河南省商丘市永城劉河鄉(xiāng)中學高一數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

河南省商丘市永城劉河鄉(xiāng)中學高一數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結論正確的是(

)A．平均數(shù)為10，方差為2

B．平均數(shù)為11，方差為3

C.平均數(shù)為11，方差為2

D．平均數(shù)為12，方差為4參考答案：C2.某合資企業(yè)2008年的產(chǎn)值達200萬美元，2013年的產(chǎn)值達6400萬美元，則平均每年增長的百分率為（

）A.50%

B.100%

C.150%

D.200%參考答案：B略3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（） A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）參考答案：B【考點】二分法求方程的近似解． 【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質及應用． 【分析】確定函數(shù)的定義域為（0，+∞）與單調性，再利用零點存在定理，即可得到結論． 【解答】解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），易知函數(shù)在（0，+∞）上單調遞增， ∵f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=log33﹣＞0， ∴函數(shù)f（x）的零點一定在區(qū)間（2，3）， 故選：B． 【點評】本題考查函數(shù)的單調性，考查零點存在定理，屬于基礎題． 4.下列各函數(shù)中，最小值為2的是（）A． B．，C． D．參考答案：A【考點】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：對于A．∵，∴=2，當且僅當x=1時取等號．因為只有一個正確，故選A．5.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小值是()A.－ B.－2 C.－ D.－1參考答案：A【分析】建立直角坐標系，設，得出關于的表達式，配方即可得出答案。【詳解】以為軸，以邊上的高為軸建立空間直角坐標系，如圖則，設，則所以當時，取得最小值故選A.【點睛】本題考查向量的應用，解題的關鍵是設，得出關于的表達式，屬于一般題。6.已知，，，則的最小值是（

）A. B.4 C.9 D.5參考答案：C【分析】利用題設中的等式，把的表達式轉化成展開后，利用基本不等式求得的最小值．【詳解】∵，，，∴＝，當且僅當，即時等號成立．故選：C．【點睛】本題主要考查了基本不等式求最值，注意一定，二正，三相等的原則，屬于基礎題．7.有如下四個游戲盤，撒一粒黃豆，若落在陰影部分，怎可以中獎，小明希望中獎，則他應該選擇的游戲是參考答案：A四個游戲盤中獎的概率分別是，最大的是，故選A8.若函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）內恰有一個零點，則a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．[0，1）參考答案：A【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理，若函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）內恰有一個零點，則f（0）f（1）＜0，可得關于a的不等式，解不等式，即可求出a的范圍．【解答】解：當△=0時，a=﹣，此時有一個零點x=﹣2，不在（0，1）上，故不成立．∵函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）內恰有一個零點，∴f（0）f（1）＜0，即﹣1×（2a﹣1）＜0，解得，a＞1，故選A【點評】本題考查了函數(shù)零點存在性定理，屬基礎題，必須掌握．9.（5分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（） A． y=x+1 B． y=﹣x2 C． D． y=x|x|參考答案：D考點： 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調性的判斷與證明．專題： 探究型．分析： 對于A，非奇非偶；對于B，是偶函數(shù)；對于C，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；對于D，令f（x）=x|x|=，可判斷函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故可得結論．解答： 對于A，非奇非偶，是R上的增函數(shù)，不符合題意；對于B，是偶函數(shù)，不符合題意；對于C，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；對于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函數(shù)是增函數(shù)故選D．點評： 本題考查函數(shù)的性質，考查函數(shù)的奇偶性與單調性的判斷，屬于基礎題．10.已知函數(shù)(a≠1)在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A．

B．

C．(0,1)

D．(0,+∞)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f(2x)=4x－2x，則f(x)=

參考答案：f(x)=x2－x(x＞0)

12.若,則m的值為______________。參考答案：由題意得，＝－1，∴＝－1，即lgm＝－lg3＝lg，∴m＝.13.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中“竹九節(jié)”問題曰：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問中間兩節(jié)欲均容各多少？”其意為：“現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下的容積成等差數(shù)列，下面3節(jié)容量為4升，上面4節(jié)容積為3升，問中間2節(jié)各多少容積？”則中間2節(jié)容積合計________升參考答案：【分析】根據(jù)題意題意設九節(jié)竹至下而上各節(jié)的容量分別為，，，，公差為，利用等差數(shù)列的前項和公式和通項公式列出方程組，求得首項和公差，再計算中間兩節(jié)、的值，再求中間2節(jié)總容積.【詳解】根據(jù)題意，九節(jié)竹的每一節(jié)容量變化均勻，即其每一節(jié)的容量成等差數(shù)列，設至下而上各節(jié)的容量分別為，，，，公差為，分析可得：，解可得，，則（升，（升．故中間兩節(jié)的總容積為.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和的計算，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．14.（4分）函數(shù)f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域為

