2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市普寧燎原中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市普寧燎原中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，則sin∠BAC=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的長，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，則由正弦定理=得：sin∠BAC==．故選C2.如圖圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]上的圖像大致為()A. B. C. D.參考答案：C試題分析：如圖所示，作，垂足為，當(dāng)時(shí)，在中，．在中，；當(dāng)時(shí)，在中，，在中，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象大致為C．考點(diǎn)：三角函數(shù)模型的應(yīng)用，函數(shù)的圖象．【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)圖形的分析與認(rèn)識(shí)能力．要作出函數(shù)的圖象，一般要求出函數(shù)的解析式，本題中要作出點(diǎn)到直線的垂線段，根據(jù)的取值范圍的不同，垂足的位置不同，在時(shí)，垂足在線段上，當(dāng)時(shí)，垂足在射線的反向延長線上．因此在解題時(shí)一定要注意分類討論思想的應(yīng)用．3.平面向量滿足，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用和，化簡得到，然后得出，再利用，然后利用均值不等式求解即可【詳解】解：∵；∴；∴；∴；∴；∵；∴；∴與夾角的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，向量的夾角的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）內(nèi)為增函數(shù)的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2 C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】逐一分析給定四個(gè)函數(shù)的奇偶性，及在（﹣∞，0）內(nèi)的單調(diào)性，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=（）x是非奇非偶函數(shù)，在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故A不滿足條件；函數(shù)y=x﹣2既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）內(nèi)為增函數(shù)，故B滿足條件；y=x2+1是偶函數(shù)，但在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故C不滿足條件；y=log3（﹣x）是非奇非偶函數(shù)，在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故D不滿足條件；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．5.設(shè)全集，則下圖中陰影部分表示的集合為（）A．

B．

C．

D．參考答案：D陰影部分表示的集合為，而，則，故選D.點(diǎn)睛：我們首先要看清楚它的研究對(duì)象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)，這是很關(guān)鍵的一步，第二步常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集，在解分式不等式的過程中，要注意分母不能為零.解指數(shù)或?qū)?shù)不等式要注意底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響.在求交集時(shí)注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.熟練畫數(shù)軸來解交集、并集和補(bǔ)集的題目.

6.右圖是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時(shí)間的關(guān)系：的圖象，有以下敘述，其中正確的是（

）1

這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；2

第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過30；3

浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到2、3、6所經(jīng)過的時(shí)間分別為，則.A．①②

B．①②③④

C．②③④

D．①②④參考答案：D7.函數(shù)f(x)＝|log3x|在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇0,1]，則b－a的最小值為(

)A．2

B.

C.

D．1參考答案：B8.函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.若函數(shù)在區(qū)間[3,4]和[－2,－1]上均為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．[4,6]

B．[－6,－4]

C.[2,3]

D．[－3,－2]參考答案：D10.已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則的取值范圍是（

）A.

B

C.或

D.或參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)．項(xiàng)數(shù)為31的等差數(shù)列{an}滿足,且公差，若，則當(dāng)k=____________時(shí)，．參考答案：16【分析】先分析函數(shù)的性質(zhì)，可發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性及等差數(shù)列的性質(zhì)，可知要使，則可得，因此即可求出.【詳解】∵，∴∴函數(shù)為奇函數(shù)；∴圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∵是項(xiàng)數(shù)為31的等差數(shù)列，且公差∴當(dāng)時(shí)，，即.【點(diǎn)睛】本題主要考察函數(shù)的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)。函數(shù)的奇偶性的判斷可根據(jù)以下幾步：一是先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二看關(guān)系，即是否滿足或；三是下結(jié)論，若滿足上述關(guān)系，則可得函數(shù)為偶函數(shù)或奇函數(shù)。12.（5分）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，若在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q落在△ABE內(nèi)部的概率是

．參考答案：考點(diǎn)： 幾何概型．專題： 計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 設(shè)正方形的邊長為1，求出S△ABE==，S正方形ABCD=1，即可求出點(diǎn)Q落在△ABE內(nèi)部的概率．解答： 由幾何概型的計(jì)算方法，設(shè)正方形的邊長為1，則S△ABE==，S正方形ABCD=1∴所求事件的概率為P=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答．13.已知集合A={3，，2，a}，B={1，a2}，若A∩B={2}，則a的值為．參考答案：考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：由A∩B={2}得到a2=2，求出a的值后驗(yàn)證集合中元素的特性得答案．解答：解：∵A={3，，2，a}，B={1，a2}，且A∩B={2}，則a2=2，解得a=．當(dāng)a=時(shí)，集合A違背元素的互異性，當(dāng)a=﹣時(shí)，符合題意．故答案為：﹣．點(diǎn)評(píng)：本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了集合中元素的特性，是基礎(chǔ)題．14.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為______．參考答案：15.若函數(shù)f(x)=(2)x2+(1)x+3是偶函數(shù)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

.參考答案：16.在R上定義運(yùn)算※，若存在，使不等式※成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：

(－3,2)

17.（5分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________..參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sin2x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期;(2)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c,若c=，cosB=求b.參考答案：(1)∵f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+∴最小正周期T==π，令2kπ-≤2x≤2kπ+（k∈Z），得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［kπ-,kπ+］(k∈Z).(2)由（1）得f(x)=-sin2x+，∴即故b=.略19.已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1．x∈的最大值為4．求其最小值．參考答案：解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1與已知不符．當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）的圖象為對(duì)稱軸是x=﹣1的拋物線上的一段．當(dāng)a＜0時(shí)，4=f（﹣1）=﹣a+1．∴a=﹣3，此時(shí)最小值為f（2）=﹣23．當(dāng)a＞0時(shí)，4=f（2）=8a+1，∴a=，此時(shí)最小值為f（﹣1）=考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)a=0和a＜0兩類，求出函數(shù)的最值．解答：解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1與已知不符．當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）的圖象為對(duì)稱軸是x=﹣1的拋物線上的一段．當(dāng)a＜0時(shí)，4=f（﹣1）=﹣a+1．∴a=﹣3，此時(shí)最小值為f（2）=﹣23．當(dāng)a＞0時(shí)，4=f（2）=8a+1，∴a=，此時(shí)最小值為f（﹣1）=．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)最值的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定出函數(shù)的最值在何處取到．20.．(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝，（1）求f(x)＋f(60°－x)（2）求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值

參考答案：解：（1）f(x)＋f(60°－x)＝＋＝＝＝，………….（6分）（2）f(x)＋f(60°－x)＝∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(29°)＋f(31°)]＋f(30°)＝.……….（12分）

21.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Qn=2bn﹣2．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，可得n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1時(shí)，a1=S1=1．可得an．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Qn=2bn﹣2．n≥2時(shí)，Qn﹣1=2bn﹣1﹣2，相減可得：bn=2bn﹣1．n=1時(shí)，b1=Q1=2b1﹣2，解得b1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn．（2），n=1時(shí)，c1=，n≥2時(shí)，cn==．利用錯(cuò)位相減法即可得出．【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣1﹣[2（n﹣1）2﹣1]=4n﹣2．n=1時(shí)，a1=S1=1．∴an=．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Qn=2bn﹣2．n≥2時(shí)，Qn﹣1=2bn﹣1﹣2，可得bn=2bn﹣2bn﹣1，化為：bn=2bn﹣1．n=1時(shí)，b1=Q1=2b1﹣2，解得b1=2．∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．∴bn=2n．（2），n=1時(shí)，c1=，n≥2時(shí)，cn==．∴n=1時(shí)，T1=c1=．n≥2時(shí)，Tn=++…+．=+++…++．∴=+2