2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分布列精練（解析版）

8.6分布列（精練）

【題組一超幾何分布】

1.（2021?合肥市第六中學(xué)）近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項調(diào)查結(jié)

果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為52.7%.為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三（1）班隨機抽

取7名學(xué)生，其中4人近視、3人不近視.現(xiàn)從這7人中隨機抽取球3人做進一步醫(yī)學(xué)檢查.

（1）用X表示抽取的3人中近視的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)A為事件“抽取的3人，既有近視的學(xué)生，又有不近視的學(xué)生”，求事件A發(fā)生的概率.

【答案】⑴分布列見解析；期望為舁（2）

【解析】（1）隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且

p(x=k)="1J(&=0,1,2,3)

所以，隨機變量X的分布列為:

X0123

112184

P

35353535

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3XA=1Z

353535357

（2）設(shè)B為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近視2人，近視1人”；設(shè)C為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近

視1人，近視2人"，則A=MC,且8與C互斥，從而尸（A）=P（BC）=P（X=2）+P（X=1）=1,所以事

件A發(fā)生的概率為亨

2.（2021?云南師大附中高三月考）隨著手機的日益普及，中學(xué)生使用手機的人數(shù)也越來越多，使用的手

機也越來越智能.某中學(xué)為了解學(xué)生在校園使用手機對學(xué)習(xí)成績的影響，從全校學(xué)生中隨機抽取了150名學(xué)

生進行問卷調(diào)查.經(jīng)統(tǒng)計，有!2■的學(xué)生在校園期間使用手機，且使用手機的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的占21，另

不使用手機的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的占（4.

（1）請根據(jù)以上信息完成2x2列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認(rèn)為“在校期間使用手機和學(xué)習(xí)成績有

關(guān)”？

學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀合計

在校期間使用手機

在校期間不使用手機

合計

（2）現(xiàn)從上表中學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生中按在校期間是否使用手機分層抽樣選出6人，再從這6人中隨機抽

取2人，設(shè)這2人中在校期間使用手機的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

參考公式：K2其中〃=a+b+c+d..

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）表格見解析，有99.9%的把握認(rèn)為“在校期間使用手機和學(xué)習(xí)成績有關(guān)”；（2）分布列見解析,

2

7

【解析】（1）2x2列聯(lián)表如下:

學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀合計

在校期間使用手機2080100

在校期間不使用手機401050

合計6090150

150x(20xlQ-40x80)2

小的觀測值4==50>10.828,

100x50x60x90

所以有99.9%的把握認(rèn)為“在校期間使用手機和學(xué)習(xí)成績有關(guān)”.

（2）從學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生中按在校是否使用手機分層抽樣選出6人,

其中在校使用手機的學(xué)生有20X/；=2人，

在校不使用手機的學(xué)生有40x3=4人.

X可能的取值為0,1,2,

62

P(X=O)=晨

或155

2)卷*

G__L

P(X=2)=cf-15

，x的分布列為:

X012

281

P

5Is15

2ei7

；.X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=Oxg+lx百+2XR=§.

3.（2021?湖南高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃

粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.

（1）用J表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求4的分布列；

（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.

4

【答案】（1）分布列見解析；（2）

【解析】⑴由條件可知4=0,1,2,

年=°）啥43）=等4*”2）哈［，

所以g的分布列，如下表,

自012

31

P

555

（2）選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有,

14

則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率P=l--=-.

【題組二二項分布】

1.（2021?陜西（理））中國探月工程自2004年批準(zhǔn)立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)

未來”的目標(biāo)，創(chuàng)造了許多項中國首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，

首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回.為了了解某中學(xué)高三學(xué)生對此新聞事件的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)

生中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，調(diào)查樣本中有40名女生.如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條

形圖（陰影區(qū)域表示關(guān)注“嫦娥五號”的部分）.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為對“嫦娥五號”的關(guān)注程度與性別有關(guān)？

關(guān)注沒關(guān)注合計

男生

女生

合計

（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)高三女生中隨機抽取2人.記被抽取的2名女生中對“嫦娥五號”新

聞關(guān)注的人數(shù)為隨機變量％求I的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

其中〃=a+b+c+d.