參考答案：考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的定義域和值域．專題：三角函數(shù)的圖像與性質．分析：通過兩角和的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，利用兩角差的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的值域．解答：函數(shù)f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的定義域和值域，考查計算能力．15.下列說法：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個向量的兩個向量

是共線向量．其中，說法錯誤的是

。參考答案：①②③⑤⑥略16.設直線與圓相交于兩點，且弦的長為，則

．參考答案：-1或317.已知為第二象限角，則______．參考答案：0本試題主要是考查了三角函數(shù)的同角關系的運算。因為為第二象限角，則故答案為0。解決該試題的關鍵是理解，進行化簡。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)；（2）若函數(shù)f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求實數(shù)m的取值范圍；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：考點： 函數(shù)單調性的性質；函數(shù)的值域．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： （1）設x1、x2是區(qū)間（0，+∞）內的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，用單調性的定義證明；（2）由（1）知，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則得，即．由此式a、b可視為方程的兩個不相等的正實數(shù)根，用韋達定理限制即可；（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即為．因為x∈（1，+∞），上述不等式即為．令，結合二次函數(shù)的性質解決．解答： （1）證明：設x1、x2是區(qū)間（0，+∞）內的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=﹣=因為x1、x2是∈（0，+∞）），即x1x2＞0，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0．于是

f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．因此，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．（2）由（1）知，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則得，即．所以a、b可視為方程的兩個不相等的正實數(shù)根，于是，解得．（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即為．因為x∈（1，+∞），上述不等式即為．令，則其圖象對稱軸是直線．①，解得m∈?；②，即，解得．綜上，所求實數(shù)m的取值范圍是．點評： 本題主要考查函數(shù)的綜合應用，關鍵是抓住條件，方程與函數(shù)相互轉化，同時考查二次函數(shù)的有關性質，是一道綜合題．19.已知DA、DB、DC為DABC的內角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)當f(A、B)取最小值時，求DC(2)當A+B=時，將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求參考答案：解析：(1)f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1

=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1當sin2A=,sin2B=時取得最小值，

∴A=30°或60°，2B=60°或120°

C=180°-B-A=120°或90°

(2)f(A、B)=sin22A+cos22()-

=

=

=20.

某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：(Ⅰ)求分數(shù)在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為的學生中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取人，求至多有人在分數(shù)段的概率.參考答案：21.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.參考答案：（1）證明：取的中點，連接，則，∵∥平面，平面，平面平面，∴∥，即∥.

∵∴四邊形是平行四邊形.

∴∥，.在Rt△中，，又，得.∴.

在△中，，，，∴，∴.

∴，即.∵四邊形是正方形，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

（2）連接，與相交于點，則點是的中點，取的中點，連接，，則∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.∴四邊形是平行四邊形.∴∥，且

由（1）知平面，又平面，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

∴平面.

∵平面，∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∴是直線與平面所成的角.

在Rt△中，.

∴直線與平面所成角的正切值為.

22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1．（1）當x∈[2，4]時，f（x）≥﹣1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）是否存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】一元二次不等式的解法；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】（1）函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1=+m﹣1．對與2，4的關系分類討論，利用二次函數(shù)的單調性即可得出；（2）假設存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．即a≤x2﹣mx+m﹣1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x2﹣mx+m﹣1=x的兩個實數(shù)根為a，b．即可得出．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x2﹣mx+m﹣1=+m﹣1．①當，即m≤4時，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調遞增，∵f（x）≥﹣1恒成立，∴f（2）=﹣m+3≥﹣1，解得m≤4．∴m≤4滿足條件．②當≥4，即m≥8時，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調遞減，∵f（x）≥﹣1恒成立，∴f（4）=﹣3m+15≥﹣1，解得m≤．∴不滿足m≥8，應該舍去．③當，即4＜m＜8時，當x=時，函數(shù)f（x）取