三角函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)反思

學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載課題：兩角和與差的余弦公式案例撰寫：黎寧 北京市陳經(jīng)綸中學(xué)評析： 袁京生 北京市朝陽區(qū)教研中心丁益祥 北京市陳經(jīng)綸中學(xué)【導(dǎo)語】自主探究學(xué)習(xí)既是對學(xué)生主體地位的尊重，又使學(xué)生獲得親歷知識生成與發(fā)展過程的體驗，是培養(yǎng)學(xué)生參與意識和探索發(fā)現(xiàn)能力的有效方式。黎寧老師在教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生探究并發(fā)現(xiàn)求兩角差的余弦的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識獲得公式的過程，從而體會向量的工具作用及應(yīng)用價值，同時引導(dǎo)學(xué)生利用換元與轉(zhuǎn)化思想得到兩角和的余弦公式，樹立對立統(tǒng)一的思想觀點。本節(jié)課的教學(xué)重點是對獲得公式的方法與過程進(jìn)行探究，對公式結(jié)構(gòu)特征的探究無須占用過多時間?！窘虒W(xué)設(shè)計】《兩角和與差的余弦公式》安排在第二章《平面向量》之后，同時又是這一章《三角恒等變換》的起始內(nèi)容，它具有承前啟后的作用.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，是發(fā)展學(xué)生的推理能力和運算能力的重要內(nèi)容.這一章的知識內(nèi)容形成了一條結(jié)構(gòu)緊密的知識鏈條：以兩角差的余弦為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、正切，再到二倍角的正弦、余弦、正切等.本節(jié)內(nèi)容安排在平面向量之后，利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式，使得證明過程簡明易懂，也讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量方法的應(yīng)用.同時，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析解決問題的能力以及運算能力的良好素材.本課時教學(xué)內(nèi)容還能讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識不同分支之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性.本節(jié)課的授課對象是我校高一（1）班，該班是我校的直升班，教學(xué)進(jìn)度快于年級其他班級，學(xué)生知識基礎(chǔ)相對較好，有一定的研究能力.但邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力也有待于提高.根據(jù)以上的分析，確立了如下的教學(xué)目標(biāo)：.使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式并能初步應(yīng)用它們解決簡單的三角函數(shù)求值與恒等變換問題；.通過教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷從探索兩角差的余弦公式結(jié)構(gòu)到證明兩角差的余弦公式，再由此推導(dǎo)兩角和的余弦公式的過程簡單體會特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、證明的推理能力；.通過教學(xué)，形成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神.為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動愉快的學(xué)習(xí)，我將采用“教師適時引導(dǎo)和學(xué)生自主探究相結(jié)合”的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過程中，我要貫徹“教師、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生們都能充分地動手、動口、動腦，參與教學(xué)全過程，力求把新的知識和思想納入到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.通過深入挖掘具體知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，為提高學(xué)生的合情推理能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力創(chuàng)造條件.OL-g本節(jié)課我選擇計算機(jī)輔助教學(xué).利用PowerPoint制作幻燈片，增大課堂容量，提高課堂效率.利用幾何畫板課件演示，揭示 與向量夾角之間的關(guān)系，增強三角函數(shù)的幾何形式的直觀性，使信息技術(shù)真正為教學(xué)服務(wù).