統(tǒng)計(jì)講稿第七章變異指標(biāo)

統(tǒng)計(jì)講稿第七章變異指標(biāo)1第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三變異指標(biāo)（1）變異指標(biāo)的概念：變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動(dòng)度，它綜合反映總體各個(gè)單位標(biāo)志值的差異程度或離散程度。以平均指標(biāo)為基礎(chǔ)，結(jié)合運(yùn)用變異指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)重要方法。2第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三變異指標(biāo)的作用①反映現(xiàn)象總體各單位標(biāo)志值分布的離中趨勢(shì)。在統(tǒng)計(jì)分祈過(guò)程中，進(jìn)行相關(guān)分析、趨勢(shì)分析、抽樣推斷和統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)決策等等，都需要利用標(biāo)志變異指標(biāo)。它是統(tǒng)計(jì)分析的—個(gè)重要基本指標(biāo)。3第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三②說(shuō)明平均指標(biāo)的代表性程度；平均指標(biāo)作為總體一定數(shù)量標(biāo)志的代表值，其代表性決定于總體各單位標(biāo)志數(shù)值的差異程度。它與標(biāo)志變異指標(biāo)存直接關(guān)系。這種關(guān)系表現(xiàn)為：總體數(shù)值標(biāo)志變異指標(biāo)愈大，平均指標(biāo)的代表性愈??；標(biāo)志變異指標(biāo)愈小，平均指標(biāo)的代表性愈大。4第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三例如，假定某車間兩個(gè)小組工人的月工資資料如下(單位：元)：這兩個(gè)小組工人的月平均工資都是100元，但各組工人工資的差異程度不同：甲組工人工資每人相差10元，乙組只相差5元。因而，這兩個(gè)小組工人的平均工資所具有的代表性也不同：甲組平均數(shù)的代表性??；乙組平均數(shù)的代表性大。5第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三③測(cè)定現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性或穩(wěn)定性程度。對(duì)于進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量的控制和評(píng)價(jià)經(jīng)濟(jì)管理工作的質(zhì)量起積極作用。例如，某企業(yè)兩個(gè)車間月份鋼材生產(chǎn)計(jì)劃完成情況資料如下表（見(jiàn)表7-1）：6第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三表7-1表明：兩個(gè)車間的鋼材月產(chǎn)量計(jì)劃都已完成。但計(jì)劃執(zhí)行過(guò)程中的情況則不同。甲車間全月均衡地完成了生產(chǎn)計(jì)劃，各旬計(jì)劃完成率變異程度較小，而乙車間則前松后緊，各旬計(jì)劃完成本變異程度較大。因而，甲車間的計(jì)劃完成情況比乙車間好。7第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三（２）變異指標(biāo)的種類標(biāo)志變異指標(biāo)，通常分為兩類：一類是直接測(cè)定總體內(nèi)部標(biāo)志值變異程度的指標(biāo)；另一類是測(cè)定總體次數(shù)分布形態(tài)的指標(biāo)。前一類指標(biāo)，包括全距，平均差和標(biāo)準(zhǔn)差。后一類指標(biāo)，包括偏態(tài)和峰度。8第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）變異指標(biāo)的種類和計(jì)算①全距R(range)：測(cè)定標(biāo)志變異程度的最簡(jiǎn)單的指標(biāo)，它是標(biāo)志的最大值和最小值之差，反映總體標(biāo)志值的變動(dòng)范圍。公式：全距＝最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值如果統(tǒng)計(jì)資料經(jīng)過(guò)整理，并形成為組距分配數(shù)列，則全距的近似值為：

9第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

R＝130—50＝80(元)10第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三全距的應(yīng)用全距越大說(shuō)明總體單位標(biāo)志值變異程度越大。反之，變異程度越小。全距是測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)程度的一種粗略方法。它計(jì)算簡(jiǎn)便，容易理解。全距僅取決于兩個(gè)極端數(shù)值，不能全面反映總體各單位標(biāo)志值變異的程度，也不能拿來(lái)評(píng)價(jià)平均指標(biāo)的代表性。在實(shí)際工作中，全距常用于檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性和進(jìn)行質(zhì)量控制。11第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三②平均差MD平均差：各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。反映各標(biāo)志值對(duì)其平均數(shù)的平均差異程度。12第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三平均差計(jì)算方法簡(jiǎn)單平均差加權(quán)平均差13第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

