概統(tǒng)課件概率

第六節(jié)

獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用小結(jié) 布置作業(yè)顯然

P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)

P(B)P

(AB

)=

P

(A

B

)P

(B

)用P(AB)=P(A)

P(B)刻劃獨(dú)立性,比用P(A|B)

=

P(A)或

P(B|A)

=

P(B)更好,它不受P(B)>0

或P(A)>0

的制約.若兩事件A、B滿足兩事件獨(dú)立的定義P(AB)=

P(A)

P(B)

(1)則稱A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A、B獨(dú)立.定理1

事件A、B

獨(dú)立的充要條件為P

(A

|

B)=

P(A),

P(B)>

0P(B

|

A)=

P(B),

P(A)>

0或證先證必要性.設(shè)事件A、B

獨(dú)立,由獨(dú)立定義知P(AB)=

P(A)

P(B)P(B)P(B)所以,當(dāng)P(B)>0

時(shí),P(A

|

B)=P(AB)=P(A)P(B)=P(AP(A)P(A)或者,當(dāng)

P(A)>

0

時(shí),

P(B

|

A)=

P

AB)=

P(A)P(B)=

P(B再證充分性:

設(shè)

P(A

|

B)=

P(A)成立

,則有P(AB)=

P(A

|

B)P(B)=

P(A)P(B)由定義可知,事件A、B

相互獨(dú)立.例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},

B={抽到的牌是黑色的}問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？解由于P(A)=4/52=1/13,P(AB)=2/52=1/26.可見(jiàn),

P(AB)=P(A)P(B)故 事件A、B獨(dú)立.P(B)=26/52=1/2,前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做:在實(shí)際應(yīng)用中,

往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.可見(jiàn)P(A)=P(A|B),即事件A、B獨(dú)立.從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},

B={抽到的牌是黑色的},

則P(A)=1/13,

P(A|B)=2/26=1/13在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.例如甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）又如：一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}

i=1,2若抽取是有放回的,

則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無(wú)放回的，則A1與A2不獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？A

B即若A、B互斥，且P(A)>0,

P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,則A、B不互斥.而P(A)≠0,

P(B)≠0故A、B不獨(dú)立我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0P(AB)

≠

P(A)P(B)即設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.

P(B|A)>03.

P(A|B)=02.

P(A|B)=P(A)4.

P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.

P(B|A)>03.

P(A|B)=02.

P(A|B)=P(A)4.

P(AB)=P(A)P(B)前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)定理2

若兩事件A、B獨(dú)立,則A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立.證明 僅證A與B

獨(dú)立P(AB

)=

P(A

-

A

B)=

P(A)-

P(AB)

=

P(A)-

P(A)

P(B)=P(A)[1-

P(B)]=

P(A)

P(B)故A與B獨(dú)立P(AC

)=

P(A)P(CP(BC

)=

P(B)P(C

)則稱三事件A、B、C

為兩兩獨(dú)立的事件.當(dāng)事件A、B、C

兩兩獨(dú)立時(shí),等式P(ABC

)=

P(A)P(B)P(C

)不一定成立.二、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義設(shè)A、B、C

為三事件,如果滿足等式P

(AB)=

P(A)P(B)例如S

={w

1,w

2

,w

3

,w

4

},A

={w

1

,w

2

},B

={w

1

,w

3

},C

={w

1

,w

4

},則24P(A)=P(B)=P(C

)=1

,并且,4P(AB)=

1

=

P(A)P(B),P

(AC

)=

1

=

P

(A P

(C

,P(BC

)=

1

=

P(B)P(C

).4即事件A、B、C

兩兩獨(dú)立.4但是

P(ABC

)=

1

?

P(A)P(B)P(C

).對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若P(AB)=

P(A)P(B)P(AC)=

P(A)P(C)P(BC)=

P(B)P(C)P(ABC)=

P(A)P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.此定義可以推廣到任意有限多個(gè)事件的情形:定義設(shè)A1

