝0或3x－4y＝0(2)[2023·山東威海期末]一條直線l經(jīng)過P(3，－3)，并且傾斜角是直線y＝3x的傾斜角的2倍，則直線l的方程為____________．[聽課記錄]題后師說求直線方程的兩種方法鞏固訓(xùn)練2(1)[2023·河南上蔡期末]已知直線l的斜率是直線y＝3x＋1的斜率的相反數(shù)，在y軸上的截距為2，則直線l的方程為()A．y＝2x－3 B．y＝－3(x－2)C．y＝－3x＋2 D．y＝3x－2(2)已知等邊△ABC的兩個頂點A(0，0)，B4，0，且第三個頂點在第四象限，則BC邊所在的直線方程是__題型三直線方程的綜合應(yīng)用例3在平面直角坐標系中，O為坐標原點，過點P(3，1)作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B.(1)求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求當(dāng)AP·PB取得最小值時直線l的方程．[聽課記錄]題后師說利用最值取得的條件求解直線方程，一般根據(jù)條件建立目標函數(shù)，利用基本不等式求最值，此時，注意何時取等號，一定要弄清．鞏固訓(xùn)練3[2023·山東德州一中模擬]已知直線l：kx－3y＋2k＋3＝0(k∈R)．(1)判斷直線l是否過定點，如果過定點求出此定點，不過說明理由；(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．第八章解析幾何第一節(jié)直線的方程必備知識·夯實雙基知識梳理1．（x2－x1，y2－y1）（1，k）2．（1）向上的方向平行或重合（2）0°≤α＜180°3．正切值tanαy4．y－y0＝k（x－x0）y＝kx＋by-y1yxa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠夯實雙基1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：過點M(－2，m)、N(m，4)的直線的斜率等于1，所以k＝y(tǒng)2-y1x2-x1故選A.答案：A3．解析：設(shè)直線解析式為y＝x＋b，把P(2，－3)代入，得b＝－5，故直線方程為y＝x－5.答案：y＝x－54．解析：設(shè)直線的傾斜角為α，∵直線xtan60°＋y－2＝0，∴y＝－xtan60°＋2，∴直線的斜率為k＝－tan60°＝tan120°，∵0°≤α<180°，∴α＝120°.答案：C5．解析：當(dāng)截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為xa+y則2a+3a＝1，解得a＝5.所以直線方程為x＋y答案：x＋y－5＝0或3x－2y＝0關(guān)鍵能力·題型突破例1解析：(1)若0<α<β<π2，因為y＝tanx在(0，π2)上單調(diào)遞增，則0<tanα<tanβ，即0<k1<k2，所以若π2<α<β<π，因為y＝tanx在(π2，π)上單調(diào)遞增，則tanα<tanβ<0，即k1<k2<0，所以對于C選項，由k2<k1<0可知，α，β∈(π2，π)，且tanα>tanβ，即α>β與題意矛盾，若0<α<π2<β<π，則tanα>0，tanβ<0，即k2<0<k1，所以D選項可能成立故選C.(2)由直線方程y＝k(x－2)＋1，令x＝2，解得y＝1，故直線過定點(2，1)，如圖：則直線PA的斜率kPA＝1-32-1＝－2，直線PB的斜率kPB＝1+12+2＝由圖可知：k∈-2，故選D.答案：(1)C(2)D鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)直線x－3y＋3＝0的傾斜角為θ，則θ∈[0，π)，由x－3y＋3＝0得：y＝33x＋1，則斜率k＝tanθ＝3∴θ＝π6故選A.(2)由題設(shè)知：直線斜率范圍為(1，3)，即1<－1m<3，可得－1<m<－3故選B.答案：(1)A(2)B例2解析：(1)①當(dāng)直線經(jīng)過原點時，斜率k＝4-03-0＝43，所以直線方程為：y＝43x，即4x－3y②當(dāng)直線在兩坐標軸上的截距相等時，設(shè)直線方程為xa+ya＝1，將點A(3，4)代入，得3a+4a＝1，解得a＝7，所以直線方程為：x7+y7③當(dāng)直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程為xa+y-a＝1，將點A(3，4)代入，得3a+4-a＝1，解得a＝－1，所以直線方程為：x-1+y1綜上所述，直線方程為：4x－3y＝0或x＋y－7＝0或x－y＋1＝0.故選B.(2)因為直線y＝3x的斜率為3，所以直線y＝3x的傾斜角為π3所以直線l的傾斜角為2π3所以直線l的斜率為tan2π3＝－3因為直線l經(jīng)過P3，所以直線l的方程為y＋3＝－3(x－3)，即y＝－3x.答案：(1)B(2)y＝－3x鞏固訓(xùn)練2解析：(1)直線y＝3x＋1的斜率是3，因此直線l的斜率是－3，又在y軸上的截距為2，所以直線l的方程為y＝－3x＋2.故選C.(2)如圖所示：由C做x軸的垂線交x軸于D點，則D為AB的中點，即xC＝2，yC＝－2tan60°＝－23，∴C(2，－23)，∴BC邊所在的直線方程是y＝-23-02-4(x－4)，即y＝3(x－答案：(1)C(2)y＝3(x－4)例3解析：(1)∵點P(3，1)在第一象限，且直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸相交，∴直線l的斜率k<0，則設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－3)，k<0，令x＝0，得y＝－3k＋1；令y＝0，得x＝3－1k∴S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12×|－3k＋1|×3-1∵k<0，∴－1k>0，－9k>0∴S△AOB＝12(6－1k－9k)＝3－12k-9k2≥3＋2-12k·-9k2＝6∴△AOB面積的最小值為6.此時直線l的方程為y－1＝－13(x－3)，即x＋3y－6＝(2)設(shè)A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0.∵A，P，B三點共線，∴13-a＝1-b3，整理得3a∴AP·PB＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)(3a+1b)－10＝3ba+3ab≥23ba·3ab＝6，當(dāng)且僅當(dāng)∴當(dāng)AP·PB取得最小值時，直線l的方程為x4+y4＝1，即x＋y鞏固訓(xùn)練3