(o+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸儼.右）0.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

【答案】（1）2x2列聯(lián)表見解析，有95%的把握性認(rèn)為“對嫦娥我好關(guān)注度與性別有關(guān)”;

3

（2）分布列見解析，期望為（

【解析】（1）山題意，根據(jù)等高條形圖中的數(shù)據(jù)，

可得：女性40人中，其中40x0.3=12人關(guān)注，28人不關(guān)注；

男性60人中，其中60x0.5=30人關(guān)注，30人不關(guān)注；

所以可得如下的2x2的列聯(lián)表:

關(guān)注沒關(guān)注合計

致生303060

女生122840

合計4258100

n(ad-bc)2100(30x28-12x3O)2800…，

所以X=----------------------=——--------------=——?3.941>3.841

(a+b)(c+1)(。+c)(h+d)----42x58x40x60-----203

所以有95%的把握性認(rèn)為“對嫦娥我好關(guān)注度與性別有關(guān)”.

123

（2）因為隨機選一個高三的女生，對此事關(guān)注的概率為尸=京=弓,

4010

又因為隨機變量XB（2,V），所以隨機變量X的分布列為：

X012

49429

r

100100100

,33

所以E（X）=〃p=2x6=w.

2.（2021?廣東西關(guān)外國語學(xué)校高三月考）2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識到健康的重要性,

云南省全面開展愛國衛(wèi)生7個專項行動及健康文明生活的6條新風(fēng)尚行動，其中“科學(xué)健身”鼓勵公眾每

天進行60分鐘的體育鍛煉.某社區(qū)從居民中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的平均每天鍛煉時間（單位：分

鐘/天），得到的數(shù)據(jù)如下表：（所有數(shù)據(jù)均在0~120分鐘/天之間）

平均鍛煉時間[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120]

人數(shù)2739ab4515

頻率0.090.130.38c0.150.05

（1）求“，b,。的值；

（2）為了鼓勵居民進行體育鍛煉，該社區(qū)決定對運動時間不低于，"分鐘的居民進行獎勵，為使30%的人得

到獎勵，試估計加的取值？

（3）在第（2）間的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎勵的人中隨機抽取4人，設(shè)這4人中日均

鍛煉時間不低于80分鐘的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Q

【答案】(1)a=114,6=60；c=0.2；(2)機=70；(3)分布列見解析；期望為鼠

【解析】(1)由題意c=l-(0.09+0.13+0.38+0.15+0.05)=0.2,

27

設(shè)總?cè)藬?shù)為x,則「。。9,得100,

/.a=0.38x300=114?/?=0.2x300=60.

(2)[80,100),[100,200]分別占0.15和0.05,共0.2,要使得30%到獎勵,

則m位于[60,80)之間，且占0.1,.?.加=70.

2

(3)該社區(qū)得到獎勵的人中鍛煉時間不低于鐘的占彳，

X?X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

…)=砥?*

?2)=嗚甘吟，

尸(x=3)=4ijsa

...X的分布列如下:

X01234

1883216

P

818?278?8?

2X

E(X)=4x-=-.

3.(2021?全國高三專題練習(xí)(理))某高中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時間(單位:分鐘),

并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為

(0,20),(20,40),(40,60),(60,80),(80,100).

(1)求直方圖中X的值；

(2)如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多

少名學(xué)生可以申請住宿；

(3)從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于40分鐘的人數(shù)記為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)

Q

【答案】(1)0.0025；(2)180；(3)分布列見解析，期望為父

【解析】

(1)由直方圖可得：20(X+0.0175+0.0225+0.05+X)=1,，A=0.0025.

(2)新生上學(xué)所需時間不少于1小時的頻率為20x(0.005+0.0025)=0.15,

所以新生中可以申請住宿的人數(shù)為：1200X0.15=180人

所以估計1200名新生中有180名學(xué)生可以申請住宿.

(3)才的可能取值為0,1,2,3,4.

由直方圖可知每一個學(xué)生上學(xué)所需時間少于40分鐘的概率為20x(0.0025+0.0175)=0.4,

所以P（X=0）=（l-281

625

P（X=l）=C>|xMI）嗡

22

尸（X=2）=C：x

3

P（X=3）=C：x

Q

即X的數(shù)學(xué)期望為:

4.（2021?全國高三（理））新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將A

地區(qū)居民20000人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中1個人一周的口罩使用為6個以及6個上的有14000

人.