,A2

,…,An

為n

個(gè)事件,如果對(duì)于任意的k

(1

<

k

￡

n),

和任意的1

￡

i1

￡

i2

￡

…

￡

ik

￡

n

有等式兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立P

Ai

Ai

…

Ai

=

P

Ai

P

Ai

…

P

Ai1

2

k

1

2

k則稱A1

,A2

,…,An

為相互獨(dú)立的事件.請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系對(duì)n

(n

>2)個(gè)事件?三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化例1

有甲、乙兩批種子，出苗率分別為0.8

和0.9,現(xiàn)從這兩批種子中各任取一粒,求兩粒種子都出苗的概率;恰好有一粒種子出苗的概率;至少有一粒種子出苗的概率.解設(shè)A

={由甲批中取出的一粒種子出苗}B

={由乙批中取出的一粒種子出苗}則事件A、B相互獨(dú)立,且事件"兩粒種子都出苗"表示為:AB

,"恰好有一粒出苗"表示為:AB

+AB

,"至少有一粒種子出苗"表示為:A

¨

B

.P

(AB

=

P(A)P(B)=

0.8 0.9

=

0.72;P(AB

¨

AB

)=

P(AB)+

P(AB=

P(A

)P(B)+

P(A)P(B=

0.2

0.9

+

0.8

0.1

=

0.26

.(3)

P(A

¨

B

=

P(A)+

P(B)-

P(AB=

P(A)+

P(B)-

P(A)P(B)=

0.8

+

0.9

-

0.8 0.9

=

0.98

.或者

P(A

¨

B

=

1

-

P

A

¨

B

=

1

-

P(AB

)=

1

-

P(A

)P(B=

0.98

.或者P(A

¨

B=

P(AB

+

AB

+

AB=

P(AB)+

P(AB

+

AB

)=

0.72

+

0.26

=

0.98

.例2

設(shè)有兩門高射炮,

每一門擊中飛機(jī)的概率都是0.6

,求下列事件的概率:同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率是多少?若有一架敵機(jī)入侵領(lǐng)空,欲以99%以上的概率擊中它,問(wèn)至少需要多少門高射炮?解

設(shè)

Ak

=

{第k

門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)},k

=1,2,則Ak

之間相互獨(dú)立,且P(Ak

)=0.6,于是(1)P(A1

¨

A2=

1

-

P(A1

¨

A2=

1

-

P(A1

A2

)=

1

-

P(A

)P(A

)=

1

-

0.42

=

0.84

.1

2(2)設(shè)至少需要n門高射炮,由題知P(A1

¨

A2

¨

…

¨

An

)=

1

-

P(A1

¨

A2

¨

…

¨

An

)=

1

-

P(A1

A2

…

An

)=

1

-

P(A1

)P(A2

)…

P(An=

1

-

0.4n>

0.99(0.4)n

<

0.01

,解之得,ln

0.4n

>

ln

0.01

?

5.026

.即例3

要驗(yàn)收一批

(100件)樂(lè)器

.

驗(yàn)收方案如下:自該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3

件測(cè)試(

設(shè)

3

件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的)

,

如果3

件中至少有一件在測(cè)試中被認(rèn)為音色不純

,

則這批樂(lè)器就被拒絕接收.

設(shè)一件音色不純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100

件樂(lè)器中恰有4

件是音色不純的.試問(wèn)這批樂(lè)器被接收的概率是多少?解設(shè)

Hi

=

{隨機(jī)地取出3

件,

恰有

i

件音色不純

},i

=

0,1,2,3

.A

={這批樂(lè)器被接收}.則其中0,100

96

C

3=P

(H

)

(

)1P

H,100

96

4C

3P(A)=

P(A

|

H

0

)P(H

0

)+

P(A

|H1

)P(H1

)+

P(A

|

H2

)P(H2

)+

P(A

|

H3

)P(H3

)C

3

C

2

C

1=(

)2P

H,100

96

4

C

3C

1

C

2=3P

(H

),

4

100C

3C

3=3

2P(A

|

H

0

)=

(0.99)

,

P(A

|

H1

)=

(0.99)

(0.05),P(A

|

H2

)=

(0.99)(0.05)

,

P(A

|

H

3

)=

(0.05)

.2

3所以這批樂(lè)器被接收的概率為:P(A)=

P(A

|

H

0

)P(H

0

)+

P(A

|H1

)P(H1

)+

P(A

|

H2

)P(H

2

)+

P(A

|

H3

)P(H3

)100=

96C

33

2100(0.99)

+

96

4

(0.99)

(0.05)C

3C

3

C

2

C

1(

)(

)20.99

0.05100+

96

4

C

3C

1

C

2(

)3

4

100C

3C

3+0.05

=

0.8629

.例4三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？解將三人編號(hào)為1，2，3，記

Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}

i=1

,

2

,

3所求為P

(A1

¨

A2

¨

A3已知,

P(A1)=1/5

,

P(A2)=1/3

,

P(A3)=1/4P

(A1

¨

A2

¨

A3

)=

1

-

P

(A1

¨

A2

¨

A3

)12=

1

-

P

(

A1

A2

A3

)=

1

-

P

(

A1

)P

(

A2

)P(

A3

)=1-[1