2022年高考文科數(shù)學天津卷(含答案與解析)

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數(shù)學試卷第1頁（共14頁）數(shù)學試卷第2頁（共14頁）

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天津市2022年一般高等小學招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學

第I卷

本試卷分為第I卷（挑選題）和第Ⅱ卷（非挑選題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.參考公式：

·假如大事A，B互斥，那么()()()PA

BPAPB=+．

·棱柱的體積公式VSh=.其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．

·棱錐的體積公式1

3VSh=，其中S表示棱錐的底面積，h表示棱錐的高.

一、挑選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設集合{1,2,3,4}A=，{1,0,2,3}B=-，{|12}Cxx=∈-”是“||2x>”的

（）

A.充分而不須要條件

B.須要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不須要條件

4.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為

（）

A.1

B.2

C.3

D.45.已知37

log2a=，1

31()4b=，13

1log5c=，則a，b，c的大小關系為

（）

A.abc>>

B.bac>>

C.cba>>

D.cab>>

6.將函數(shù)sin25yxπ?

?=+???的圖象向右平移10π個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)

（）

A.在區(qū)間,44ππ??

-????

上單調遞增

B.在區(qū)間,04π??

????上單調遞減

C.在區(qū)間,42ππ??

????

上單調遞增

D.在區(qū)間,2π??

π????

上單調遞減

畢業(yè)小學_____________姓名________________考生號________________

_____________________________

在

此

卷

上

答

題

無

效

數(shù)學試卷第3頁（共14頁）數(shù)學試卷第4頁（共14頁）

7.已知雙曲線22

221(0,0)xyabab

-=>>的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙

曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分離為1d和2d，且

126dd+=，則雙曲線的方程為

（）

A.22

139xy-=

B.22

193xy-

=C.221412

xy-=

D.22

1124

xy-=8.在如圖的平面圖形中，已知1OM=，2ON=，120MON∠=?，2BMMA=，2CNNA=則BCOM的值為

（）

A.-15

B.-9

C.-6

D.0

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.i是虛數(shù)單位，復數(shù)

67i

12i

+=+．10.已知函數(shù)()exfxlnx=，()fx'為()fx的導函數(shù)，則

(1)f'的值為．11.如圖，已知正方體1111–ABCDABCD的棱長為1，則四棱柱111–ABBDD的體積為．

12.在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為．

13.已知a，b∈R，且–360ab+=，則21

8ab

+的最小值為．14.已知a∈R，函數(shù)2222,0,()22,0xxaxfxxxax?++-?

=?-+->??≤．

若對隨意)[3,x∈-+∞，()||fxx≤恒成

立，則a的取值范圍是．

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證實過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知某校甲、乙、丙三個年級的同學志愿者人數(shù)分離為240，160，160.現(xiàn)采納分層抽樣的辦法從中抽取7名學生去某敬老院參與獻愛心活動.（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個年級的同學志愿者中分離抽取多少人？

（Ⅱ）設抽出的7名學生分離用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名學生擔當敬老院的衛(wèi)生工作。

（?。┰囉盟o字母列舉出全部可能的抽取結果；

（ⅱ）設M為大事“抽取的2名學生來自同一年級”，求大事M發(fā)生的概率.

16.（本小題滿分13分）

在ABC△中，內角A，B，C所對的邊分離為a，b，c．已知sincoπ

()6

sbAaB=-．（Ⅰ）求教B的大?。?/p>

（Ⅱ）設2a=，3c=，求b和sin2()AB-的值．

數(shù)學試卷第5頁（共14頁）數(shù)學試卷第6頁（共14頁）

17.（本小題滿分13分）

如圖，在四周體ABCD中，ABC△是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，2AB=

，AD=90BAD=?∠．（Ⅰ）求證：ADBC⊥；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

18.（本小題滿分13分）

設{}na是等差數(shù)列，其前n項和為()nSn∈*N；{}nb是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為*()nTn∈N．已知11b=，322bb=+，435baa=+，5462baa=+．

（Ⅰ）求nS和nT；

（Ⅱ）若12(4)nnnnSTTTab++++=+…，求正整數(shù)n的值．

19.（本小題滿分14分）

設橢圓22221(0)xyabab+=>>的右頂點為A，上頂點為B.

，

||AB=

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線:(0)lykxk=解得2x>；由||2x>解得2x，所以“8x>”是“||2x>”

的充分而不須要條件。

【考點】不等式的求解、充分須要條件的判定4.【答案】B

【解析】輸人2022NiT===，，，此時

10N

i=是整數(shù)，

則有011213Ti=+==+=，，此時不滿足條件5i≥；接下來有20

3

Ni=不是整數(shù)，則有314i=+=，此時.不滿足

條件5i≥；接下來有5N

i

=是整數(shù)，則有112415Ti=+==+=，，此時滿足條件

5i≥，結束循環(huán)，輸出2T=.

【考點】算法的程序框圖.模擬程序框圖的運行5.【答案】D

【解析】按照函數(shù)的圖象與性質可知1

3

1

3333

1711loglog5loglog315244????=>>==>??????

，則cab>>.

【考點】代數(shù)值的大小比較、函數(shù)的圖象與性質6.【答案】A

【解析】將函數(shù)πsin25yx??=+?

?