【教學(xué)實錄】第一階段：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載（教師面帶自信的微笑看著同學(xué)們，作回憶狀）學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載j/=smi+cosr師：同學(xué)們在學(xué)習(xí)第一章三角函數(shù)時曾經(jīng)提過這樣的兩個問題，問題1：函數(shù) 的最大值是多少？（這是學(xué)生學(xué)習(xí)第一章三角函數(shù)時曾經(jīng)提過的問題，將此問題在這里提出，目的在于說明學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要性，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)知識的興趣.）（教室里一片寂靜，同學(xué)們在思考）y=smry-師：函數(shù) 與y=smry-師：函數(shù) 與（同學(xué)們紛紛肯定地小聲兒說“不是”為了明確結(jié)論，我請一位同學(xué)表述觀點）y=smx生：不是，當(dāng) 取得最大值1時，y=等于0.的最大值都是（同學(xué)們紛紛肯定地小聲兒說“不是”為了明確結(jié)論，我請一位同學(xué)表述觀點）y=smx生：不是，當(dāng) 取得最大值1時，y=等于0.j/=smx+cosr師：若能把 轉(zhuǎn)化成一個角的一個三角函數(shù)的形式就好了!（留下一個‘‘懸念"，繼續(xù)提問）cts150師：同學(xué)們知道 等于多少？cos150師：15°=45-30°,我們知道45°與30°的三角函數(shù)值，能否求出 的值呢？cms150cos45?！猚os300是否有 二 成立呢？cosfjx-fl）cosa-cos?師： 二 是否恒成立？cosjar—cosa—cos/（憑直覺得出 二 是學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤，通過討論弄清結(jié)論，使學(xué)生明確“恒等”的含義，同時為進(jìn)一步明確本節(jié)課的探索目標(biāo)奠定了基礎(chǔ)，使得教學(xué)過程自然流暢.）第二階段：引導(dǎo)探究，掌握新知（教師引導(dǎo)學(xué)生探索兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)）cos cosaicosai(1)研究 (90°-30°)與90°、 90°、 30°、 30°之間的關(guān)系;學(xué)習(xí)必備一歡迎下載CDS(2)研究CDSaiCDSCDS(2)研究CDSaiCDS(120°-60°)與120°、 120°、 60°、60°之間的關(guān)系;CDS(3)研究CDS(3)研究cosai(135°-45°)與135°、135°、 45°、 45°之間的關(guān)系;（學(xué)生觀察特例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律）TOC\o"1-5"\h\z一向CDSaCDS#■>. '>.#生： 二 +（通過學(xué)生熟悉的特殊角的三角函數(shù)值來探索公式的結(jié)構(gòu)是比較自然的.在學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)特性有了直觀感知和基本了解的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生猜想，探求公式的欲望.）cosfef-.fi)CDSaCOS/￡B』師：能否證明 = + ?（學(xué)生思考，教師巡視，引導(dǎo)學(xué)生利用向量的有關(guān)知識解決問題，板書證明過程）xafl如圖，作單位圓O,以O(shè) 為始邊作角 、 ，它們的終邊與單位圓O交于點A,B.則QAcosaaOScosQAcosaaOScosTOC\o"1-5"\h\z=( , ), =(（M-OBcwacos#&0*#， = +a-fle[O,jr]QA麗 江-R OiOS網(wǎng)網(wǎng)（1）當(dāng) 時，向量 與的夾角就是 ，由向量數(shù)量積的定義，有 二COS^f-fl）cos^r-同COS0f-.fi）CDSaCDS/ "， = +a a-fiff cosfoE-fi）（在考慮 的情形時，教師利用幾何畫板課件演示動態(tài)圖形，幫助學(xué)生弄清 與的關(guān)系，得出此時仍有cos&的結(jié)論.）a-fle[Q,ff]由麗ecos&f-^)cns0(2)當(dāng) 時，設(shè)與夾角為，有 二學(xué)習(xí)必備一歡迎下載aPTOC\o"1-5"\h\z因此，對于任意角 ，有一向cosacos# 值血i/Gm= + (（板書課題：兩角和與差的余弦公式）（讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識解決一個數(shù)學(xué)問題的過程，體會向量的工具作用及應(yīng)用價值.）Jffl afi 880-百師：有了公式 ，我們只要知道角、的正、余弦就可以求 的值了.第三階段：應(yīng)用舉例，鞏固新知CBS150完成例1（本節(jié)課開始時的疑問2）利用差角公式求 的值.（學(xué)生順利地完成了）、際+百aflcos（2f+^）師：能否用角、的正、余弦來表示 呢？C即由°-flU*P（-向（學(xué)生自主研究，請兩位同學(xué)口頭敘述了兩種思路：只要將公式 中的換成 即可得到.也可以將 看成 ，利用公c式 證明.）+用cosacos戶血la血lP= - （