1個人的一周口罩使用

[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12]

數(shù)量（單位：個）

頻率0.2m0.3n0.1

（1）求機、〃的值；

（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從A地區(qū)的所有居民中隨機抽取4人，記一周使用口罩?jǐn)?shù)量（單

位：個）在范圍［6,8）的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）m=G.\,〃=0.3；（2）分布列見解析，期望為1.2.

14（）00

【解析】（1）由題意可得03+加+0.1=詆而=0.7,則〃=0.3,

因為0.6+機+〃=1,解得加=01；

（2）從A地區(qū)的所有居民中隨機抽取1人，此人一周使用口罩?jǐn)?shù)量（單位：個）在范圍［6,8）內(nèi)的概率為0.3,

則X84,0.3）,

所以，P（X=0）=0.74=0.2401,P（X=|）=C；XO.3XO.73=O.4H6,

尸（X=2）=盤xOB?x0.7?=0.2646,P（X=3）=C^xO.33xO.7=0.0756,

p(X=4)=0.34=0.0081,

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X01234

P0.24010.41160.26460.07560.0081

故E（X）=4xO.3=1.2.

5.（2021?四川成都?雙流中學(xué)高三（理））從某市的中學(xué)生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)

據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.

（1）求〃的值并估計該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代

替）；

（2）從該市的中學(xué)生中隨機抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在180cm以上的概率.若從全

市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機抽取3人，用X表示身高在180a”以上的男生人數(shù)，求隨機變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

【答案】（1）。=0.010,平均身高為172.5cm；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：

4

【解析】（1）根據(jù)題意得（0.005x2+4+0.02x2+0.04）x10=1,解得“=0.010,

設(shè)樣本中男生身高的平均值為7,

x=145x0.05+155x0.1+165x0.2+175x0.4+185x0.2+195x0.05=172.5（c/n）,

所以估計該市中學(xué)全體男生的平均身高為172.5cm；

⑶從全市中學(xué)的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率約為5

由已知得x~d3,0

所以「（x=°）=q*管磊,g）=鳴圖啜,

P（X=2）=C；

G)id=2'Pg）：鳴\（滬專

隨機變量X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

13

所以E(X)=3x1=w.

6.（2021?黑龍江高三（理））青年大學(xué)習(xí)是共青團中央組織的青年學(xué)習(xí)行動，共青團中央用習(xí)近平新時代

中國特色社會主義思想武裝全團、教育青年，把深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的十九大精神作為首要政治任務(wù)和核心

業(yè)務(wù)，在全團部署實施“青年大學(xué)習(xí)”行動.某區(qū)為調(diào)在學(xué)生學(xué)習(xí)情況，對全區(qū)高中進行抽樣調(diào)查，調(diào)查最

近一周的周得分情況.如下莖葉圖是抽查的A校和5校各30人得到的這周得分情況：

4校B校

1418443

355688917988666543310

266789168775532

22456681597

26914753

017136

351297

根據(jù)成績分為如下等級:

成績

[120,130)[130,150)[150,170)[170,184)

（單位：分）

等級不合格合格良好優(yōu)秀

（1）根據(jù)莖葉圖判斷力校和8校中的哪個學(xué)校完成學(xué)習(xí)的效果更好，并說明理由（不要求計算）；

（2）現(xiàn)要從4校被抽查的成績等級合格和不合格的8名同學(xué)中任選4人進行座談，記其中所含不合格人數(shù)

X,求X的分布列和期望；

（3）若將所統(tǒng)計的這60人的頻率作為概率，在全區(qū)的高中學(xué)生中任意抽取4人參加知識競賽，記其中所

含成績優(yōu)秀人數(shù)y,求y的分布列、期望和方差.

【答案】（1）6校完成學(xué)習(xí)的效果更好，理由見解析；（2）分布列答案見解析，E（X）=1；（3）分布列答案見

解析，E（r）=8|,D（y）=—24.

