線性代數(shù) 矩陣及其運(yùn)算

某班級同學(xué)早餐情況這個(gè)數(shù)表反映了學(xué)生的早餐情況.姓名饅頭包子雞蛋稀飯周星馳4221張曼玉0000陳水扁4986為了方便，常用下面右邊的數(shù)表表示§2.1矩陣的概念2.1.1矩陣的引入第一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三1.定義2.1由m×n個(gè)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。記作2.1.2矩陣的定義第二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.說明:矩陣與行列式不同

形式不同矩陣的行列數(shù)可不同，但行列式必須行列數(shù)同.內(nèi)容不同矩陣是一個(gè)數(shù)表，但行列式必是一個(gè)數(shù).

3.實(shí)矩陣、復(fù)矩陣第三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三5.矩陣相等充要條件是:4.同型矩陣兩矩陣的行列數(shù)分別相等稱它們是同型矩陣第四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.1.2一些特殊矩陣1.方陣若A為n行n列的矩陣，稱A為n階方陣。2.

行矩陣、列矩陣行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只有一列的矩矩陣3.零矩陣、單位矩陣第五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三n階單位矩陣第六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三4.對角矩陣與數(shù)量矩陣5.上（下）三角形矩陣第七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三§2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1.矩陣的加法與數(shù)乘:

注：矩陣的加法只能在兩個(gè)同型矩陣之間進(jìn)行；兩個(gè)矩陣相加時(shí)，對應(yīng)元素進(jìn)行相加。1.矩陣的加法（定義2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)第八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.矩陣的數(shù)乘定義2.3

數(shù)λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：負(fù)矩陣:

A=(

aij)

減法：Ａ

B=Ａ+(

B)第九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三3.矩陣線性運(yùn)算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

第十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例1．若X滿足其中求X.解X=第十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三

2.2.2.矩陣的乘法：1.矩陣的乘法定義（定義2.5）設(shè)矩陣A為m×s

階矩陣、矩陣B為s×n

階矩陣，A=(aij)

m×s

、B=(bij)s×n，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且第十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和。第十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例2計(jì)算

第十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例3.非齊次線性方程組的矩陣表示記則非齊次線性方程組可簡記為第十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于矩陣乘法的注意事項(xiàng)：（1）矩陣A

與矩陣B

做乘法必須是左矩陣的列數(shù)與右

矩陣的行數(shù)相等；（2）矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；2.矩陣乘法與加法滿足的運(yùn)算規(guī)律第十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三（3）AB與BA不一定同時(shí)會(huì)有意義；即是有意義，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4第十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三定理2.1

若矩陣A的第i行是零行，則乘積AB的第i行也是零；若矩陣B的第j行是零列，則乘積AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩陣，則乘積AB也是零矩陣。例5設(shè)求AB與BA解第十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩陣的乘冪：設(shè)A是n階方陣，定義：第十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例6

解

第二十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三4.方陣A的n次多項(xiàng)式第二十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三5.矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT，是將A的行列互換后所得矩陣如果A是一個(gè)m×n階矩陣，AT是一個(gè)n×m階矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)第二十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三證明（1）、（2）、（3）易證，下證明(4).設(shè)矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設(shè)C=AB，因?yàn)镃T的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT第二十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三6.對稱矩陣與反對稱矩陣設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對稱矩陣；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對稱矩陣。如右邊的矩陣A為對稱矩陣第二十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三7.方陣的行列式（1）方陣A的行列式，記為|A|或detA。注意：行列式與方陣是兩個(gè)不同的概念，且它們的記號也是不同的。（2）方陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，λ為實(shí)數(shù))第二十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三1)伴隨矩陣：設(shè)A=(aij)n×n，矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式Aij構(gòu)成的如下矩陣8、再講幾類特殊的矩陣稱矩陣A的伴隨矩陣，記為A＊第二十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三矩陣運(yùn)算舉例第二十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第二十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三