學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載（既可以通過解決問題使學(xué)生體會“換元”的思想，也可以通過加法與減法互為逆運算的關(guān)系，幫助學(xué)生樹立對立統(tǒng)一的觀點，提煉問題本身蘊涵著的化歸與轉(zhuǎn)化的思想.）（打投影）例2求值:CDS72：CDS12'+M172TM112"⑴cos34'cos——34-媼2G（2）（72--12'J=cos60"（學(xué)生較順利地自行完成了）（72--12'J=cos60"cos7Zcos12'+M17ZMl12'=cos解：（1）解：（1）（我乘勝追擊，繼續(xù)提問，打出投影）？（學(xué)生自行完成）師：能否化簡？（學(xué)生自行完成）師：能否化簡（這是公式的逆用，鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，同時也為解決本節(jié)課開始時的疑問1做好鋪墊.）j/=smi+cosr師：能否解決本節(jié)課開始時的疑問1?函數(shù) 的最大值是多少？生:生:所以最大值為（通過解決問題體會兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用價值，同時也使得整堂課首尾呼應(yīng)、渾然一體.）第四階段：回顧小結(jié)，歸納提煉師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)你有哪些收獲？學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載（同學(xué)們?nèi)粲兴肌?，有的同學(xué)在自己的筆記本上寫著，有的同學(xué)在互相討論交流.教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下方面進(jìn)行小結(jié)：1.知識層面的小結(jié)：對公式的探索過程及方法的啟示，用向量的數(shù)量積證明公式的主要思路以及公式的特點和功能；2.數(shù)學(xué)思維能力層面的小結(jié)：在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，教師概括提升一一包括本節(jié)課所涉及到的特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想的體現(xiàn)，邏輯思維能力和運算能力的提高以及對數(shù)學(xué)和諧美的欣賞）.生：我們經(jīng)歷了由特殊角的三角函數(shù)值探索兩角差的余弦公式結(jié)構(gòu)，到利用向量的數(shù)量積證明公式，再由此推導(dǎo)兩角和的余弦公式的過程在此基礎(chǔ)上，運用公式解決了一些簡單問題.生：簡單體會了特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用，通過向量方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用，體會了數(shù)學(xué)知識不同分支之間的聯(lián)系.（讓學(xué)生通過小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，加深對公式及其推導(dǎo)過程的理解.領(lǐng)會數(shù)學(xué)研究的有關(guān)基本方法和途徑，學(xué)習(xí)并能應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法解決有關(guān)問題.）（布置作業(yè)：1.課本P138.B組第4題2.試用今天學(xué)習(xí)知識和方法證明：SL（□+0&LQCDSflCDS<E的,#= +9L aiaCWflCOGQ血.#= - ）【教學(xué)回顧】以下從四個方面進(jìn)行教學(xué)回顧：一、課題的引入教科書以一個實際問題（求電視發(fā)射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題.同時幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與與實際生活有關(guān)，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.解決這個實際應(yīng)用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我校學(xué)生的實際情況，這樣做一定程度會搶去這節(jié)課主要研究內(nèi)容的風(fēng)頭.而且，在這個問題中要解決的tan（45'+a）costr-向與這節(jié)課要研究的 的聯(lián)系不夠直接.學(xué)生在學(xué)習(xí)第一章三角函數(shù)時，在可課堂上就曾經(jīng)提出過一個問題：函數(shù)y=smx4-cosr的周期是多少？最大值是多少？當(dāng)時我們只研究到最大值不是2,更不是1,最大值究竟是多少？我鼓勵感興趣的同學(xué)課下進(jìn)行研究.這節(jié)可y=smx+cosc以此問題作為引入，主要是想激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)知識的興趣，同時說明學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要性.