【解析】⑴⑴根據(jù)莖葉圖可知小校樣本得分中位數(shù)為160分，6校樣本得分中位數(shù)為169分，因此8校完

成學(xué)習(xí)的效果更好：

（ii）根據(jù)莖葉圖可知4校樣本約有73%同學(xué)的分?jǐn)?shù)在150分以上，6校樣本有76%同學(xué)的分?jǐn)?shù)在160分?jǐn)?shù)段

上，因此8校完成學(xué)習(xí)的效果更好；

（皿）根據(jù)莖葉圖可知/校樣本在150,160,170分?jǐn)?shù)段上分布較均勻，6校樣本在170分左右人數(shù)更多更集

中，因此8校完成學(xué)習(xí)的效果更好.

（以上給出了3種理由，只需答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）

（2）X的所有可取取值為0,1,2

尸（X=O）咯=（，P（X=1）=等*,尸（X=2）=等=亮,

1i,1^8*?

所以X的分布列為

X012

343

P

14714

22

所以E（X）=OXR+1X,+2X值=1，D（X）=（0-1）X-+（1-1）X-+（2-1）-X-=-

⑶所統(tǒng)計的這60人中獲得優(yōu)秀的有24人，頻率為2胃4=：2,將其作為概率，則丫

605

y的所有可能取值為0,1,2,3,4

p（y=O）=C：

p（y=i）=c：|.3|=216

?625

223丫216

尸（y=2）=C；?

5）-625

23二96

尸（y=3）=C；?

5~625

p（y=4）=c：（|j=怒,

）625

所以y的分布列為

Y01234

812162169616

r

625625625625625

2Q2324

所以”）=4x3=，D（r）=4x-xJ=—.

555525

【題組三獨立重復(fù)實驗】

1.（2021?廣東深圳市?高三月考）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨

22

即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是!■外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是1?.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨立.

（1）分別求甲隊以3:0,3:1,3:2勝利的概率；

（2）若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對方

得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）黑；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為黑.

【解析】（1）中隊以3:0勝利的概率四=（|）=，；

甲隊以3:1勝利的概率P2=c；x（：jx^l-|^|x|=A.

甲隊以3:2勝利的概率P3=c；x仔）、|=需；

（2）山題意知：X所有可能的取值為0』,2,3,

P（X=0）=P|+P2=,，P（X=1）=P3=需，

P（X=2）=C：制x°一|）居,

=3）=（1-{I+Gx（l-￡|x|x（l一|）

9

???X的分布列為:

X0123

16168

p

27135459

—+lx—+2x—+3xl=—

'V'27135459135

2.(2021?湖北高三月考)某公司每五年需淘汰一批舊機器并購買一批新機器，購買新機器的同時，也要

購買易損零件.每臺新機器隨機器購買第一個易損零件花費1500元，優(yōu)惠0元；每多買一個易損零件都要

在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠100元，即購買第一個易損零件沒有優(yōu)惠，第二個易損零件優(yōu)惠100元，第三個易

損零件優(yōu)惠200元，……，依此類推，每臺新機器最多可隨新機購買8個易損零件.平時購買易損零件按

零售價每個2000元買入.根據(jù)以往的記錄，十臺機器正常工作五年內(nèi)使用的易損零件數(shù)如表：

使用易損零件數(shù)678

機器臺數(shù)352

以這十臺機器使用易損零件數(shù)的頻率代替一臺機器使用易損零件數(shù)發(fā)生的概率，假設(shè)每臺機器使用易損零

件的個數(shù)是相互獨立的，記才表示兩臺機器五年內(nèi)使用的易損零件數(shù).

(1)求1的分布列；

(2)若在購買兩臺新機器時，每臺機器隨機器購買7個易損零件，求這兩臺機器五年內(nèi)在使用易損零件上

所需費用的期望.

【答案】(1)分布列見解析；(2)16784元.

