【考研】常微分方程

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常微分方程

常見的幾類一階方程及解法

1、可分別變量的方程

dy=f(x)g(y)求解該方程的辦法是將原方程改寫成

dyg(y)

=f(x)dx(g(y))≠0然后兩端積分∫

dyg(y)

=∫f(x)dx，求得原方程的通解2、齊次方程

dy=f(y)求解該方程的辦法是作變量代換y=u，則y=xu，dy=u+xdu，代入原方程可將原方程化為可分別變量的方程

duf(u)?u=dxx

然后求解

3、線性方程

dy+P(x)y=Q(x)線性方程的通解是

y=e?∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

可降階的高階微分方程

4、y(n)=f(x)型的微分方程

求解的辦法是原方程兩端反復(fù)對(duì)x積分，便可求得原方程的解

5、y’’=f(x,y’)型的微分方程（不顯含y）

求解該方程的辦法是作變換y′=p，則y′′=dpdx

，代入原方程得以下一階方程dp=f(x,p)解此一階方程便得到原方程的解

6、y’’=f(y,y’)型的微分方程（不顯含x）

求解該方程的辦法是作變換y′=p，則y′′=dpdy=pdp，代入原方程得以下一階方程pdp=f(y,p)解此一階方程便得原方程的解

高階線性方程

7、線性方程解的結(jié)構(gòu)

（1）齊次方程解的結(jié)構(gòu)

齊次方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)，其中y1(x)和y2(x)為該齊次方程兩個(gè)線性無關(guān)的特解，C1與C2是兩個(gè)隨意常數(shù)

（2）非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

非齊次方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的通解為

y=Y(x)+y?(x)

其中Y(x)是該非齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，y?(x)為該非齊次方程的一個(gè)特解

（3）線性方程解的疊加原理

若y1?(x)和y2?(x)分離是方程

y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)

與y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)

的特解，那么y1?(x)+y2?(x)，就是方程

y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)

的一個(gè)特解

以上結(jié)論可以推廣到n階方程

8、線性常系數(shù)微分方程求解

（1）線性常系數(shù)齊次方程求解

1）二階常系數(shù)齊次線性方程求解

二階常系數(shù)齊次線性方程y′′′

n階常系數(shù)齊次線性方程

y(n)+p1y(n?1)+p2y(n?2)+?+pn?1y′+pny=0

的通解可由下列表格中給出的通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)求得

（2）線性常系數(shù)非齊次方程求解

二階常系數(shù)非齊次線性方程的普通形式是

y′′+py′+qy=f(x)

求其通解的關(guān)鍵是求該非齊次線性方程的特解，對(duì)以下兩種非齊次項(xiàng)可用待定系數(shù)法求得齊次方程的一個(gè)特解1）f(x)=eλxPm(x)型（λ為已知常數(shù)，Pm(x)為x的m次已知多項(xiàng)式）

其待定特解設(shè)為

y?=xkeλxQm(x)

其中k是特征方程根λ的重?cái)?shù)，Qm(x)為系數(shù)待定的x的m次多項(xiàng)式

2）f(x)=eλx[Pl(1)(x)cosωx+Pn(2)(x)sinωx]型（λ為已知常數(shù)，Pl(1)(x)與Pn(2)(x)分離為x的l次、x的n次的已知多項(xiàng)式）

其待定特解設(shè)為

y?=xkeλx[Rm(1)(x)cosωx+Rm(2)(x)sinωx]

其中k是特征方