不過從外形上看， 與我們這節(jié)課要研究的cnsl50也是相去甚遠(yuǎn).而 的求值問題恰好解決這個問題，因此，以兩個疑問作為引入，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起他們學(xué)習(xí)本節(jié)知識的欲望，同時也能讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要性.于是將課本中的求電視發(fā)射塔的高度的問題安排在學(xué)習(xí)完兩角和與差的正切公式之后，以應(yīng)用舉例的形式提出.二、公式結(jié)構(gòu)的探究兩角差的余弦公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點，也是難點，尤其是要引導(dǎo)學(xué)生通過主動參與，獨立探索，自己得出結(jié)果更是難點.教科書采用“夾敘夾議”的方式，運用單位圓上的三角函數(shù)線探索兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生在感受教科書的探索過程中，對公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行直觀感知.這種做法的技巧性較強，以學(xué)生的實際情況來看，聽老師引導(dǎo)講授或閱讀課本來弄清楚探索過程也是要費一番工夫的，以此作為公式結(jié)構(gòu)的探究勢必沖談主題.這節(jié)課我采用引導(dǎo)學(xué)生由特殊角的三角函數(shù)值來探究兩角差的余學(xué)習(xí)必備一_歡迎下載弦公式結(jié)構(gòu)，使他們對公式有一個基本了解，并引起進(jìn)一步證明這個公式的欲望.同時，讓學(xué)生學(xué)會用特殊值驗證是數(shù)學(xué)研究的一種方法.但是課本上這種方法對于學(xué)生的邏輯推理能力的鍛煉是有益的，因此將它安排為學(xué)生的課后作業(yè).三、公式的證明這一過程主要是要讓學(xué)生經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量的工具作用及應(yīng)用價值.推導(dǎo)過程不要求一步到位，先抓住主要問題進(jìn)行探索，這一過程鼓勵學(xué)生獨立探索和討論交流，然后再引導(dǎo)學(xué)生反思，完善一一這也是處理一般探索性問題應(yīng)遵循的原則.在學(xué)生思維的困惑處，采用計算機(jī)輔助教學(xué)，利用課件展現(xiàn)問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生弄清問題的真相.用向量的方法證明兩角差的余弦公式使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，大大降低了思考難度，但同時也失去了一次對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的機(jī)會，本想若學(xué)生中有用非向量的方法證明的，可在課堂中展示不同證明方法，讓學(xué)生既體會向量法證明的簡捷性，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.但課堂上并沒有同學(xué)用“非向量”方法證明，因此將用“非向量”方法證明公式作為課后思考問題向?qū)W生提出，這樣做，既讓學(xué)生體會向量法證明的簡捷性，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.（四）公式的應(yīng)用將這節(jié)課開始時的兩個疑問作為例題，使學(xué)生理解公式的簡單應(yīng)用，通過解決問題體會兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用價值，同時也使得整堂課首尾呼應(yīng)、渾然一體.【評析】《兩角和與差的余弦公式》是人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》（必修4）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)（課本P.124——P.128）.本課時教學(xué)內(nèi)容是提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析解決問題的能力以及運算能力的良好素材.黎寧老師所授這節(jié)課的教學(xué)對象高一（1）班是北京市陳經(jīng)綸中學(xué)的直升班，該班學(xué)生數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)相對較好，有一定的探究能力和鉆研精神.下面從三個方面對這節(jié)課進(jìn)行評價：一、教學(xué)特色.恰當(dāng)選擇教學(xué)方式先進(jìn)的教育觀念要通過先進(jìn)的教學(xué)方式體現(xiàn)出來.因此，教學(xué)改革不僅要改變教育觀念，還要改革教學(xué)方式，而教育觀念、教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變最終都要落實到學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變上.