有限樣本空間與隨機(jī)事件

有限樣本空間與隨機(jī)事件確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）的現(xiàn)象．隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下不能事先預(yù)知結(jié)果，且各個(gè)結(jié)果發(fā)生的頻率都具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象.課文精講導(dǎo)入在初中,我們已經(jīng)初步了解了隨機(jī)事件的概念,并學(xué)習(xí)了在試驗(yàn)結(jié)果等可能的情形下求簡單隨機(jī)事件的概率.本節(jié)我們將進(jìn)一步研究隨機(jī)事件及其概率的計(jì)算,探究隨機(jī)事件概率的性質(zhì).課文精講研究某種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律,首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.例如,將一枚硬幣拋擲2次,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況;從你所在的班級隨機(jī)選擇10名學(xué)生,觀察近視的人數(shù);在一批燈管中任意抽取一只,測試它的壽命;從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機(jī)選取一些,觀察分蘗數(shù);記錄某地區(qū)7月份的降雨量,等等.

我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)(random

experiment)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示．隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：⑴試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（可重復(fù)性）⑵試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)；（可預(yù)知性）⑶每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．（隨機(jī)性）課文精講體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí),將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2,…,9的球放入搖獎(jiǎng)器中,經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球,觀察這個(gè)球的號碼.這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果?如何表示這些結(jié)果?觀察球的號碼,共有10種可能結(jié)果.用數(shù)字m表示“搖出的球的號碼為m”這一結(jié)果,那么所有可能結(jié)果可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.課文精講我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.一般地,我們用Ω表示樣本空間,用w表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果w1,w2,…,wn,則稱樣本空間Ω={w1,w2,…,wn}為有限樣本空間.有了樣本點(diǎn)和樣本空間的概念,我們就可以用數(shù)學(xué)方法描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象了.樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)：

隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合有限樣本空間：樣本空間為有限集

…Ω典型例題例1:拋擲一枚硬幣,觀察它落地時(shí)哪一面朝上,寫出試驗(yàn)的樣本空間.解:因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果,所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,則樣本空間Ω={h,t}.典型例題例2:拋擲一枚骰子,觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù),寫出試驗(yàn)的樣本空間.解:用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”.因?yàn)槁涞貢r(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個(gè)可能的基本結(jié)果,所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.典型例題例3:拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況,寫出試驗(yàn)的樣本空間.解:拋擲兩枚硬幣,第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示,第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示,那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用(x,y)表示.于是,試驗(yàn)的樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.典型例題如果我們用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”,那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.第一枚第二枚課文精講在體育彩票搖號試驗(yàn)中,搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎?搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件?如果用集合的形式來表示它們,那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系?課文精講顯然,“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.我們用A表示隨機(jī)事件“球的號碼為奇數(shù)”,則A發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號碼為1,3,5,7,9之一,即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機(jī)事件A.類似地,可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機(jī)事件“球的號碼為3的倍數(shù)”.課文精講一般地,隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便,我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件A發(fā)生.課文精講Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.而空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生,我們稱?為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形.這樣,每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集.隨機(jī)事件:樣本空間的子集基本事件：(單元素集)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件必然事件(全集)

不可能事件(空集)典型例題例4:如圖,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件,每個(gè)元件可能正常,也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好兩個(gè)元件正?！?N=“電路是通路”;T=“電路是斷路”.典型例題解:(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài),則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進(jìn)一步地,用1表示元件的“正常”狀態(tài),用0表示“失效”狀態(tài),則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.典型例題元件A元件B元件C可能結(jié)果典型例題元件A元件B元件C可能結(jié)果典型例題(2)“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω且x1,x2,x3中恰有兩個(gè)為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個(gè)是1,所以N={(1,1,0),(1