簡(jiǎn)單平均離差現(xiàn)以前面所舉甲乙兩組工人的工資資料為例，說(shuō)明平均差的計(jì)算分析方法(見(jiàn)第五張課件)。這就是說(shuō)，甲組每個(gè)工人的工資與其平均工資相差12元，乙組每個(gè)工人的工資與其平均工資相差6元。在兩組平均工資相等的條件下(＝100元)，甲組工人工資的變動(dòng)程度大于乙組工人工資的變動(dòng)程度。因而，甲組工人工資平均數(shù)的代表性小于乙組。14第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三15第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三加權(quán)平均差以某企業(yè)200名工人工資的資料為例，列表計(jì)算如下表7—4：16第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三17第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三平均差系數(shù)平均差是各變量值與平均數(shù)絕對(duì)離差的平均指標(biāo)，它的數(shù)值不僅與離差大小有關(guān)，而且也因變量值本身大小而異。同時(shí)，平均差有名數(shù)，因而不同現(xiàn)象、不同單位的平均差就不能直接對(duì)比。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以將平均差除以相應(yīng)的平均數(shù)，化為相對(duì)數(shù)，而后對(duì)比。這種相對(duì)數(shù)，稱為平均差系數(shù)。其公式為：18第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三現(xiàn)以1990年我國(guó)10家最大百貨商店經(jīng)營(yíng)實(shí)績(jī)的資料為例，計(jì)算分析如表7-5。19第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)表7-5的資料計(jì)算，商品銷售額的平均數(shù)、平均差和平均差系數(shù)為：

實(shí)現(xiàn)利稅額的平均數(shù)、平均差和平均差系數(shù)為；20第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三在這種情況下，由于商品銷售額和實(shí)現(xiàn)利稅額的平均水平不同，不能直接利用平均差來(lái)對(duì)比其平均數(shù)的代表性，而應(yīng)以平均差系數(shù)來(lái)對(duì)比其平均數(shù)的代表性。由于商品銷售額的平均差系數(shù)(18.86％)小于實(shí)現(xiàn)利稅額的平均差系數(shù)(29.85％)，因而，商品銷售額平均數(shù)(499.7百萬(wàn)元)的代表性大子實(shí)現(xiàn)利稅額平均(39.4百萬(wàn)元)的代表性。21第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三平均差的應(yīng)用平均差越大，標(biāo)志變異程度越大，平均差越小，標(biāo)志變異越小?？梢钥陀^全面地評(píng)價(jià)總體標(biāo)志的變異程度。因?yàn)橛薪^對(duì)值運(yùn)算，所以運(yùn)算繁瑣，不易計(jì)算。22第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三③標(biāo)準(zhǔn)差σ標(biāo)準(zhǔn)差：總體中各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，又稱為均方差。它是測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)程度的最主要的指標(biāo)。23第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)質(zhì)與平均差基本相同，只是在數(shù)學(xué)處理方法上與平均差不同，平均差是用取絕對(duì)值的方法消除離差的正負(fù)號(hào),然后用算術(shù)平均的方法求出平均離差；而標(biāo)準(zhǔn)差是用平方的方法消除離差的正負(fù)號(hào)，然后對(duì)離差的平方計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，并開(kāi)方求出標(biāo)準(zhǔn)差。24第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式有簡(jiǎn)單和加權(quán)兩種形式

簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)量單位：與標(biāo)志值的計(jì)量單位相同25第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差現(xiàn)以甲乙兩組工資資料為例(表7-6)，計(jì)算分析如下：26第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三這就是說(shuō)，在甲乙兩組工人平均工資相等的條件下，每個(gè)工人的工資與其平均工資的標(biāo)準(zhǔn)離差，甲組為14.1元，乙組為7.07元。甲組的標(biāo)準(zhǔn)差大，即標(biāo)志變動(dòng)度大，因而其平均數(shù)的代表性小；乙組的標(biāo)準(zhǔn)差比甲組小，因而其平均數(shù)的代表性比甲組大。27第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

28第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三29第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)差的平方σ2稱為方差。方差具有以下幾個(gè)重要性質(zhì)。理解和掌握這些性質(zhì)，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算和運(yùn)用是有益的。①變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減變量平均數(shù)的平方，即②變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差，小于對(duì)任意常數(shù)的方差。30第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三③n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量和的方差等于各個(gè)變量方差之和。31第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三④n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。32第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和平均差一樣，是反映標(biāo)志變動(dòng)度的絕對(duì)指標(biāo)。其數(shù)值大小，不僅決定于各標(biāo)志值的差異程度，還決定于數(shù)列平均水平的高低。同時(shí)，它具有與標(biāo)志值相同的名數(shù)。因而，對(duì)于具有不同平均水平和不同計(jì)量單位的數(shù)列，就不能直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較其標(biāo)志變動(dòng)度的大小，而需要將標(biāo)準(zhǔn)差與相應(yīng)的平均數(shù)對(duì)比，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，(或稱離散系數(shù))，即采用相對(duì)數(shù)，才能進(jìn)行比較。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算公式如下：33第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)有兩個(gè)工廠工人勞動(dòng)生產(chǎn)率的資料如下：34第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三本例中，甲廠的標(biāo)準(zhǔn)差雖然大于乙廠，但不能由此斷言：甲廠工人勞動(dòng)生產(chǎn)的變動(dòng)度大于乙廠。因?yàn)?，兩個(gè)工廠的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率水平相差懸殊，所以不能只根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的大小作結(jié)論。在這種情況下，只有利用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)才能對(duì)比。因?yàn)樗瞬煌瑪?shù)列平均水平所產(chǎn)生的影響。本例中標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)表明：甲廠的標(biāo)志變動(dòng)度小于乙廠，因而，甲廠工人平均勞動(dòng)生產(chǎn)率的代表性比乙廠大。35第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差越大，標(biāo)志變異程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越小，標(biāo)志變異越小。可以客觀全面地評(píng)價(jià)總體標(biāo)志的變異程度。計(jì)算方法簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。36第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

單選題直接反映總體規(guī)模大小的指標(biāo)是（）。

A.平均指標(biāo)B.相對(duì)指標(biāo)

C.總量指標(biāo)D.變異指標(biāo)答案：C37第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三

單選題1997年北京市下崗職工已安置了13.7萬(wàn)人，安置率達(dá)80.6%，安置率是（）。

A.總量指標(biāo)B.變異指標(biāo)

C.平均指標(biāo)D.相對(duì)指標(biāo)答案：D38第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三填空題：變異指標(biāo)的種類有

、

、

和

。

答案:全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)39第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三計(jì)算題：兩種不同水稻品種，分別在5個(gè)田塊上試種，其產(chǎn)量如下：

40第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三要求：⑴分別計(jì)算兩品種的單位面積產(chǎn)量。

⑵計(jì)算兩品種畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。

⑶假定生產(chǎn)條件相同，確定哪一品種具有較大穩(wěn)定性，宜于推廣。41第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：42第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三（1）43第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）甲品種的標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)44第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三乙品種的標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)45第四十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）46第四十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差和方差

在統(tǒng)計(jì)中，經(jīng)常需要將研究總體中的全部單位區(qū)分為非此即彼的兩大類，以研究它們之間的比例關(guān)系。例如，合格品與不合格品，男工與女工等。這類以“是或非”、“有或無(wú)”來(lái)表述單位特征的標(biāo)志稱為“是非標(biāo)志”或交替標(biāo)志——其標(biāo)志表現(xiàn)只有兩種選擇答案。第四十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于202