黎寧老師的這一節(jié)課，通過讓學(xué)生“計算三組特殊角的差的余弦值”為切入點，促使學(xué)生自然地提出一般猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生運用向量這一工具，進(jìn)行嚴(yán)格的推導(dǎo)，證明了這一猜想一一兩角差的余弦公式，再引導(dǎo)學(xué)生通過換元的思想獲得了兩角和的余弦公式，然后通過簡單應(yīng)用促使雙基的落實，最后放手讓學(xué)生談體會、談收獲，較好地體現(xiàn)了學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)方式、自主探索方式在課堂教學(xué)中的實踐.它既是對學(xué)習(xí)主體的充分尊重，又是使學(xué)生獲得親歷知識生長發(fā)展的體驗，培養(yǎng)學(xué)生自我參與意識和探索發(fā)現(xiàn)能力、開發(fā)學(xué)生潛能的有效方式.新課程為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供了豐富的研究材料和廣闊的思維空間.我們應(yīng)當(dāng)把給學(xué)生問題、給學(xué)生思路、給學(xué)生結(jié)論的教學(xué)方式，轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、自己提出問題、自己解決問題、自己得出結(jié)論的教學(xué)方式，使知識的發(fā)生、發(fā)展過程象歷史在戲劇中的重演，使學(xué)生真正親歷知識的形成過程.事實上，盡管獲得結(jié)果特別是獲得準(zhǔn)確的結(jié)果是重要的，但從某種意義上說，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗這種研究和解決問題的過程要比獲得結(jié)果更重要.這是因為，這種問題解決的“過程”，不僅是結(jié)果的動態(tài)延伸，而且更是開啟智慧、發(fā)展智力、培養(yǎng)潛能、提高素質(zhì)的源泉..準(zhǔn)確把握教學(xué)重點學(xué)習(xí)必備一歡迎下載OA.OS課堂教學(xué)既要注意落實雙基，又要注意突出重點.能否準(zhǔn)確把握教學(xué)重點，體現(xiàn)了教師專業(yè)水平的高低.黎寧老師這一節(jié)課，通過作單位圓和角、向量 的GAOSafla-fl坐標(biāo)的確定、數(shù)量積 的運算、兩角，的差 的范圍與向量夾角之間的關(guān)系的分析、兩角差的余弦公式的推導(dǎo)與確認(rèn)、公式的簡單應(yīng)用，等等，所有這些，無不體現(xiàn)了這節(jié)課對落實雙基的重視.而整堂課施于濃墨重彩的只是兩角差的余弦公式的的探究過程，這是突出教學(xué)重點的體現(xiàn)，同時也著力體現(xiàn)了“試驗——歸納一一猜想一一證明”的基本思想.從學(xué)生參與問題的回答、參與公式的推導(dǎo)、參與習(xí)題的求解的積極態(tài)度和準(zhǔn)確程度等情況看，這一節(jié)課學(xué)生對重點知識的領(lǐng)悟是深刻的..適度運用信息技術(shù)將信息技術(shù)與課堂教學(xué)恰當(dāng)整合，對課堂教學(xué)質(zhì)量的提高將會起到十分積極地作用.黎寧老師這一節(jié)課選擇了計算機(jī)輔助教學(xué)手段，利用PowerPoint制作了幻燈片.通a-p過幾何畫板課件的演示，較好地揭示了 與向量夾角之間的關(guān)系，既直觀，又生動，增大了課堂容量，提高了課堂效率，使信息技術(shù)真正起到了輔助教學(xué)的作用.新課程對信息技術(shù)有著一定的要求，怎樣將信息技術(shù)與課堂教學(xué)恰當(dāng)整合，是每一個教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真關(guān)注并應(yīng)恰當(dāng)處理好的一個問題.該用則用，不該用則不用.恰到好處地使用，有助于課堂教學(xué)質(zhì)量與學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，而盲目濫用的做法常會適得其反.事實上，信息技術(shù)只是輔助教學(xué)的手段，其目的在于幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題、探究問題，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識，并運用知識解決問題.從這個意義上講，一方面，我們應(yīng)當(dāng)切忌那種“過多的使人眼花繚亂的動畫演示”甚至“聲光電并用”的做法，以避免“展示教師幻燈片制作技術(shù)”之嫌；另一方面，應(yīng)當(dāng)明了，在黑板上即時完成必要的演算推證過程，比課堂展示事先做好演算推證過程的幻燈片的那種黑板搬家式的做法要好得多..善于提煉數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)有意識地、善于提煉和運用數(shù)學(xué)思想和方法，并通過數(shù)學(xué)思想方法的提煉和運用，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的理性思維能力.在這節(jié)課上，黎寧老師通過引導(dǎo)學(xué)生參與探索活動，較好地幫助學(xué)生提煉和應(yīng)用了數(shù)學(xué)知識本身所隱含的數(shù)學(xué)思想方法.通過讓學(xué)生計算三組特殊角的差的余弦值，然a—p后提出一般猜想，體現(xiàn)了特殊于一般的思想；通過幾何畫板課件的演示來揭示 與向