遙感數(shù)字圖像第五章

遙感數(shù)字圖像第五章第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四一.圖像變換的作用

圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換

圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。1.方便處理2.便于抽取特性第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.沃爾什－哈達(dá)瑪變換Walsh-HadamardTransform第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四二.傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待圖像的問題，有時(shí)在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

傅立葉變換的定義

傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對(duì)。即對(duì)于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對(duì)于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；(3)絕對(duì)可積;第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四高斯函數(shù)的定義為：例1高斯函數(shù)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的定義可得：第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四令x+ju=t，上式可以化為：結(jié)論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù)為傅立葉變換函數(shù)對(duì)。第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四例2.矩形函數(shù)

矩形函數(shù)形式如下:

第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下：第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為：幾何圖形如下頁圖(b)所示第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四線性系統(tǒng)與傅立葉變換第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時(shí)，用來進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時(shí)域的卷積變換為頻域的乘積。第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四三.離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義離散傅立葉正變換:第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四離散傅立葉逆變換:第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四四.傅立葉變換的性質(zhì)

共軛對(duì)稱性加法定理位移定理相似性定理卷積定理能量保持定理第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

共軛對(duì)稱性第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

加法定理第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四位移定理第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四相似性定理結(jié)論：一個(gè)“窄”的函數(shù)有一個(gè)“寬”的頻譜第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第三十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

旋轉(zhuǎn)不變性

由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示。(a)(b)(d)(c)圖離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜

第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四卷積定理第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四能量保持定理第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四五.二維傅立葉變換1.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四二維傅立葉逆變換:第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對(duì)于一個(gè)具有M×N個(gè)樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：(1)二維離散傅立葉正變換第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：F(u，v)可以表示為如下形式：第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(1)．線性特性3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)(1)比例性質(zhì)=第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(3)平移性質(zhì)二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時(shí)，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(4)可分離性第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個(gè)二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對(duì)y進(jìn)行一維傅立葉變換在此基礎(chǔ)上對(duì)x進(jìn)行一維傅立葉變換第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四變量分離步驟如圖所示第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對(duì)傅立葉逆變換同樣適應(yīng)逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(5)周期性如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(6)共軛對(duì)稱性第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(7)旋轉(zhuǎn)不變性圖像f(x，y)可以表示為f(r，θ)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標(biāo)可以表示為F(ρ，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性：第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(a)原始圖像(b)DFT變換(c)原始圖像旋轉(zhuǎn)45o(d)旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(8)微分性質(zhì)第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：即：結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四二維傅立葉變換(幅值及相位)意義第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));圖像的說明第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四1.問題的提出：傅立葉變換的一個(gè)最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。六.離散余弦變換第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四2.正變換：3.逆變換：其中：第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四4.DCT變換的應(yīng)用：余弦變換實(shí)際上是傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國(guó)際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。給高頻系數(shù)大間隔量化，低頻部分小間隔量化。第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四返回第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四返回Fourier變換的高通濾波第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四

返回壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1第六十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四返回Fourier變換的低通濾波第六十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四七.哈達(dá)瑪正變換

1.一維哈達(dá)瑪正變換

設(shè)f(x)表示N點(diǎn)的一維離散序列，則一維哈達(dá)瑪變換如下：u=0,1,2,3,…,N-1第六十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四其中，g(x，u)是一維哈達(dá)瑪變換的核，定義如下：式中，u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈達(dá)瑪變換的階數(shù)，bi(z)是z的二進(jìn)制數(shù)的第i位數(shù)值，取值為0或1。第六十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四2.一維哈達(dá)瑪逆變換

第六十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四h(x，u)是一維哈達(dá)瑪逆變換的核逆變換核與正變換核相等，即第七十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期四哈達(dá)瑪變換的階數(shù)具有規(guī)律性，即按照規(guī)律遞升，高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過低階哈達(dá)瑪矩陣的克羅尼科積運(yùn)算求得，也就是說，哈達(dá)瑪矩陣具有如下關(guān)系：第七十一頁，共七十六頁，編輯于202