【解析】

(1)記X表示兩臺機器五年內(nèi)使用的易損零件數(shù)，

則力的可能取值為12,13,14,15,16,

P(X=12)=0.3x03=0.09,

p(X=13)=0.3x0.5+0.5x0.3=0.3,

p(X=14)=0.3x0.2+0.2x0.3+0.5x0.5=0.37,

p(X=15)=0.5x0.2+0.2x0.5=0.2,

=16)=0.2x0.2=0.04,

的分布列為：

X1213141516

p0.090.30.370.20.04

（2）在購買兩臺新機器時，每臺機器隨機器購買7個易損零件，

所需費用為：2x（1500+1400+1300+1200+1100+1000+900）=16800元，

168004-14=1200（元），

.?.這兩臺機器五年內(nèi)在使用易拂零件上所需費用的期望為：

12x0.09x1200+13x0.3x1200+14x0.37xl200+（14x0.2xl200+0.2x2000）4-（14x0.04xl200+2x0.04x

2000）=16784（元）.

3.（2021?內(nèi)蒙古包頭?高三開學(xué)考試（理））一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運轉(zhuǎn)中，部件甲,

乙，丙需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.3,0.4,各部件的狀態(tài)相互獨立.

（1）求設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件甲，乙中至少有1個需要調(diào)整的概率；

（2）記設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為人求才的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（D0.37；（2）分布列見解析;期望為0.8.

【解析】解：（1）用4B,C分別表示事件：“設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件甲，乙，丙需要調(diào)整”，則

P（A）=0.1,P（5）=0.3,P（C）=0.4

用〃表示事件：”設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件甲，乙中至少有1個需要調(diào)整”則

D=ABBAAB

P（D）=P（ABBAAB）=P（A）P（B）+P（B）P（A）+P（A）P（B）

=0.1x0.7+0.3x0.9+0.1x0.3=0.37

所以部件甲，乙中至少有1個需要調(diào)整的概率為0.37

（2）I的所有可能取值為0,1,2,3

p（X=o）=p（ABC）=A）p（c）=0.9x0.7x0.6=0.378

尸（X=1）=P（ABC）+P（BAC）+P（CAB）=0.1x0.7x0.6+0.3x0.9x0.6+0.4x0.9x0.7=0.456

尸（X=2）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=0.018+0.028+0.108-0.154

尸（X=3）=P（ABC）=0.1*0.3x0.4=0.012

所以才的分布列為

X0123

P0.3780.4560.1540.012

故x的數(shù)學(xué)期望為E（x）=0x0.378+1x0.456+2*0.154+3x0.012=0.8

4.（2021?吉林長春外國語學(xué)校高三開學(xué)考試（理））一位同學(xué)分別參加了三所大學(xué)招生筆試（各校試題各

不相同），如果該同學(xué)通過各校筆試的概率分別為:、|、且該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不

影響.

（1）求該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率；

（2）設(shè)該同學(xué)通過筆試的大學(xué)所數(shù)為求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）胃23；（2）分布列見解析；期望為帶23

【解析】（1）設(shè)該同學(xué)分別通過三所大學(xué)筆試的的事件為A8,C

該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率

P=l-P（ABC）=l-P（A）P（B）P（C）=l-lxlxl=|^,

所以該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率為2三3；

（2）由條件可知4=0,1,2,3,

P（^=0）=P（ABC）=lxlxl=±.

P（^=l）=P（y4BC）+P（^BC）+P（^BC）=|xix|+lx-x1+lxlx1=l：

P（^=2）=P（/\BC）+P（ABC）+P（ABC）=|x|xl+|xlxl+lx|xl=^-；

P（^=3）=P（ABC）=|x|xl=l,

分布列如下圖，

40123

1J_11

P

244244

E^=0x—+lxl+2x—+3x1=—

24424412

5.（2021?廣東高三開學(xué)考試）體育交流是學(xué)校之間交流的重要方式.甲乙兩校定期舉辦擊球比賽，規(guī)定：

把從裁判發(fā)球哨響開始到之后裁判第一哨響止，叫做一回合.每一回合中，發(fā)球隊贏球后得分1分，另一隊

得零分，在下一回由發(fā)球隊繼續(xù)發(fā)球；發(fā)球隊輸球后，比賽雙方均得零分，下一回合由另一隊發(fā)球.甲乙兩

隊正在進行這種擊球比賽，假設(shè)每一回合甲隊贏球的概率是g3,乙隊贏球的概率是：?，且各回合比賽的結(jié)果

相互獨立.

