概統(tǒng)課件概率

第六節(jié)

獨立性兩個事件的獨立性多個事件的獨立性獨立性的概念在計算概率中的應用小結(jié) 布置作業(yè)顯然

P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有P(AB)=P(A)

P(B)P

(AB

)=

P

(A

B

)P

(B

)用P(AB)=P(A)

P(B)刻劃獨立性,比用P(A|B)

=

P(A)或

P(B|A)

=

P(B)更好,它不受P(B)>0

或P(A)>0

的制約.若兩事件A、B滿足兩事件獨立的定義P(AB)=

P(A)

P(B)

(1)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.定理1

事件A、B

獨立的充要條件為P

(A

|

B)=

P(A),

P(B)>

0P(B

|

A)=

P(B),

P(A)>

0或證先證必要性.設事件A、B

獨立,由獨立定義知P(AB)=

P(A)

P(B)P(B)P(B)所以,當P(B)>0

時,P(A

|

B)=P(AB)=P(A)P(B)=P(AP(A)P(A)或者,當

P(A)>

0

時,

P(B

|

A)=

P

AB)=

P(A)P(B)=

P(B再證充分性:

設

P(A

|

B)=

P(A)成立

,則有P(AB)=

P(A

|

B)P(B)=

P(A)P(B)由定義可知,事件A、B

相互獨立.例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},

B={抽到的牌是黑色的}問事件A、B是否獨立？解由于P(A)=4/52=1/13,P(AB)=2/52=1/26.可見,

P(AB)=P(A)P(B)故 事件A、B獨立.P(B)=26/52=1/2,前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做:在實際應用中,

往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.可見P(A)=P(A|B),即事件A、B獨立.從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},

B={抽到的牌是黑色的},

則P(A)=1/13,

P(A|B)=2/26=1/13在實際應用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.例如甲、乙兩人向同一目標射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）又如：一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設Ai={第i件是合格品}

i=1,2若抽取是有放回的,

則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？A

B即若A、B互斥，且P(A)>0,

P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A、B不互斥.而P(A)≠0,

P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)

≠

P(A)P(B)即設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.

P(B|A)>03.

P(A|B)=02.

P(A|B)=P(A)4.

P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.

P(B|A)>03.

P(A|B)=02.

P(A|B)=P(A)4.

P(AB)=P(A)P(B)前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，再請你做個小練習.A、B獨立概率的性質(zhì)定理2

若兩事件A、B獨立,則A與B,A與B,A與B也相互獨立.證明 僅證A與B

獨立P(AB

)=

P(A

-

A

B)=

P(A)-

P(AB)

=

P(A)-

P(A)

P(B)=P(A)[1-

P(B)]=

P(A)

P(B)故A與B獨立P(AC

)=

P(A)P(CP(BC

)=

P(B)P(C

)則稱三事件A、B、C

為兩兩獨立的事件.當事件A、B、C

兩兩獨立時,等式P(ABC

)=

P(A)P(B)P(C

)不一定成立.二、多個事件的獨立性定義設A、B、C

為三事件,如果滿足等式P

(AB)=

P(A)P(B)例如S

={w

1,w

2

,w

3

,w

4

},A

={w

1

,w

2

},B

={w

1

,w

3

},C

={w

1

,w

4

},則24P(A)=P(B)=P(C

)=1

,并且,4P(AB)=

1

=

P(A)P(B),P

(AC

)=

1

=

P

(A P

(C

,P(BC

)=

1

=

P(B)P(C

).4即事件A、B、C

兩兩獨立.4但是

P(ABC

)=

1

?

