八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形中位線培優(yōu)專題訓(xùn)練

八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形中位線培優(yōu)專題訓(xùn)練一、內(nèi)容提要三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等②經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。二、例題已知：△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PM＝PN證明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F(xiàn)∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)PE＝AC＝NF，PF＝AB＝MEPE∥AC，PF∥AB∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC即∠PEM＝∠PFN∴△PEM≌△PFN∴PM＝PN例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點(diǎn)。求MN的長(zhǎng)。分析：N是BC的中點(diǎn)，若M是另一邊中點(diǎn)，則可運(yùn)用中位線的性質(zhì)求MN的長(zhǎng)，根據(jù)軸稱性質(zhì)作出△AMC的全等三角形即可。輔助線是：延長(zhǎng)CM交AB于E（證明略例3.如圖已知：△ABC中，AD是角平分線，BE＝CF，M、N分別是BC和EF的中點(diǎn)求證：MN∥AD證明一：連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)P，連結(jié)PM、PNMP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC∵BE＝CF，∴MP＝NP∴∠3=∠4=∠MPN＋∠BAC＝180（兩邊分平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)）∴∠1=∠2=，∠2=∠3∴NP∥AC∴MN∥AD證明二：連結(jié)并延長(zhǎng)EM到G，使MG＝ME連結(jié)CG，F(xiàn)G則MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF∠B＝∠BCG∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180∠CAD＝（180－∠FCG）∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD∴MN∥AD已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分線，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于G求證：FD＝CG證明要點(diǎn)是：延長(zhǎng)GE交AC于H，可證E是GH的中點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥GC交HC于M，則M是HC的中點(diǎn)，EM∥GC，EM＝GC由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC三、練習(xí)1.如圖11，M、P分別為△ABC的AB、AC上的點(diǎn)，且AM=BM，AP=2CP，BP與CM相交于N，已知PN=1，則PB的長(zhǎng)為()A.2B.3C.4D.52.如圖12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)，AB=10，則MD的長(zhǎng)為()A.10B.8C.6D.53.如圖13，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，P為不同于B、E、C的BC上的任意一點(diǎn)，△DPH為等邊三角形.連接FH，則EP與FH的大小關(guān)系是()A.EP>FHB.EP=FHC.EP<FHD.不確定4.如圖14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，