(1)第一回合由甲隊發(fā)球，在連續(xù)三個回合中，求甲隊得1分的概率；

(2)比賽進入決勝局，兩隊得分均為25分.在接下來的比賽中，甲隊第一回合發(fā)球，若甲乙兩隊某一隊得

分比對方得分多2分，則比賽結(jié)束，得分多的隊伍獲勝.求在比賽四回合以內(nèi)(包含第四回合)，甲隊獲勝

的概率.

【答案】(1)黑；(2)祟.

125625

【解析】記第i局比賽甲隊獲勝為事件4，乙隊獲勝為

事件瓦,

則尸⑷=|，哂)=*(g)=|,P閭=[

(1)記第一回合由甲隊發(fā)球，在連續(xù)三個回合中甲隊

得1分為事件C,

則C=WuA32A3,

由于各回合比賽的結(jié)果相互獨立，目事件4用與彳瓦人互斥，

所以P(C=P(A&)+P(AW4)

=P(4)尸伍)+P(4)P(耳)尸(A)

3223348

=—X—+—X—X—=---

55555125

(2)記在四回合以內(nèi)，甲隊獲勝為事件O,

由于甲隊獲勝時需要比乙隊得分多2分，

所以至少需要進行兩個回合的比賽，

當(dāng)比賽兩個回合時，只有甲隊連贏兩個回合，甲隊才獲勝，

339

則尸(A4)=p(A)尸(4)=毛丁石,

當(dāng)比賽三個回合時，只有這一種情況AB/3,且甲隊輸，

當(dāng)比賽四個回合時，只有以下兩種情況，甲隊會獲勝,

即事件A4瓦兒與A瓦44，且兩個事件互斥，

_____QHQQ54

貝尸(A&國AJ=P(A)P(4)P(瓦)P(A)=三

4JJaJU/J

______o□□a54

P(AB2A3A()=P(A)^2)P(A5)P(A4)=-x-x-x-=—,

所以D=A4□A4及4u4瓦4月4

P(0=P(A&)+P(A^^A4)+P(4^AA4)

95454333

=--1---1--=--

25625625625

6.（2021?雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有2

個白球2個紅球，從甲袋中隨機取出一球與乙袋中隨機取出一球進行交換.

（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率；

（2）二次交換后，記才為“乙袋中紅球的個數(shù)”，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）（2）分布列見解析，E（X）=2.

【解析】（1）甲乙交換的均是紅球，則概率為導(dǎo)=；,

C44

甲乙交換的均是白球，則概率為梟尋

所以乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率為

442

（2）一可取0,1,2,3,4,

由（1）得，一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球的概率為

乙袋中有1個白球3個紅球的概率為昌昌=：,

乙袋中有3個白球1個紅球的概率為目?尋=；,

則戶(X=0)f?E，

；)1C：C；7

p(X=l)=x.-G-------+1-----G--------&----HX-=-------------=——.

C：C\C\)2C\C\32'

1C；C：1C；C；117

P(X=2)=-x^--—2-+-X—2--—2-+-xGGGG,

'J4C：C：4C：C：232

P(X=3)=%

C\C\C\cj2C\C\32'

POT5等一

所以隨機變量l的分布列為

X01234

171771

1)

6432323264

所以數(shù)學(xué)期望E（X）=O*+以看+2、導(dǎo)34+4哈=2.

【題組四正態(tài)分布】

1.（多選）（2021?渝中?重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試）近年來，中國進入一個鮮花消費的增長期.某農(nóng)戶

利用精準(zhǔn)扶貧政策，貨款承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白

玫瑰的日銷售量分別服從正態(tài)分布N（〃,3O2）和N（280,402）,則下列正確的是（）

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布則P（〃F<X<〃+b）”0.6826

A.若紅玫瑰的日銷售量范圍在（〃-30,280）的概率是0.6826,則紅玫瑰的日銷售量的平均數(shù)約為250

B.白玫瑰的日銷售量比紅玫瑰的日銷售更集中

C.紅玫瑰的日銷售量比白玫瑰的日銷售更集中

D.白玫瑰的日銷售量在（280,320）范圍內(nèi)的概率約為0.3413

【答案】ACD

【解析】因紅玫瑰的II銷售量范圍在"-30,280）的概率是0.6826,則〃+30=280,即“250,A正確;

因30<40,即紅玫瑰的日銷售量的標(biāo)準(zhǔn)差小于白玫瑰的日銷售量的標(biāo)準(zhǔn)差，則紅玫瑰的日銷售量比白玫瑰

的日銷售更集中，B不正確，C正確；

因P（240<X<320）?0.6826,貝ljP（280<X<320）=-P（240<X<320）?0.3413,即白玫瑰的日銷售量在

2

（280,320）范圍內(nèi)的概率約為0.3413,D正確.

