二重積分的計(jì)算(習(xí)題課)

二重積分的計(jì)算2021/5/91

二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：①作出積分區(qū)域的草圖②選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系③選定積分次序，定出積分限1.關(guān)于坐標(biāo)系的選擇

這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個(gè)方面來(lái)考慮一、主要內(nèi)容2021/5/92被積函數(shù)呈常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜2.關(guān)于積分次序的選擇選序原則①能積分，②少分片，③計(jì)算簡(jiǎn)3.關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元為正確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形2021/5/93看圖定限—穿越法定限和不等式定限先選序，后定限①直角坐標(biāo)系ⅰ.先

y

后

x

，過(guò)任一x∈[a

,b

],作平行于

y

軸的直線穿過(guò)D的內(nèi)部從D的下邊界曲線穿入—內(nèi)層積分的下限從上邊界曲線穿出—內(nèi)層積分的上限ⅱ.先x

后

y過(guò)任一

y∈[c,d]作平行于x

軸的直線定限2021/5/94左邊界——內(nèi)層積分的下限右邊界——內(nèi)層積分的上限則將D分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計(jì)算，結(jié)果相加②極坐標(biāo)系積分次序一般是過(guò)極點(diǎn)O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入,從穿出.ⅲ.如D須分片2021/5/95——內(nèi)下限—內(nèi)上限具體可分為三種情況⑵極點(diǎn)在D的邊界上

是邊界在極點(diǎn)處的切線的極角絕大多數(shù)情況下為0⑶極點(diǎn)在D的內(nèi)部化累次積分后外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘r⑴極點(diǎn)在D的外部2021/5/964.關(guān)于對(duì)稱性

利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用對(duì)①若D關(guān)于x

軸對(duì)稱2021/5/97②若D關(guān)于

y

軸對(duì)稱③若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2021/5/98

奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì).對(duì)于變量x,y來(lái)說(shuō)，可以簡(jiǎn)述為

“你對(duì)稱，我奇偶”①、②、③簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：2021/5/991.

設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對(duì)稱，D1

是D

中對(duì)應(yīng)于

y

≥0的部分。對(duì)稱性的證明則2021/5/910證（1）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對(duì)稱性于是2021/5/911（2）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對(duì)稱性于是2021/5/912二、例題分析例.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則2021/5/913解原式2021/5/914例計(jì)算解DY—型I=

若先

y

后x

由于D的下邊界曲線在x

的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，須分片積分，計(jì)算較麻煩。21212021/5/915解2021/5/916例計(jì)算解根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)14-12應(yīng)先對(duì)x

后對(duì)

y

積分但由于對(duì)x

的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，須改變積分次序。2021/5/917先

x

后

y

有奇函數(shù)2021/5/918解2021/5/919例計(jì)算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號(hào)所得的曲線是兩個(gè)半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制因此D只能在x=0

，x=2之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單2021/5/920顯然r

呢？極點(diǎn)在D的邊界上，所以

那就錯(cuò)了不能以為極點(diǎn)O在區(qū)域的邊界上就誤以為對(duì)

r

積分的下限為0定r

的積分限，應(yīng)先固定以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線這射線和兩個(gè)半圓相交穿入;從從穿出.積分限如何確定2021/5/921盡管極點(diǎn)在D的邊界上但極角為的射線并不是從極點(diǎn)穿入而不是域D的極坐標(biāo)表示為2021/5/922解例計(jì)算D1D22021/5/923三、對(duì)稱性的應(yīng)用例舉2021/5/924例.(1)解D

區(qū)域關(guān)于x

軸對(duì)稱，且而2021/5/925而因此，2021/5/926解：能否用對(duì)稱性？2021/5/927（4）計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,2021/5/928(5)計(jì)算D2D1解2021/5/929解D關(guān)于