廣東省汕尾市玉燕中學高一數(shù)學理期末試題含解析

廣東省汕尾市玉燕中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列中，則（

）A、30

B、27

C、24

D、21參考答案：B2.方程的解所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用零點判定定理情節(jié)端點函數(shù)值，判斷即可．【解答】解：設(shè)，則，所以方程的解所在的區(qū)間是（2，3）．故選：C．3.將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖像，已知g(x)分別在，處取得最大值和最小值，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用三角恒等變換化簡的解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的最值條件求得的最小值．【詳解】函數(shù)，將圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍縱坐標不變，可得的圖象；再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．已知分別在，處取得最大值和最小值，

，

．則，故當時，取得最小值為，故選：B．【點睛】本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．三角函數(shù)的平移問題，首先保證三角函數(shù)同名，不是同名通過誘導公式化為同名，在平移中符合左加右減的原則，在寫解析式時保證要將x的系數(shù)提出來，針對x本身進行加減和伸縮.4.已知角α∈(,π)，且tanα=，則cosα的值為（）A． B． C．D．參考答案：C【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由已知求出角α，進一步求得cosα的值．【解答】解：∵，且tanα=﹣，∴α=，則cosα=cos=．故選：C．5.（3分）已知logm＞logn，則正實數(shù)m，n的大小關(guān)系為（） A． m＞n B． m≥n C． m＜n D． m≤n參考答案：C考點： 對數(shù)值大小的比較．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答： ∵logm＞logn，∴0＜m＜n．故選：C．點評： 本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．6.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A．1升 B．升 C．升 D．升參考答案：B【考點】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項和公差，根據(jù)求出的首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式即可求出第5節(jié)的容積．【解答】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，則a5=+（5﹣1）=．故選B7.……（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B8.函數(shù)的圖象是參考答案：B令，令.所以圖像過點.9.“”的含義為（

）A．不全為0

B．全不為0

C．至少有一個為0

D．不為0且為0，或不為0且為0參考答案：A

解析:,于是就是對即都為0的否定,而“都”的否定為“不都是”或“不全是”,所以應(yīng)該是“不全為0”.10.（5分）定義行列式運算：，將函數(shù)的圖象向左平移m個單位（m＞0），若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是（） A． B． C． D． 參考答案：A考點： 二階行列式的定義；函數(shù)的圖象與圖象變化．專題： 計算題．分析： 先用行列式展開法則求出f（x），再由函數(shù)的平移公式能夠得到f（x+m），然后由偶函數(shù)的性質(zhì)求出m的最小值．解答： f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），圖象向左平移m（m＞0）個單位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，則當m取得最小值時，函數(shù)為偶函數(shù)．故選A．點評： 本題考查二階行列式的展開法則、函數(shù)的圖象與圖象變化，解題時要注意函數(shù)的平移和偶函數(shù)的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（1）3=．（2）=．參考答案：6，﹣4.【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】（1）利用指數(shù)冪與對數(shù)恒等式即可得出．（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）原式==3×2=6．（2）原式===﹣4．故答案為：6，﹣4．12.（5分）從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是

．參考答案：考點： 古典概型及其概率計算公式．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 根據(jù)題意，首先用列舉法列舉從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)的全部情況，可得其情況數(shù)目，進而可得其中一個數(shù)是另一個的兩倍的情況數(shù)目，由古典概型的公式，計算可得答案．解答： 從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6種情況；其中其中一個數(shù)是另一個的兩倍的有兩種，即（1，2），（2，4）；則其概率為=；故答案為：．點評： 本題考查古典概型的計算，解本題時，用列舉法，注意按一定的順序，做到不重不漏．13.數(shù)列{an}中，若，則該數(shù)列的通項an=

．參考答案：

14.若實數(shù)滿足，則的最大值為

．參考答案：415.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，則=_______參考答案：-7216.若，則