?的圖象向右平移π10個單位長度得到ππsin2sin2105yxx??

??=-+=???????

由ππ2π22π+,22kxkk-+∈Z≤≤，解得

ππππ+,44kxkk-

+∈Z≤≤，當0k=時，則知函數(shù)在區(qū)間ππ,44??-????

上單調遞增.【考點】三角函數(shù)圖象的平移變換、三角函數(shù)的圖象與性質7.【答案】A

【解析】由雙曲線的離心率2c

ea

=

=，可得2ca=

，則知b=，將2xa=代人雙曲線22

22

13xyaa-=，可得3ya=±，設點(2,3)(2,3)AdaBaa-，，雙曲線的一條漸近線方

0y+=，

可得12dd====，，

所以126dd+=+==

，解得a，故雙曲線的方程為

22

139

xy-=.【考點】雙曲線的方程與幾何性質、點到直線的距離公式8.【答案】C

【解析】按照題目可得:

22((33)3()33()33321cos120=31=6

BCOMACABOMANAMOMANAMOMMNOMONOMOMONOMOM=-=-=-==-=-=?????-）

【考點】平面對量的線性運算與數(shù)量積二、填空題9.【答案】4i-

【解析】由題可得67i(67i)(12i)205i4i12i

(12i)(12i)

5

++--===-++-.

【考點】復數(shù)的四則運算10.【答案】e

數(shù)學試卷第9頁（共14頁）數(shù)學試卷第10頁（共14頁）

【解析】因為()elnxfxx=則有1()elnexxfxxx'=+，所以111

(1)eln1ee1

f'=+=.【考點】導數(shù)及其應用、函數(shù)值的求解11.1

3

【答案】【解析】由題可知四棱錐111ABBDD

-，1的矩形，高為

，則四棱錐111A

BBDD-的體為11133

V=?=.【考點】空間幾何體的性質、空間幾何體的體積12.【答案】2220xyx+-=

【解析】因為圓經(jīng)過三點(0,0)(1,1)(2,0)OAB，，，可知OAAB⊥，則知OB為圓的直徑，

則圓心(1,0)C，半徑1r=，可得圓的方程為22(1)1xy-+=，即2220xyx+-=.【考點】圓的方程

13.【答案】1

4

【解析】因為360ab

-+=；可得366a-=-，結合基本不等式可得

336311

22222222284

aa

babb+=+====≥，當且僅當322ab-=，

即33ab=-=-.【考點】基本不等式

14.【答案】1,28?

?????

【解析】當[]3,0-時，由()||fxx≤恒成立可得22xxax++-≤-即2

32xxa++-≤0，

結合圖象可知9920

0020aa-+-??++-?

≤≤，解得2a≤；當·(0,)x∈+∞時，由()||fxx≤恒成

立可得2

22xxax-+-≤，即220xxa-+≥，結合圖象可知2

412(1)041

a??--?≥，

解得a18a≥；綜上分析可得1

28

a≤≤.

【考點】分段函數(shù)、函數(shù)的圖象與性質、不等式恒成立三、解答題

15.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個年級的同學志愿者人數(shù)之比為3:2:2，

因為采納分層抽樣的辦法從中抽取7名學生，因此應從甲、乙、丙三個年級的同學

志愿者中分離抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（?。┙猓簭某槌龅?名學生中隨機抽取2名學生的全部可能結果為

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，

{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．

（ⅱ）解：由（Ⅰ），不妨設抽出的7名學生中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年

級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名學生中隨機抽取的2名學生來自同一年級的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．

所以，大事M發(fā)生的概率為5

(2)1

PM=

．【考點】隨機抽樣、用列舉法計算隨機大事所含的基本領件數(shù)、古典概型及其概率計算

公式等基本學問

16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC△中，由正弦定理

sinsinab

AB

=

，可得sinsinbAaB=，又由πsincos6bAaB??=-??

?

，

得πsincos6aBaB??=-??

?

，即πsincos6BB??=-??

?

，可得

tanB(0π)B∈，，可得π

3

B=

．（Ⅱ）解：在ABC△中，由余弦定理及23π

3

acB===

，，，有2222cos7bacacB=+-=

，故b=．

由πsincos

6bAaB??=-?

?

?

，可得sinA=．由于ac，可得2q=，故12nn

b-=.所以12

2112

n

nnT-==--.

設等差數(shù)列{}na的公差為d.由435baa=+，可得134ad+=.由5462baa=+，可得

131316,ad+=從而11,1ad==，故nan=，所以(1)

2nnnS+=.（II）解：由（I），知13

1

12(222)2

2.nnnTTTnn+++

+=++

+-=--

由12()4nnnnSTTTab+++

+=+可得

11(1)

2222

nnnnnn++++--=+，收拾得2340,nn--=解得1n=-（舍），或4n=.所以n的值為4.【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式等基礎學問

19.【答案】（I）解：設橢圓的焦距為2c，由已知得2

259ca

=，又由222abc=+，可得23.ab=

由||AB,從而3,2ab==.所以，橢圓的方程為22

194

xy+=.

（II）解：設點P的坐標為11(,)xy，點M的坐標為22(,)xy，由題意，210xx>>，

點Q的坐標為11(,).xy--由BPM△的面積是BPQ△面積的2倍，可得||=2||PMPQ，從而21112[()]xxxx-=-