故選:ACD

2.（多選）（2021?沙坪壩?重慶南開中學(xué)高三月考）下列說法正確的是（）

A.已知隨機變量X?硼0,0.4）,則DX=2.4

B.已知隨機變量％V滿足X+2Y=3,且X?N（2,l）,則￡（Y）=1

C.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強

D.設(shè)X?則。越大，正態(tài)分布曲線越矮胖

【答案】ACD

【解析】對于A：已知隨機變量X~8（10,0.4）,則D（X）=10x0.4x（l_0.4）=2.4,故A正確；

31

對于8：隨機變量X,y滿足X+2F=3,所以y=5-]X,且X?N（2,l）,則

31713I1

E（r）=E（---X）=E（-）--E（X）=---x2=-,故B錯誤；

對于C：線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)/"的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強，故C正確；

對于O：設(shè)X?M“Q2）,則。越大，正態(tài)分布曲線越矮胖，。越小，正態(tài)分布曲線越瘦高，故。正確；

故選:ACD.

3.（2021?廣東茂名?）某企業(yè)為了提高產(chǎn)量，需通過提高工人的工資，調(diào)動員工的工作積極性，為了對員

工工資進行合理調(diào)整，需對員工的日加工量進行分析.為此隨機抽取了50名員工某天加工零件的個數(shù)x（單

位：個），整理后得到頻數(shù)分布表如下：

零件個數(shù)X/

[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)[300,320)

個

頻數(shù)y56912864

（1）由頻數(shù)分布表估計這50名員工這一天加工產(chǎn)量的平均值x（四舍五入取整）（區(qū)間值用中點值代替）；

（2）該企業(yè)為提高產(chǎn)量，開展了一周（7天）的“超量有獎”宣傳活動，并且準(zhǔn)備了6.5萬元用于發(fā)給超

量的員工.規(guī)定在這一周內(nèi)，凡是生產(chǎn)線上日加工量在290個以上（含290）的員工，除獲得“日生產(chǎn)線上

的標(biāo)兵”的榮稱號外，當(dāng)天還可額外獲得100元的超量獎勵，若該企業(yè)生產(chǎn)線上的4000名員工每天加工零

件數(shù)量大致服從正態(tài)分布N（〃,2F）,其中〃近似為（1）中的平均值。請利用正態(tài)分布知識估計6.5萬元

用于超量獎的準(zhǔn)備金是否充足；

（3）為了解“日生產(chǎn)線上的標(biāo)兵”員工的生產(chǎn)情況，企業(yè)有關(guān)部門對抽取的樣本中的50名員工中的日生

產(chǎn)量進行分析發(fā)現(xiàn)，有.6個獲得“日生產(chǎn)線上的標(biāo)兵”的榮譽稱號，現(xiàn)從這6名員工中任意抽取4名員工，

記日生產(chǎn)量至少為300個的員工人數(shù)為勇求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：P（〃一b<X4〃+cr）=0.6827,P（〃-2cr<X4〃+2cr）=0.9545,

一3cr<X4〃+3b卜0.9973.

Q

【答案】（1）248；（2）充足；（3）分布列見解析，j.

【解析】（1）由頻數(shù)分布表得：

1

x=-x(190x5+210x6+230x9+250xl2+270x8+290x6+310x4)=248.4?248

50

(2)由(1)知〃=248,所以X?N(248,2F),

i_n0545

所以X>290)=P(X>〃+20)=—羅上=0.02275,

因為4000x0.02275=91,所以每天需獎勵91x100=9100(元),

所以周需獎勵9100x7=63700<65000（元），所以6.5萬元的準(zhǔn)備金充足.