.參考答案：

.解析：由條件得，則17.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）某科技公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是20000元，每生產(chǎn)一臺產(chǎn)品需要增加投入100元．已知年總收益R（元）與年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式是R（x）=（1）把該科技公司的年利潤y（元）表示為年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)；（2）當年產(chǎn)量為多少臺時，該科技公司所獲得的年利潤最大？最大年利潤為多少元？（注：利潤=總收益﹣總成本）參考答案：考點： 分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由于年產(chǎn)量是x臺，則總成本為元，從而分段寫出函數(shù)解析式即可；（2）當0≤x≤500時，利用配方法y=﹣（x﹣400）2+60000求最值，當x＞500時，利用單調(diào)性可得y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．從而解得．解答： （1）由于年產(chǎn)量是x臺，則總成本為元．當0≤x≤500時，y=500x﹣x2﹣，即y=﹣x2+400x﹣20000；當x＞500時，y=125000﹣，即y=105000﹣100x．所以；（2）當0≤x≤500時，y=﹣（x﹣400）2+60000，所以當x=400時，ymax=60000；當x＞500時，y=105000﹣100x是減函數(shù)，即y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．綜上，當x=400時，ymax=60000．即當年產(chǎn)量為400臺時，該科技公司所獲得的年利潤最大，最大年利潤為60000元．點評： 本題考查了分段函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．19.（15分）設(shè)A={x|x是小于9的正整數(shù)}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求A∩B，A∩C，A∩（B∪C），A∪（B∩C）．參考答案：考點： 交、并、補集的混合運算．專題： 計算題．分析： 先利用列舉法寫出全集U，接著找出集合A與B中相同的元素即可求得A∩B，找出集合A與C中相同的元素即可求得A∩C，最后利用交、并集的定義求出A∩（B∪C），A∪（B∩C）．解答： A={x|x是小于9的正整數(shù)}={1，2，3，4，5，6，7，8}，又B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，∴A∩B={1，2，3}，A∩C={3，4，5，6}，B∪C={1，2，3，4，5，6}，A∩（B∪C）={1，2，3，4，5，6}，A∪（B∩C）={1，2，3，4，5，6，7，8}．點評： 此題考查學生理解并集、交集的定義，會進行并集、交集的運算．會利用列舉法表示集合．20.中國科學院亞熱帶農(nóng)業(yè)生態(tài)研究所2017年10月16日正式發(fā)布一種水稻新種質(zhì)，株高可達2.2米以上，具有高產(chǎn)、抗倒伏、抗病蟲害、酎淹澇等特點，被認為開啟了水稻研制的一扇新門.以下是A，B兩組實驗田中分別抽取的6株巨型稻的株高，數(shù)據(jù)如下（單位：米）.A：1.71.81.92.22.42.5B：1.81.92.02.02.42.5（Ⅰ）繪制A，B兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和B組數(shù)據(jù)的方差；（Ⅱ）從A組樣本中隨機抽取2株，請列出所有的基本事件，并求至少有一株超過B組株高平均值的概率.參考答案：解法一：（Ⅰ）…………….2分A組的中位數(shù)為（m）………3分B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為……………….4分…….5分

………..……………….6分（Ⅱ）從A組樣本中隨機抽取兩株的基本事件是:,，共有15個…………….8分至少有一株超過的事件有:，共有12種…………10分設(shè)P為事件“從A組樣本中隨機抽取兩株,至少有一株超過B組株高的平均值”的概率則………………………..……….12分注：所列基本事件不全但正確的個數(shù)過半給1分.解法二：（Ⅰ）同法一；（Ⅱ）從A組樣本中隨機抽取兩株的基本事件是:,，共有15個…………….8分兩株都沒有超過2.1的事件有:，共有3種,………………10分設(shè)為事件“從A組樣本中隨機抽取兩株,均未超過B組株高的平均值”的概率…………..……….11分P為事件“從A組樣本中隨機抽取兩株,至少有一株超過B組株高的平均值”的概率則…………………..………….12分

21.（18分）已知M是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)f（x）組成的集合：對于函數(shù)f（x），使得對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意兩個自變量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函數(shù)f（x）=x2+1，，判斷f（x）與集合M的關(guān)系，并說明理由；（2）已知函數(shù)g（x）=ax+b∈M，求實數(shù)a，b的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)a，使得，x∈[﹣1，+∞）屬于集合M？若存在，求a的取值范圍，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；函數(shù)的值．【專題】計算題；新定義；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用已知條件，通過判斷任取，證明|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，說明f（x）屬于集合M．（2）利用新定義，列出關(guān)系式，即可求出實數(shù)a，b的取值范圍．（3）通過若p（x）∈M，推出，然后求解a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）時，p（x）?M．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）屬于集合M…（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（3）若p（x）∈M，則|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|對任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴當a∈[﹣1，1]時，p（x）∈M；當a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）時，p（x）?M．…（18分）【點評】本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力、22.已知半徑為2，圓心在直線y=x+2上的圓C．（1）當圓C經(jīng)過點A（2，2）且與y軸相切時，求圓C的方程；（2）已知E（1，1），F(xiàn)（1，3），若圓C上存在點Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圓心橫坐標a的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（1）可設(shè)圓心坐標為（a，﹣a+2），圓的方程為（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圓經(jīng)過點A（2，2）且與y軸相切，建立方程，即可求圓C的方程；（2）設(shè)Q（x，y），則由|QF|2﹣|QE|2=32得y=3，即Q在直線y=3上，根據(jù)Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，可得⊙C與直線y=3有交點，從而可求圓心的橫坐標a的取值范圍．【解答】解：（1）∵圓心在直線y=﹣x+2上，∴可設(shè)圓心坐標為（a，﹣a+2），圓的方程為（x﹣a）2+[