設(shè)對于n階方陣A，若存在n階方陣B使得

AB=BA=E恒成立，則稱矩陣A可逆或滿秩矩陣,或非奇異矩陣；B稱為A的逆矩陣，記為A－1=B

。1）.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設(shè)A有兩個(gè)逆矩陣B1、B2，則

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩陣的定義（定義2.8）2、可逆矩陣的唯一性、存在性及性質(zhì)§2.3逆矩陣第三十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三證明：充分性由行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)及矩陣乘法的定義有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要條件是|A|≠0，且A可逆時(shí)有第三十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三3）.對于n階方陣A、B若有AB=E則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣。證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性證明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同時(shí)還有奇異矩陣與非奇異矩陣：若n方陣Ａ的行列式|A|≠0，稱矩陣A為非奇異矩陣，否則矩陣A稱為奇異矩陣。第三十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三4）.逆矩陣的性質(zhì)

如果A、B均可逆，那么AT與AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k為非零）

|A－1|=|A|－1

證明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1第三十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三有關(guān)逆矩陣?yán)}第三十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第四十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三

本節(jié)來介紹一個(gè)在處理高階矩陣時(shí)常用的方法，即矩陣的分塊。將矩陣A用若干條橫線與若干條縱線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為矩陣A的子塊。以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做一個(gè)數(shù)來處理?！?.4分塊矩陣第四十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三即Aij與Bij有相同的列數(shù)與行數(shù)，則：A與B的和就是以Aij與Bij為元素的形式矩陣相加。2.4.1分塊矩陣的加法：設(shè)矩陣A,矩陣B為：第四十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.4.2分塊矩陣的乘法：設(shè)矩陣Am×n、Bn×p且矩陣A列的分法與矩陣B的行的分法相同。第四十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第四十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.4.3分塊矩陣的轉(zhuǎn)置第四十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三

它的特點(diǎn)是不在主對角線上的子塊全為零矩陣，而在主對角線上的矩陣均為不全為零的方陣，則稱A為準(zhǔn)對角矩陣（或?qū)菈K矩陣）。

對于準(zhǔn)對角矩陣，有以下運(yùn)算性質(zhì)：若A與B是具有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣，且設(shè)2.4.4準(zhǔn)對角矩陣

若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式第四十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三則：第四十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三?若準(zhǔn)對角矩陣A的主對角線上的每一個(gè)方陣均可逆，則矩陣A也可逆，且?第五十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.4.5矩陣分塊的應(yīng)用第五十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第五十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第五十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第五十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.4.6矩陣按列分塊1.矩陣按列分塊第五十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.線性方程組的系數(shù)矩陣按列分塊后線性方程組的等價(jià)形式第五十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則線性方程組可記作第五十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三§2.5初等變換與初等矩陣2.5.1矩陣的初等變換(Elementaryoperation)1

初等變換定義定下面的三種變換稱為矩陣的初等變換

：(i).

對調(diào)兩行(ii).以非0數(shù)乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。

第五十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例18設(shè)（1）用行初等變換把A化為階梯形，進(jìn)一步化為行標(biāo)準(zhǔn)形（2）再用列初等變換把A化為標(biāo)準(zhǔn)形解（1）第五十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三（行階梯形）第六十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第六十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三第六十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2行階梯形矩陣定義2.11一個(gè)矩陣稱為行階梯形矩陣，如果從第一行起，每行第一個(gè)非零元素前面零的個(gè)數(shù)逐行增加，一旦出現(xiàn)零行，則后面各行（如果有的話）都是零行

如下面的階梯形矩陣第六十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)型第六十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三3.定理2.3設(shè)A是一個(gè)m行n列矩陣，通過行初等變換可以把A化為如下行標(biāo)準(zhǔn)型第六十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三

4

定理矩陣A可經(jīng)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形:第六十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三（1）.已知分別將A的第一、二行互換和將A的第一列的2倍加到第二列，求出相應(yīng)的初等矩陣,并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來。第六十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三解交換A的第一、二行，可用二階初等矩陣

