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第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值和最值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)2021/5/91一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義2021/5/92例1例２例３(3)(2)(1)2021/5/932、多元函數(shù)取得極值的條件證2021/5/942021/5/95仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點偏導數(shù)存在的極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：2021/5/962021/5/972021/5/98例4求函數(shù)的極值。解求解方程組：得駐點因此，駐點2021/5/99因此，駐點因此，駐點2021/5/910與一元函數(shù)類似，可能的極值點除了駐點之外，偏導數(shù)不存在的點也可能是極值點。例如，顯然函數(shù)不存在。2021/5/911求最值的一般方法：將函數(shù)在

D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在

D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值2021/5/912解令2021/5/913無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.2021/5/914實例：小王有

200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，

y盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為

U(x,y)=lnx+lny．設(shè)每張磁盤

8元，每盒磁帶

10元，問他如何分配這

200元以達到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法2021/5/915條件極值：對自變量有附加條件的極值．2021/5/916求解方程組解出x,y,z,t

即得可能極值點的坐標.2021/5/917解則例6求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.

設(shè)長方體的長、寬、高為x,y，z.體積為V.則問題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，2021/5/918則令即由(2),(1)及(3),(2)得2021/5/919由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，所以，最大值就在此點處取得。故，最大值最大值一定存在，2021/5/920解則由(1)，(2)得由(1)，(3)得2021/5/921將(5)，(6)代入(4)：于是，得

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