P(A)P(B)P(C

).對于三個事件A、B、C，若P(AB)=

P(A)P(B)P(AC)=

P(A)P(C)P(BC)=

P(B)P(C)P(ABC)=

P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.此定義可以推廣到任意有限多個事件的情形:定義設A1

,A2

,…,An

為n

個事件,如果對于任意的k

(1

<

k

￡

n),

和任意的1

￡

i1

￡

i2

￡

…

￡

ik

￡

n

有等式兩兩獨立相互獨立P

Ai

Ai

…

Ai

=

P

Ai

P

Ai

…

P

Ai1

2

k

1

2

k則稱A1

,A2

,…,An

為相互獨立的事件.請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系對n

(n

>2)個事件?三、獨立性的概念在計算概率中的應用對獨立事件，許多概率計算可得到簡化例1

有甲、乙兩批種子，出苗率分別為0.8

和0.9,現(xiàn)從這兩批種子中各任取一粒,求兩粒種子都出苗的概率;恰好有一粒種子出苗的概率;至少有一粒種子出苗的概率.解設A

={由甲批中取出的一粒種子出苗}B

={由乙批中取出的一粒種子出苗}則事件A、B相互獨立,且事件"兩粒種子都出苗"表示為:AB

,"恰好有一粒出苗"表示為:AB

+AB

,"至少有一粒種子出苗"表示為:A

¨

B

.P

(AB

=

P(A)P(B)=

0.8 0.9

=

0.72;P(AB

¨

AB

)=

P(AB)+

P(AB=

P(A

)P(B)+

P(A)P(B=

0.2

0.9

+

0.8

0.1

=

0.26

.(3)

P(A

¨

B

=

P(A)+

P(B)-

P(AB=

P(A)+

P(B)-

P(A)P(B)=

0.8

+

0.9

-

0.8 0.9

=

0.98

.或者

P(A

¨

B

=

1

-

P

A

¨

B

=

1

-

P(AB

)=

1

-

P(A

)P(B=

0.98

.或者P(A

¨

B=

P(AB

+

AB

+

AB=

P(AB)+

P(AB

+

AB

)=

0.72

+

0.26

=

0.98

.例2

設有兩門高射炮,

每一門擊中飛機的概率都是0.6

,求下列事件的概率:同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少?若有一架敵機入侵領空,欲以99%以上的概率擊中它,問至少需要多少門高射炮?解

設

Ak

=

{第k

門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機},k

=1,2,則Ak

之間相互獨立,且P(Ak

)=0.6,于是(1)P(A1

¨

A2=

1

-

P(A1

¨

A2=

1

-

P(A1

A2

)=

1

-

P(A

)P(A

)=

1

-

0.42

=

0.84

.1

2(2)設至少需要n門高射炮,由題知P(A1

¨

A2

¨

…

¨

An

)=

1

-

P(A1

¨

A2

¨

…

¨

An

)=

1

-

P(A1

A2

…

An

)=

1

-

P(A1

)P(A2

)…

P(An=

1

-

0.4n>

0.99(0.4)n

<

0.01

,解之得,ln

0.4n

>

ln

0.01

?

5.026

.即例3

要驗收一批

(100件)樂器

.

驗收方案如下:自該批樂器中隨機地取3

件測試(

設

3

件樂器的測試是相互獨立的)

,

如果3

件中至少有一件在測試中被認為音色不純

,

則這批樂器就被拒絕接收.

設一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認為不純的概率為0.01.如果已知這100

件樂器中恰有4

件是音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解設

Hi

=

{隨機地取出3

件,

恰有

i

件音色不純

},i

=

0,1,2,3

.A

={這批樂器被接收}.則其中0,100

96

C

3=P

(H

)

(

)1P

H,100

96

4C

3P(A)=

P(A

|

H

0

)P(H

0

)+

P(A

|H1

)P(H1

)+

P(A

|

H2

)P(H2

)+

P(A

|

H3

)P(H3

)C

3

C

2

C

1=(

)2P

H,100

96

4

C

3C

1

C

2=3P

(H

),

4

100C

3C

3=3

2P(A

|

H

0

)=

(0.99)

,

P(A

|

H1

)=

(0.99)

(0.05),P(A

|

H2

)=

(0.99)(0.05)

,

P(A

|

H

3

)=

(0.05)

.2

3所以這批樂器被接收的概率為:P(A)=

P(A

|

H

0

)P(H

0

)+

P(A

|H1

)P(H1

)+

P(A

|

H2

)P(H

2

)+

P(A

|

H3

)P(H3

)100=

96C

33

2100(0.99)

+

96

4

(0.99)

(0.05)C

3C

3

C

2

C

1(

)(

)20.99

0.05100+

96

4

C

3C

1

C

2(

)3

4

100C

3C

3+0.05

=

0.8629

.例4三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？解將三人編號為1，2，3，記

Ai={第i個人破譯出密碼}

i=1

,

2

,

3所求為P

(A1

¨

A2

¨

A3已知,

P(A1)=1/5

,

P(A2)=1/3

,

P(A3)=1/4P

(A1

¨

A2

¨

A3

)=

1

-

P

(A1

¨

A2

¨

A3

)12=

1

-

P

(

A1

A2

A3

)=

1

-

P

(

A1

)P

(

A2

)P(

A3

)=1-[1