特征向量計算

特征向量計算第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@主要內(nèi)容問題的提出按模最大最小特征值計算計算實對稱矩陣的雅克比法QR法第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三1.問題的提出在數(shù)學和物理中，需要處理線性方程組，方程組的特性就是其系數(shù)矩陣的特征，即求矩陣計算矩陣的特征值及其特征向量。如波導模式問題其特征值就是代數(shù)方程cem@a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2·········································an1x1+an2x2+····+annxn=bn第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三φ(λ)是關(guān)于λ的n次多項式

也稱為矩陣A特征方程。它的n個根，稱為A的特征值。λ是A的特征值時，相應(yīng)的方程的非零解x，稱為對應(yīng)特征值λ的特征向量。cem@1.問題提出第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三問題：當A的階數(shù)比較高時，化簡特征方程很復雜，求解特征方程也困難。有些問題只要求最大特征值及特征向量。有些問題只要求最小特征值及特征向量。需要計算所有特征值及特征向量。cem@1.問題提出第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2.按模最大最小特征值求法迭代計算方法。冪法是求解最大特征值及特征向量的方法。設(shè)n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量x1,x2,…,xn，對應(yīng)的特征向量λ1,λ2,…,λn，并按模的大小排列有2種情況討論。cem@第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三（1）任取初始向量v0，由矩陣A的n個線性無關(guān)的特征向量線性表示設(shè)a1不等于0，從v0出發(fā)做一系列迭代cem@2.最大最小模(1)冪法第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三具體計算λ1主要求矩陣A的冪Ak與已知向量v0的乘積，故稱冪法。是一種迭代法，其迭代的收斂速度取決于下面的比值因反復計算A與向量Ak-1v0的乘積，會出現(xiàn)各分量值過大或過小，計算機會溢出。如何解決？cem@2.最大最小模(1)冪法第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三方法：采用迭代向量“歸一化”，即把迭代向量的最大分量歸一化為1。計算步驟：任取一個初始向量構(gòu)造迭代序列取cem@2.最大最小模(1)冪法第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例1：用冪法計算矩陣

模最大的特征值及其對應(yīng)的特征向量解：cem@2.最大最小模(1)冪法第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三（2）迭代序列cem@2.最大最小模(1)冪法第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法說明三個向量大體上線性相關(guān)第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法上式方程的左邊可以作為λ1,λ2的特征向量。說明：不止兩種情況，根據(jù)計算來判定初始向量的選取對迭代次數(shù)有影響。冪法的收斂速度是決定的，當接近1時，收斂很慢，需要加速。思路：通過矩陣A的特征值對應(yīng)的特征向量組進行規(guī)范化正交組。第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法即稱為Rayleigh商，并有用冪法計算特征根λ1，已經(jīng)迭代到第k次第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(1)冪法對uk做一次Rayleigh商第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法設(shè)矩陣A是非奇異陣，則0不是A的特征值。則A-1存在A-1的特征值有A-1主特征值為1/

λ1及特征向量xn，就是A求模的最小特征值，用A-1代替A做冪法，叫反冪法第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法任給初始向量v0迭代計算A-1是不容易的事，可寫成采用歸一化處理，步驟每進行1次迭代，需要計算方程組

計算量很大，事先A進行LU分解。第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@2.最大最小模(2)反冪法例2：用反冪法計算矩陣

模最小的特征值及其對應(yīng)的特征向量解：矩陣A的LU分解

取初始向量第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.實對稱矩陣特征值的雅克比法雅克比法是計算實對稱矩陣的特征值及特征向量的主要迭代方法，其理論依據(jù)：對n階實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣R，使如何找合適的正交陣R？cem@第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三最簡單的實例分析。一條二次曲線坐標軸的旋轉(zhuǎn)上面方程矩陣形式cem@3.雅克比法第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三其中如果令得到θ的值cem@3.雅克比法第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三得到比較兩矩陣其中cem@3.雅克比法第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三推廣到一般情況，例舉一個實例說明例3橢球與坐標平面OX1X2的交線是如果OX1,OX2軸旋轉(zhuǎn)П/4，得到二次橢圓曲線cem@3.雅克比法第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三橢球經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后，得到新方程變換前后方程寫成矩陣形式cem@3.雅克比法第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三經(jīng)過變換后，矩陣A的變化情況：對角線元素的平方和由19增加到27.非對角線元素的平方和由10.5減少到2.5，矩陣所有元素的平方和未變。但轉(zhuǎn)換后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘積項，用類似的方法再次變換，如與Oy2y3平面相截cem@3.雅克比法第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三橢圓方程轉(zhuǎn)換為：二次型矩陣對角線元素的平方和不斷增加（27.25）非對角線元素的平方和不斷減少（2.25）cem@3.雅克比法雅克比法的基本思想第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三設(shè)A=(aij)為n階實對稱矩陣R(i,j)為平面旋轉(zhuǎn)陣，記為R1.記cem@3.雅克比法第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三平面旋轉(zhuǎn)陣R(i,j)有如下性質(zhì)R1TR1=I，即R1是正交陣如果A是對稱陣，則(R1TAR1)T=R1ATR1=R1AR1,A1=R1AR1是對稱矩陣，說明對稱矩陣經(jīng)過正交變換后仍然是對稱陣。矩陣A經(jīng)過變換后的A1第i,j行列元素的變化如下3.雅克比法第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三如果取θ使得即同樣可以驗證：3.雅克比法cem@第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三如果取大于或等于A非對角線元素的絕對值通過一次變換，非對角線元素的平方和說明每次迭代非對角線元素的平方和不會超過

當經(jīng)過k次迭代后對角線元素的平方和A變成對角陣3.雅克比法cem@第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三雅克比法的計算步驟：找出A矩陣非對角元素絕對值最大的元素aij，確定i，j用公式計算tan2θ，計算sinθ及cosθ計算以A1代入A，重復上面步驟，直到3.雅克比法cem@第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三Ak對角元素就是特征值，逐次變換矩陣Rk的乘機其列向量即所求的特征向量。具體計算：3.雅克比法cem@第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例4用雅克比法求對稱矩陣的特征值及特征向量。解：3.雅克比法cem@第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.雅克比法cem@第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三4.QR方法對任意非奇異矩陣A，可以分解成一個正交陣Q和一個上三角陣R的乘積，稱為A的QR分解。如R的對角元是正實數(shù)，分解是唯一的。若A是奇異的，則A有零特征值，取一個不等于A特征值的μ，則A-μI是非奇異的。QR方法的基本過程：A=A1，對A1進行QR分解交換次序R1Q1為A2

是正交相似變換，有相同的特征值。cem@第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三非奇異矩陣A，借助施密特正交化過程，實行A的QR分解。記A的n個列為cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三正交性且范數(shù)為1正交規(guī)范向量，從上式依次計算cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三記cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例5對A作QR分解解：cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三記cem@4.QR方法(1)矩陣A的QR分解第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三A為n*n非奇異矩陣，設(shè)A1=A設(shè)A的n個特征值