左乘A：第六十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三將A的第一列的2倍加到第二列，即用三階初等矩陣右乘A：

第六十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2.5.2初等矩陣1.初等矩陣的定義（定義2.12）由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。對應(yīng)于三種行初等變換，可以得到三種行初等矩陣。人們從大量的實(shí)際計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：對經(jīng)過一次初等變換等同于對矩陣左乘或右乘一個(gè)適當(dāng)?shù)木仃?，此矩陣就是下面的所謂初等矩陣。第七十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三對于n階單位矩陣I，交換E的第

行，得到的初等矩陣記作：

第七十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三(2)用非零數(shù)k乘以I的第

行，得到的初等矩陣記作:第七十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三(3)將I的第

行的

倍加到第

行，得到的初等矩陣記作：第七十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三(4)同樣用列初等變換可以得到相應(yīng)的的初等矩陣2.初等矩陣之間的關(guān)系第七十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三3.可以直接驗(yàn)證，初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；4.初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系；1）.先看下面的例題第七十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三1）行初等矩陣左乘矩陣（3）.列初等矩陣右乘矩陣第七十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三2）.結(jié)論定理2.4A為矩陣,對A進(jìn)行初等行變換等同于用相應(yīng)的行初等矩陣左乘A，對A進(jìn)列變換等同于用相應(yīng)的列初等矩陣右乘A。

5.矩陣等價(jià)定義2.13若矩陣A經(jīng)過行（列）初等變換可化為B則稱A與B行（列）等價(jià)。若矩陣A經(jīng)過初等變換可化為B則稱A與B等價(jià)第七十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三6.初等矩陣可逆性初等矩陣是可逆的，且有第七十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三7.結(jié)論定理2.6可逆矩陣A可表示為有限個(gè)初等矩陣的積，進(jìn)一步可以表示為有限個(gè)行初等矩陣的積；也可以表示為有限個(gè)列初等矩陣的積。證明：因?yàn)槿我饩仃嘇，有行、列初等矩陣使得第七十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三因A可逆，所以A的標(biāo)準(zhǔn)形中不可能有零行，從而r=n,即有于是有第八十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三證畢初等矩陣的逆還是初等矩陣，故A初等矩陣的積。又行初等矩陣與列初等矩陣可以互換，故A可以是行初等矩陣的積或列初等矩陣的積。第八十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三定理2.5矩陣A與B等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆的P與Q，使得PAQ=B.特別地，矩陣A等價(jià)于A的標(biāo)準(zhǔn)形。證明：初等矩陣的積是可逆；任何矩陣一定可以經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；可逆矩陣一定可以表成有限初等矩陣的積第八十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三8.

可逆矩陣的逆的求法A可逆,則有行初等行矩陣使得則有記第八十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三則有行初等矩陣使得上面的推導(dǎo)，提供了一種新的求矩陣的簡單方法，舉例如下：第八十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例4求A的逆矩陣第八十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三例5求A的逆矩陣解第八十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三§2.6矩陣的秩2.6.1矩陣的秩的概念(Rankofamatrix)1.定義在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。2.定義2.14

如果矩陣A有一個(gè)不等于零的r階子式D，并且所有的r+1階子式（如果有的話）全為零，則稱D為矩陣A的最高階非零子式，稱r為矩陣A的秩，記為R(A)=r，并規(guī)定零矩陣的秩等于零。第八十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期三4.由矩陣的秩的定義易得：（1）矩陣A的秩既不超過行數(shù)也不超過列數(shù)（2）矩陣A的秩等于矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣的秩。不為零的常數(shù)k與矩陣A的積的秩等于矩陣A的秩。（3）n階矩陣A的秩等于n充要條件是A為可逆矩陣（滿秩矩陣）。（4）若A有一個(gè)r階子式不等于零，則r(A)大于等于r;若